مقاومت اهمی و غیراهمی چیست؟

دیدیم که طبق قانون اهم، رابطه کمیت‌های جریان و ولتاژ با مقاومت الکتریکی چیست. اما سوالی که وجود دارد این است که آیا برای تمام مواد چنین قانونی برقرار است؟ پاسخ سوال، خیر است. با دقت در آخرین فرمول بیان شده، اگر نسبت ولتاژ به جریان برای یک سیم رسانا همواره مقدار ثابتی باشد، در این صورت می‌گوییم ماده رسانا اهمی است و از قانون اهم پیروی می‌کند، یعنی داریم:

$$R=frac{V}{I}=constant$$

بنابراین اگر نمودار ولتاژ بر حسب جریان را برای یک ماده اهمی رسم کنیم، این نمودار به‌صورت یک خط مستقیم است یا خطی است. به این مفهوم که نسبت ولتاژ به جریان همیشه مقدار ثابتی می‌ماند، با اینکه مقادیر جریان و ولتاژ تغییر می‌کنند. برای یک رسانای اهمی، همیشه جریان عبوری با اختلاف پتانسیل اعمال شده ارتباط مستقیم دارد. این مسئله برای اغلب فلزات در دمای ثابت برقرار است.

اما برای یک ماده غیراهمی، این ارتباط خطی نیست. نسبت ولتاژ به جریان برای یک رسانای غیراهمی متغیر است. دیودهای نورگسیل (LED) از جمله وسایلی هستند که در آن‌ها قانون اهم برقرار نیست. برای مواد غیراهمی، نمودار ولتاژ بر حسب جریان غیرخطی است. در بخش‌های بعدی با حل مثال و تمرین مفهوم قانون اهم و مقاومت‌های اهمی را بهتر درک خواهیم کرد.

عوامل موثر بر مقاومت الکتریکی چیست؟

در بخش قبل یاد گرفتیم فرمول مقاومت الکتریکی چیست. گاهی ممکن است یک سیم رسانا را در دست داشته باشیم، بدون اینکه به آن ولتاژی متصل شده باشد یا در مدار قرار گرفته باشد. در این بخش می‌خواهیم بیان کنیم که چه عواملی روی مقدار مقاومت این سیم اثر دارند و در نهایت، با چه فرمولی می‌توانیم مقاومت یک سیم رسانا را محاسبه کنیم. عوامل موثر بر مقاومت الکتریکی یک سیم رسانا را می‌توانیم شامل موارد زیر در نظر بگیریم:

اگر سه فاکتور اول را در یک رابطه جمع کنیم، می‌توانیم مقدار مقاومت الکتریکی یک سیم رسانا با طول L، سطح مقطع A و مقاومت ویژه ρ را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$R=rhofrac{L}{A}$$

در رابطه بالا برای اینکه مقدار مقاومت R را بر حسب اهم (Ω) به‌دست آوریم، لازم است طول سیم بر حسب متر (m)، سطح مقطع آن برحسب متر مربع (m²) و مقاومت ویژه بر حسب اهم‌ در متر (Ω.m) باشد. طبق این فرمول، رابطه بین مقاومت الکتریکی یک سیم رسانا و طول آن مستقیم است، به این معنا که هر چه طول سیم رسانا بیشتر باشد، مقدار مقاومت آن هم بیشتر است. با توجه به توضیحی که در مورد برخورد الکترون‌ها با اتم‌های ماده رسانا داده بودیم، اگر سیم رسانا طویل باشد، احتمال بیشتری برای برخورد الکترون‌ها با اتم‌های ماده وجود دارد.

اما سطح مقطع سیم رسانا رابطه معکوس با مقدار مقاومت دارد. به این صورت که سیم‌های عریض‌تر (به معنای داشتن سطح مقطع بالاتر)، مقاومت کمتری دارند و در نتیجه، جریان الکتریکی بیشتری را از خود عبور می‌دهند. اما از سیم‌های نازک‌تر جریان کمتری عبور می‌کند، به این دلیل که در سطح مقطع کوچک چنین سیم‌هایی، تعداد برخوردهای بین الکترون‌ها و اتم‌ها افزایش خواهد یافت. پس سطح مقطع کوچک سیم‌های نازک، مقاومت بالایی را در مقابل حرکت الکترون‌ها ایجاد خواهد کرد.

مقاومت ویژه چیست؟

یاد گرفتیم برای یک سیم رسانا، عوامل موثر بر مقاومت الکتریکی چیست. سومین مورد موثر در مقدار مقاومت الکتریکی، کمیتی به نام مقاومت ویژه بود. مقاومت ویژه نشان‌دهنده اثر جنس ماده رسانا در مقدار مقاومت الکتریکی آن است. برای مثال نقره یکی از بهترین مواد رسانا برای عبور جریان الکتریکی است چون دارای کمترین مقدار مقاومت ویژه است، اما هیچ‌گاه به‌عنوان سیم استفاده نمی‌شود، چون ماده گرانی است.

رتبه‌های بعدی از نظر کمترین مقادیر مقاومت ویژه، به مس و آلومینیم تعلق دارد و معمولا از این مواد در ساخت سیم استفاده می‌شود، چون هزینه کمتری نسبت به نقره دارند. در جدول بالا مقادیر مقاومت ویژه برای چند رسانا در دمای ‎۲۰ C آورده شده است.

رابطه مقاومت الکتریکی با دما

اگر بخواهیم دقیق‌تر بررسی کنیم، ساختار الکترونیکی ماده و دمای آن دو عامل اساسی در تعیین مقاومت ویژه یک رسانا به‌شمار می‌روند. برای اکثر مواد، با افزایش دما مقاومت ویژه و در نتیجه، مقاومت ماده زیاد می‌شود. رابطه‌ای که بین مقاومت ویژه یک ماده رسانا و دمای آن وجود دارد، به‌صورت زیر است:

$$rho=rho_0(1+alphatriangle T)$$

در فرمول بالا ρ مقاومت ویژه جدید رسانا در دمای نهایی T بر حسب اهم در متر (Ω.m)، ρ₀ مقاومت ویژه اولیه رسانا در دمای اولیه T₀ بر حسب اهم در متر (Ω.m)، α ضریب دمایی مقاومت بر حسب K^-1 و $$triangle T=T-T_0$$

اگر فرض کنیم بر اثر تغییرات دمایی، طول و سطح مقطع سیم رسانا ثابت بماند، با ضرب کردن دو طرف رابطه بالا در $$frac{L}{A}$$

$$frac{L}{A}rho=frac{L}{A}rho_0(1+alphatriangle T)$$

که طبق فرمول مقاومت سیم رسانا، می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بنویسیم:

$$R=R_0(1+alphatriangle T)$$

که در آن $$R=rhofrac{L}{A}$$

مثال فرمول مقاومت الکتریکی

پس از اینکه آموختیم فرمول‌های مقاومت الکتریکی چیست و چه کمیت‌هایی در محاسبه مقاومت باید لحاظ شوند، در این بخش نحوه استفاده از این فرمول‌ها را برای حل مسائل مختلف بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

مقاومت رزیستوری که جریان ‎۲ A و ولتاژ ‎۱۰ V از آن عبور می‌کند، چقدر است؟

پاسخ

برای به‌دست آوردن مقاومت، کافی است از قانون اهم استفاده کنیم:

$$R=frac{V}{I}$$

با قرار دادن مقادیر جریان و ولتاٰژ خواهیم داشت:

$$R=frac{10}{2}=5 Omega$$

مثال ۲

اگر یک لامپ حبابی با توان ‎۶۰ W به منبع تغذیه ‎۱۲۰ A متصل باشد، مقاومت آن چقدر است؟

پاسخ

در این سوال مقدار توان و جریان عبوری از لامپ داده شده است. پس با کاربرد رابطه توان با مقاومت و جریان به‌صورت زیر، می‌توانیم مقدار مقاومت لامپ را به‌دست آوریم:

$$P=RI^2$$

$$Rightarrow R=frac{P}{1^2}$$

$$Rightarrow R=frac{60}{(120)^2}=frac{60}{14400}=0.004 Omega= 4 mOmega$$

مثال ۳

اگر فیلامنت لامپ جلویی یک ماشین از جنس تنگستن و دارای مقاومتی به اندازه ‎۰٫۳۵ Ω باشد، با در نظر گرفتن شکل هندسی این فیلامنت به‌صورت استوانه‌ای با طول ‏‎۴ cm، قطر آن چقدر است؟

($$rho=5.6times10^{-8} Omega.m$$

پاسخ

با توجه به پارامترهایی که در صورت سوال به ما داده شده است، مثل طول فیلامنت، جنس و مقاومت آن، مشخص است که با کاربرد رابطه زیر می‌توانیم ابتدا سطح مقطع و سپس شعاع یا قطر فیلامنت را محاسبه کنیم:

$$R=rhofrac{L}{A}$$

منتهی در این سوال مقدار مقاومت مشخص است، اما A مجهول است. پس داریم:

$$Rightarrow A=rhofrac{L}{R}$$

با تبدیل واحد سانتی‌متر به متر برای مقدار طول به این صورت که $$4 cm=4times10^{-2}$$

$$Rightarrow A=5.6times10^{-8} timesfrac{4times10^{-2}}{0.35}$$

$$Rightarrow A=6.4times10^{-9} m^2$$

سطح مقطع یک فیلامنت استوانه‌ای، دایره است. پس اگر مساحت دایره را داشته باشیم، می‌توانیم شعاع و قطر آن را محاسبه کنیم. می‌دانیم مساحت دایره‌ای به شعاع r به شکل زیر به‌دست می‌آید:

$$A=pi r^2$$

بنابراین شعاع سطح مقطع دایره‌ای شکل فیلامنت خواهد شد:

$$r=sqrt{frac{A}{pi }}$$

$$Rightarrow r=sqrt{frac{6.4times10^{-9}}{3.14}}=4.5times10^{-5} m$$

در صورت سوال مقدار قطر فیلامنت خواسته شده است و می‌دانیم که قطر دایره برابر است با دو برابر شعاع آن. پس قطر یا D می‌شود:

$$Rightarrow D=2r=9times10^{-5} m$$

مثال ۴

در مثال قبلی، اگر دمای فیلامنت از دمای اتاق (‎۲۰ C) بیشتر شود و به ‎۲۸۵۰ C برسد، مقاومت آن چقدر خواهد شد؟

($$alpha=4.5times10^{-3} C^{-1}$$

پاسخ

در این سوال ارتباط مقاومت نهایی فیلامنت تنگستنی با تغییرات دمایی باید حساب شود. از رابطه مقاومت و دما خواهیم داشت:

$$R=R_0(1+alphatriangle T)$$

مقاومت اولیه فیلامنت یا R₀ که در دمای اتاق محاسبه شده است، طبق مثال قبلی برابر است با ‎۰٫۳۵ Ω. همچنین دقت کنید در این سوال ضریب دمایی α بر حسب معکوس درجه سانتی‌گراد داده شده است. بنابراین اگر ما در محاسبات خود تغییرات دما را بر حسب درجه سلسیوس یا سانتی‌گراد قرار دهیم، مشکلی ایجاد نمی‌شود. اما اگر دماها را به کلوین تبدیل کنیم، حتما باید α را نیز بر حسب معکوس کلوین داشته باشیم. تغییرات دما برابر می‌شود با:

$$triangle T=T-T_0=2850-20=2830 C$$

$$Rightarrow R=0.35(1+4.5times10^{-3}times2830)=4.8 Omega$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

تمرین ۴

انواع مقاومت الکتریکی چیست؟

در این بخش می‌خواهیم ببینیم انواع مقاومت الکتریکی چیست. منظورمان از انواع مقاومت، انواع رزیستور‌هایی است که می‌توانیم در مدارهای الکتریکی استفاده کنیم. مقاومت‌ها در حالت کلی به دو گروه خطی و غیرخطی تقسیم‌بندی می‌شوند که نوع خطی مقاومت‌ها، شامل دو گروه «مقاومت ثابت» (Fixed Resistors) و «مقاومت متغیر» (Variable Resistors) است.

در یک مقاومت خطی و ثابت، مقدار مقاومت مستقل از افزایش یا کاهش ولتاژ یا دما، ثابت باقی می‌ماند و ما در این مطلب بیشتر به بیان خصوصیات مقاومت‌های خطی و ثابت پرداخته‌ایم، چون کاربرد بیشتری دارند. این گروه از مقاومت‌ها بر اساس ساختار و نوع موادی که در ساخت آن‌ها استفاده شده است، شامل موارد زیر می‌شوند:

• «مقاومت‌های سیمی یا آجری» (Wire Wound Resistors)
• مقاومت‌های کربنی
• «مقاومت‌های لایه‌ای» (Film-type Resistors) شامل لایه نازک یا معمولی (ضخیم)
• «مقاومت‌های صفحه‌ای» (Surface-mount Resistors) یا چیپ‌های مقاومت

در ادامه با انواع مقاومت‌های خطی و ثابت که در بالا معرفی شدند، آشنا می‌شویم. همچنین «ترمیستور» (Thermistors) را به‌عنوان یک نمونه مقاومت غیرخطی توضیح می‌دهیم. همچنین در صورت تمایل برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد مقاومت‌های متغیر می‌توانید مطلب «پتانسیومتر و انواع آن — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» از مجله فردارس را مطالعه کنید.

مقاومت‌ آجری

در ابتدای این بخش، اشاره کردیم که انواع مقاومت الکتریکی چیست. در این بخش با ویژگی‌های یک نوع از مقاومت‌ها یعنی مقاومت سیمی یا آجری، بیشتر آشنا می‌شویم. مقاومت سیمی طبق شکل زیر، از پیچاندن سیم فلزی دور یک هسته عایق ساخته می‌شود. جنس هسته معمولا از سرامیک یا پلاستیک و جنس سیم معمولا از «نیکروم» (Nichrome)‌، تنگستن یا نیکل است.

در یک مقاومت سیمی، سیم فلزی دور هسته به‌عنوان مقاومت عمل می‌کند و عبور جریان را محدود می‌سازد. از این نوع مقاومت‌ معمولا در مواردی که به جریان‌های بالا با مقاومت کم نیاز است، استفاده می‌شود. همچنین این مقاومت‌ها برای کار در دماهای بالایی مثل ‎۳۵۰ C یک گزینه مطمئن محسوب می‌شوند. نرخ توانی این مقاومت‌ها از ‎۲ W شروع می‌شود و تا ‎۱۰۰ W ادامه دارد. علی‌رغم بازدهی و دقت بالا و نویز کم، مشکل بزرگ این نوع مقاومت‌ها گران بودن آ‌ن‌ها است. همچنین در تجهیزات فرکانس بالا هم نمی‌توان از این دسته از مقاومت‌ها استفاده کرد.

مقاومت‌ کربنی

در ادامه بررسی اینکه انواع مقاومت الکتریکی چیست، در این قسمت مقاومت‌های کربنی را شرح می‌دهیم. مقاومت کربنی از ذرات کربن، گرافیت و سرامیک مخلوط شده با یک ماده عایق پودری ساخته می‌شود. این ترکیب در مقابل دما و فشار بالا مقاوم است.

با اینکه قدمت مقاومت‌های کربنی هم مثل مقاومت‌های سیمی بالا است، اما امروزه به‌علت هزینه بالا و پایداری پایین از این مقاومت‌ها کمتر استفاده می‌شود. شکل ظاهری مقاومت کربنی شامل چند نوار رنگی است که برای تعیین مقدار مقاومت، از این رنگ‌ها طبق قواعد خاصی استفاده می‌شود. در بخش‌های بعدی سیستم کد رنگی این مقاومت‌ها را شرح خواهیم داد.

مقاومت‌ لایه‌ای

در بخش قبل یاد گرفتیم که نوع کربنی مقاومت الکتریکی چیست و چه ویژگی‌هایی دارد. در این بخش نوع لایه‌ای مقاومت را بررسی می‌کنیم. همان‌طور که در ابتدای این بخش اشاره شد، مقاومت لایه‌ای می‌تواند به صورت «لایه نازک» (Thin Film) یا «لایه ضخیم» (Thick Film) باشد. مقاومت‌های لایه‌ای ضخیم شامل گروه‌های زیر می‌شوند:

• مقاومت‌های اکسید فلزی
• مقاومت‌های فیوزی

در حالی که مقاومت‌های لایه نازک به گروه‌های زیر تقسیم می‌شوند:

• مقاومت‌های لایه نازک فلزی
• مقاومت‌های فیلم کربنی

مقاومت‌های لایه‌ای با ایجاد یک لایه مقاومت روی پایه‌ای از جنس سرامیک ساخته می‌شوند. بسته به ضخامت لایه تشکیل شده، این مقاومت‌ها در دو گروه ضخیم و نازک طبقه‌بندی خواهند شد. ضخامت لایه نازک در مقاومت‌های لایه نازک تقریبا برابر است با ‎۰٫۱ μm یا کمتر. در ادامه خصوصیات چند نوع مقاومت لایه‌ای را توضیح می‌دهیم.

مقاومت‌ فیوزی

مقاومت‌های فیوزی شبیه مقاومت‌های سیمی هستند. اما تفاوت مهم این نوع مقاومت با مقاومت سیمی در این است که مقاومت فیوزی همان‌طور که از نامش پیداست، مانند یک فیوز عمل می‌کند. در مقاومت فیوزی جریان از یک اتصال فنری عبور می‌کند و کلاهکی که در انتهای فنر قرار داده شده است، در صورت زیاد شدن مقاومت گرم می‌شود و با ذوب شدن، اتصال را باز می‌کند. به این ترتیب عملکرد فیوز در این مقاومت اجرا خواهد شد.

پس می‌توانیم بگوییم علاوه‌بر اینکه این نوع از مقاومت‌ها جریان را محدود می‌کنند، اگر نرخ توانی مدار از یک حد مشخصی بیشتر شود، مقاومت فیوزی مانند یک فیوز عمل کرده و مدار را قطع می‌کند. معمولا مقدار مقاومتی که این رزیستورها می‌دهند حدود ‎۱۰ Ω است. از این مقاومت‌ها در سیستم تلویزیون یا تقویت‌کننده‌ها استفاده می‌شود.

مقاومت فیلم کربنی

در بخش‌‌های قبل یاد گرفتیم که نوع کربنی مقاومت الکتریکی چیست. در مقاومت لایه‌ای کربنی به‌جای پودر، لایه کربن بکار گرفته شده است. اما ساختار لایه‌ای این مقاومت باعث می‌شود که حساسیت کمتری نسبت به دما داشته باشد. بنابراین، تحمل و طول عمر مقاومت کربنی لایه‌ای یا فیلم کربنی نسبت به مقاومت کربنی معمولی بیشتر است. درصد خطای این نوع مقاومت ۵٪ یا ۱۰٪ است. این نوع مقاومت از نوع لایه نازک‌های مقاومت محسوب می‌شود.

مقاومت‌‌ اکسید فلزی

پس از اینکه یاد گرفتیم نوع فیوزی و فیلم کربنی مقاومت الکتریکی چیست، در این بخش نوع دیگری از مقاومت لایه‌ای ضخیم را بررسی می‌کنیم که در آن جنس لایه از اکسید یک فلز است. خصوصیات این نوع مقاومت مانند مقاومت فیلم کربنی است. درصد خطای این نوع مقاومت ۱٪ یا ۲٪ است. پایداری حرارتی این مقاومت‌ها بالا است و به همین دلیل از آن‌ها در کاربردهای ولتاژ بالا استفاده می‌شود.

تفاوت این نوع مقاومت با مقاومت لایه نازک فلزی در این است که مقاومت اکسید فلزی از اکسید شدن یک لایه ضخیم کلرید قلع (Tin Chloride) روی میله شیشه‌ای به‌عنوان زیرلایه ساخته می‌شود. اما مقاومت لایه نازک فلزی شامل یک ترکیب فلزی مثل ترکیب قلع و اکسیژن است که اکسید قلع را می‌سازند و چنین لایه نازکی روی زیرلایه نشانده می‌شود.

ترمیستور

در این بخش می‌آموزیم که نوع حرارتی مقاومت الکتریکی چیست. همان‌طور که از نام این نوع مقاومت مشخص است، ترمیستورها به دما حساس هستند. روش کار ترمیستور به این صورت است که با تغییرات دمای کارکرد مدار، مقادیر این نوع مقاومت هم عوض می‌شود. معمولا ترمیستورها در مدارهای الکترونیکی که کنترل دما در آن‌ها قابل‌ اندازه‌گیری است، به‌کار می‌روند.

کد رنگی مقاومت الکتریکی چیست؟

در بخش قبل کاملا متوجه شدیم که انواع مقاومت الکتریکی چیست. در این قسمت می‌خواهیم نحوه خواندن مقدار عددی مقاومت در قطعات مقاومت کربنی معمولی را به جهت کاربرد گسترده این نوع مقاومت، یاد بگیریم. اگر به خاطر داشته باشید، مقاومت‌های کربنی ابعاد خیلی کوچکی دارند. به همین علت به‌جای نوشتن مقدار مقاومت روی این قطعات، از سیستم خاصی برای خواندن مقدار مقاومت الکتریکی (R) این قطعات با واحد اهم (Ω)‌ استفاده می‌شود که سیستم «کد رنگی» (Color-coding)‌ نامیده می‌شود.

سیستم کد رنگی یک روش استاندارد برای خواندن مقدار مقاومت کربنی در همه جای دنیاست. در این سیستم هر رنگ، بیان‌گر مقادیر عددی خاصی است. در جدول زیر مشخص است که هر رنگ روی مقاومت کربنی، نشان‌دهنده کدام عدد است:

روی مقاومت کربنی معمولا چهار نوار رنگی چاپ می‌شود که دو نوار اول از سمت چپ، نشان‌دهنده عدد اصلی مقاومت و نوار سوم بیا‌ن‌گر مقدار اعشاری مقاومت است:

برای مثال مقدار مقاومتی که تصویر آن در این بخش درج شده است با توجه به رنگ‌های روی آن، برابر با مقدار بالا است. باید دقت کنید که هنگام خواندن مقدار مقاومت، رزیستور کربنی را طوری در دست نگه دارید که نوار چهارم یا درصد خطا در سمت راست شما قرار بگیرد. تشخیص نوار D یا خطا آسان است، چون این نوار معمولا با فاصله از سه نوار دیگر و فقط با رنگ‌های طلایی یا نقره‌ای چاپ می‌شود. به این ترتیب با استفاده از جدول بالا و طبق مراحل گفته شده، می‌توانید مقدار عددی مقاومت را بنویسید.

مثال کد رنگی مقاومت الکتریکی

برای اینکه بهتر متوجه شوید روش خواندن مقدار مقاومت الکترکی چیست، در این قسمت چند تصویر از مقاومت‌های کربنی مختلف قرار داده‌ایم که با هم مقدار مقاومت هر کدام را می‌نویسیم. در انتها با حل تمرین قرار داده شده در قالب سوال چهار گزینه‌ای، می‌توانید تسلط خود را روی این مبحث بیشتر کنید.

مثال ۱

مقدار مقاومت الکتریکی مقاومت زیر چند اهم است؟

پاسخ

برای نوشتن مقدار مقاومت این رزیستور کربنی، به جدول بالا و شکل مقاومت دقت می‌کنیم. از سمت چپ به راست، رنگ‌های قرمز، نارنجی، نارنجی و طلایی را برای نوار خطا داریم که معادل با اعداد زیر می‌شوند:

• اولین نوار، نوار قرمز: عدد صحیح $$2$$
• دومین نوار، نوار نارنجی: عدد صحیح $$3$$
• سومین نوار، نوار نارنجی: $$10^3$$ که در $$23$$ ضرب می‌‌شود.
• آخرین نوار، نوار طلایی: خطای $$pm5$$

با قرار دادن این مقادیر در کنار هم، خواهیم داشت:

$$23times10^3 Omega pm5$$

می‌دانیم که مقدار مقاومت برحسب اهم است. می‌توانیم مقاومت بالا را به شکل ساد‌ه‌تر زیر هم بنویسیم:

$$23000 Omega pm5$$

مثال ۲

مقدار مقاومت الکتریکی و خطا را برای شکل زیر به‌دست آورید:

پاسخ

در این مثال محاسبه مقدار خطا هم خواسته شده است که در ادامه آن را توضیح می‌دهیم. ابتدا مقاومت را می نویسیم. با توجه به شکل از چپ به راست رنگ‌های قرمز، قرمز، نارنجی و نقره‌ای را برای نوار خطا داریم که معادل با اعداد زیر می‌شوند:

• اولین نوار، نوار قرمز: عدد صحیح $$2$$
• دومین نوار، نوار قرمز: عدد صحیح $$2$$
• سومین نوار، نوار نارنجی: $$10^3$$ که در $$22$$ ضرب می‌‌شود.
• آخرین نوار، نوار نقره‌ای: خطای $$pm10$$

با قرار دادن این مقادیر در کنار هم، خواهیم داشت:

$$22times10^3 Omega pm10$$

اگر عدد بالا را ساده‌تر کنیم، داریم:

$$22000 Omega pm10$$

حالا می‌رویم سراغ محاسبه مقدار خطا. اگر مقدار مقاومت به‌دست آمده را در درصد خطا ضرب کنیم، مقدار خطای مقاومت را خواهیم داشت. بنابراین برای این مقاومت، خطا برابر می‌شود با:

$$22000 times 10$$

دقت کنید در رابطه بالا، درصد را به‌ شکل $$frac{1}{100}$$

$$22000 timesfrac{10}{100}=2200 Omega$$

بنابراین مقدار خطا ۲۲۰۰ اهم شد. معنای این خطا این است که مقاومت بالا می‌تواند مقادیری به‌جز مقدار واقعی خود یعنی ۲۲۰۰۰ اهم داشته باشد. محدوده تغییرات مقاومت، از کمترین مقدار یعنی ۱۹۸۰۰ اهم تا بیشترین مقدار یعنی ۲۴۲۰۰ اهم متغیر است:

$$22000-2200=19800 Omega$$

$$22000+2200=24200 Omega$$

تمرین

کمترین مقدار مقاومت ممکن برای این شکل چقدر است؟

$$3.2 Omega$$

$$35.2 Omega$$

$$28.8 Omega$$

مشاهده جواب

گزینه آخر درست است. ابتدا باید تعیین کنیم که مقدار واقعی این مقاومت چقدر است. سپس با محاسبه خطا، می‌توانیم کمترین و بیشترین مقادیر ممکن برای این مقاومت را محاسبه کنیم. از چپ به راست رنگ‌های نارنجی، قرمز، سیاه و نقره‌ای را داریم که معادل با اعداد زیر می‌شوند:

اولین نوار، نوار نارنجی: عدد صحیح $$3$$
دومین نوار، نوار قرمز: عدد صحیح $$2$$
سومین نوار، نوار سیاه: $$1$$ که در $$32$$ ضرب می‌‌شود.
آخرین نوار، نوار نقره‌ای: خطای $$pm10$$

با قرار دادن این مقادیر در کنار هم، خواهیم داشت:

$$32times1 Omega pm10$$

حالا مقدار خطا را محاسبه می‌کنیم:

$$32 times 10$$

با کم کردن این مقدار از مقدار اصلی مقاومت، کمترین مقاومتی که این رزیستور می‌تواند داشته باشد به‌دست می‌آید:

$$32-3.2=28.8 Omega$$

اتصال سری و موازی مقاومت‌ الکتریکی

در مدارهایی که شامل چند مقاومت‌اند، با تبدیل این چند مقاومت به یک «مقاومت معادل» (Equivalent Resistor) یا R_eq، می‌توانیم مدار پیچیده خود را ساده‌تر کنیم. در این بخش یاد می‌گیریم معادل این مقاومت الکتریکی چیست و چگونه محاسبه می‌شود. مقاومت‌ها در مدار ممکن است به‌صورت سری یا موازی به‌هم متصل شوند که برای هر کدام نحوه محاسبه مقاومت معادل متفاوت است. در بخش‌های بعد، فرمول محاسبه مقاومت معادل را برای اتصال سری یا موازی مقاومت‌ها بیان می‌کنیم.

اتصال سری مقاومت‌ الکتریکی

می‌خواهیم ببینیم اتصال سری برای مقاومت الکتریکی چیست و چه مفهومی دارد. فرض کنید بین دو نقطه A و B‌ در یک مدار فرضی مطابق شکل زیر سه مقاومت مشابه داشته باشیم. اگر سر دوم مقاومت اول به سر اول مقاومت دوم و سر دوم مقاومت دوم به سر اول مقاومت سوم متصل شده باشد، می‌گوییم که اتصال این مقاومت‌ها در مدار سری است.

تمام مقاومت‌هایی که به‌صورت سری به هم وصل شده‌اند، دارای جریان مشترکی هستند. بنابراین می‌توانیم مقاومت معادل (R_eq) برای چند مقاومت سری را مجموع تمام مقاومت‌ها بدانیم:

$$R_{eq}=sum{R}=R_1+R_2+…$$

$$I_{eq}=I_1=I_2=…$$

اتصال موازی مقاومت‌ الکتریکی

پس از اینکه یاد گرفتیم اتصال سری برای مقاومت الکتریکی چیست، در این بخش نحوه اتصال موازی مقاومت‌ها را بررسی می‌کنیم. فرض کنید در شکل زیر بین دو نقطه از مدار سه مقاومت مشابه به هم متصل شده‌‌اند. اگر سر اول هر مقاومت به نقطه A و سر دوم هر مقاومت به نقطه B‌ متصل شده باشد، در این صورت این اتصال موازی است.

همان‌طور که از شکل بالا می‌توان حدس زد، برای مقاومت‌هایی که به‌صورت موازی به هم وصل می‌شوند، ولتاژ دو سر هر مقاومت با ولتاژ کل بین دو نقطه A و B برابر است. بنابراین فرمول مقاومت معادل برای اتصال موازی مقاومت‌ها می‌شود:

$$frac{1}{R_{eq}}=sumfrac{1}{R}=frac{1}{R_1}+frac{1}{R_2} +…$$

$$V_{eq}=V_1=V_2 =…$$

در اینجا برای درک بهتر نوع اتصال، سه مقاومت را مشابه فرض کردیم. در واقعیت مقاومت‌ها در مدار می‌توانند مقادیر مقاومت مشابه هم نداشته باشند. همچنین ممکن است در یک مدار هم چند مقاومت سری و هم چند مقاومت موازی داشته باشم.

مثال مقاومت‌ الکتریکی سری و موازی

در انتهای این مطلب، با حل چند مثال و تمرین به شما کمک می‌کنیم تا بهتر متوجه شوید در یک مدار پیچیده، راه‌های مختلف اتصال مقاومت‌ الکتریکی چیست و چگونه می‌توان با محاسبه مقاومت معادل، مدارهای پیچیده را ساده‌تر کرد.

مثال ۱

مدار زیر را در نظر بگیرید که در آن مقدار V_in برابر با ‎۱۲ V و جریان کل مدار ‎۲ A است. اگر ولتاژ اندازه‌گیری شده برای نقطه‌ای بین دو رزیستور Z₁ و Z₂ تا زمین ‎۸ V باشد، مقاومت رزیستور Z₁ چقدر است؟

پاسخ

با توجه به اینکه جریان کل عبوری از این مدار و ولتاژ اولیه وارد شده به مدار را داریم، اولین کاری که می‌توانیم انجام دهیم، محاسبه مقاومت کل مدار با استفاده از قانون اهم است:

$$R=frac{V}{I}$$

$$Rightarrow R=frac{12}{2}=6 Omega$$

حالا اگر به صورت سوال دقت کنیم، ولتاژی که برای نقطه‌ای بین دو رزیستور تا زمین در نظر گرفته شده است، همان افت ولتاژی است که در عبور از رزیستور دوم یعنی Z₂ داریم. بنابراین می‌توانیم با کاربرد قانون اهم و تعریف این ولتاژ به شکل $$V_2=8 V$$

$$Z_2=frac{V_2}{I}$$

$$Rightarrow Z_2=frac{8}{2}=4 Omega$$

دقت کنید در این مدار، دو مقاومت Z به‌صورت سری به هم متصل شده‌اند. پس جریان عبوری از کل مدار، همان جریانی است که از دو رزیستور سری نیز می‌گذرد و مقدار جریان برای رابطه بالا عوض نمی‌شود. گفتیم مقاومت معادل برای چند مقاومت سری به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$R_{eq}=sum{R}=R_1+R_2$$

$$Rightarrow Z=Z_1+Z_2$$

در این سوال به‌جای R‌ از Z برای نشان دادن مقاومت استفاده شده است. پس با داشتن مقادیر مقاومت کل این مدار و مقاومت رزیستور دوم، مقاومت رزیستور اول را به‌صورت زیر محاسبه کنیم:

$$Rightarrow Z_1=Z-Z_2=6 Omega – 4 Omega=2 Omega$$

مثال ۲

در مدار شکل زیر، اگر هر رزیستور دارای مقاومت ‎۲ Ω باشد، جریان عبوری از کل مدار چقدر است؟

پاسخ

در مدار شکل بالا هر چهار مقاومت به‌صورت موازی به هم متصل شده‌اند و ولتاژ اعمال شده به کل مجموعه، برابر با ‎۱۲ V است. بنابراین طبق فرمولی که برای محاسبه مقاومت‌ معادل چند مقاوت موازی در مدار بیان کردیم، خواهیم داشت:

$$frac{1}{R_{eq}}=sumfrac{1}{R}=frac{1}{R_1}+frac{1}{R_2} +frac{1}{R_3} +frac{1}{R_4}$$

با قرار دادن مقادیر مقاومت برای هر رزیستور در فرمول بالا، مقاومت معادل خواهد شد:

$$Rightarrow frac{1}{R_{eq}}=frac{1}{2}+frac{1}{2} +frac{1}{2} +frac{1}{2} =4times frac{1}{2}=2$$

$$frac{1}{R_{eq}}=2 Rightarrow R_{eq}=frac{1}{2}=0.5 Omega$$

پس از اینکه توانستیم مقاومت معادل برای این چهار مقاومت را پیدا کنیم، مدار ما به شکل زیر تبدیل خواهد شد که در آن مقاومت R همان مقاومت معادل با چهار مقاومت ۲ اهمی است:

حالا که مدار ساده شد، می‌توانیم جریان عبوری از این مدار را با استفاده از قانون اهم به‌دست آوریم:

$$I=frac{V}{R}$$

$$Rightarrow I=frac{12}{0.5}=24 A$$

مثال ۳

در مدار شکل زیر، اگر افت ولتاژ در مقاومت R₁ برابر با ‎۱٫۷۵ V باشد، مقاومت R₂ چقدر است؟

($$epsilon=2.5 V, R_1=70 Omega, I=24 mA$$

پاسخ

قانون اهم را برای کل مدار به شکل زیر  می‌نویسیم:

$$epsilon=IR_{eq}$$

ولتاژ کل همان نیرو محرکه الکتریکی است که با ε نشان داده می‌شود. دو مقاومت در این مدار به‌صورت سری به هم متصل شده‌اند. بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$$R_{eq}=sum{R}=R_1+R_2$$

$$epsilon=I(R_1+R_2)$$

$$Rightarrow epsilon=IR_1+IR_2 Rightarrow IR_2 =epsilon – IR_1$$

$$Rightarrow R_2 =frac{epsilon}{I} – R_1$$

$$Rightarrow R_2 =frac{2.5}{24times10^{-3}} – 70=104-70=34 Omega$$

تمرین ۱

در شکل زیر، اگر مقاومت Z₁ از دو رزیستور موازی با مقاومت‌های ‎۳ Ω و ‎۷ Ω ساخته شده باشد، در حالی که مقاومت Z₂ یک تک رزیستور ‎۶ Ω است، آن‌گاه مقدار جریان عبوری از این مدار با V_in برابر با ‎۱۲ V چقدر خواهد شد؟

مشاهده جواب

گزینه دوم صحیح است. مدار این سوال دقیقا مشابه مدار مثال اول است، با این تفاوت که در این سوال مقاومت‌های Z₁ و Z₂ به‌صورت متفاوتی چیده شده‌اند. ابتدا مقاومت معادل را حساب می‌کنیم تا در نهایت بتوانیم با داشتن ولتاژ کل یا V_in، جریان عبوری از مدار را از قانون اهم به‌دست آوریم. قدم اول محاسبه مقاومت معادل برای Z₁ است که خودش متشکل از دو مقاومت موازی است:

$$frac{1}{Z_1}=frac{1}{3}+frac{1}{7} =frac{7+3}{21}=frac{10}{21}$$

$$Rightarrow{Z_1}=frac{21}{10}=2.1 Omega$$

حالا مقاومت معادل دو مقاومت Z₁ و Z₂ را که سری هستند، پیدا می‌کنیم:

$$Z=Z_1+Z_2$$

$$Rightarrow Z=2.1+6=8.1 Omega$$

حالا با کابرد قانون اهم، جریان عبوری از کل این مدار محاسبه خواهد شد:

$$I=frac{V}{R}$$

$$Rightarrow I=frac{12}{8.1}=1.48 A$$

تمرین ۲

طبق شکل زیر، اگر فرض کنیم مقادیر سه مقاومت R₁، R₂ و R₃ مشخص و مقدار مقاومت R_x متغیر است، کدام گزینه مقدار مقاومت متغیر را در شرایطی می‌دهد که ولت‌متر مقدار ولتاژ را صفر نشان دهد؟

$$R_x=frac{1}{R_1R_2R_3}$$

$$R_x=R_1R_2R_3$$

$$R_x=frac{R_2R_3}{R_1}$$

$$R_x=frac{R_1R_3}{R_2}$$

مشاهده جواب

گزینه سوم درست است. نکته مهمی که از صفر شدن ولتاژ بر اساس خوانش ولت‌متر برداشت می‌شود، این است که اختلاف پتانسیل بین ردیف بالا و ردیف پایین مدار باید صفر باشد. بنابراین لازم است افت ولتاژی که در مقاومت ردیف بالا (top) و سمت چپ ولت‌متر داریم با افت ولتاژی که در مقاومت ردیف پایین (bottom)‌ و سمت چپ ولت‌متر رخ می‌دهد، برابر شود:

$$I_{top}R_1=I_{bottom}R_3$$

به همین صورت برای سمت راست خواهیم داشت:

$$I_{top}R_2=I_{bottom}R_x$$

با در نظر گرفتن R_x به‌َعنوان متغیر مسئله، خواهیم داشت:

$$R_x=frac{ I_{top}R_2}{I_{bottom}}$$

اگر از اولین رابطه برای سمت چپ مدار استفاده کنیم و نسبت دو جریان را بر حسب دو مقاومت بنویسیم، داریم:

$$I_{top}R_1=I_{bottom}R_3Rightarrow frac{I_{top}}{I_{bottom}}=frac{R_3}{R_1}$$

$$R_x=frac{ I_{top}}{I_{bottom}}R_2=frac{R_3}{R_1}R_2=frac{R_2R_3}{R_1}$$

تکمیل یادگیری مقاومت الکتریکی با فرادرس

پس از اینکه آموختیم مقاومت الکتریکی چیست و چه مفهوم یا ویژگی‌هایی دارد، چنانچه تمایل دارید دانش خود را در مورد مباحث الکتریسیته گسترش دهید و به مباحث پیشرفته‌تر دانشگاهی در این زمینه دسترسی داشته باشید، مشاهده فیلم‌های آموزشی زیر از مجموعه فرادرس را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

1. فیلم آموزش رایگان الکتریسیته ساکن با تمرین فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک الکتریسیته فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۲ دانشگاه فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک ۲ دانشگاه حل مساله فرادرس

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم که مفهوم مقاومت الکتریکی چیست و چه ارتباطی با سایر کمیت‌های مهم در الکتریسیته مانند جریان و ولتاژ دارد، به این صورت که با افزایش ولتاژ اگر مقاومت کم شود، جریان بیشتری خواهیم داشت. اما اگر ولتاژ و مقاومت هر دو زیاد شوند، لزوما افزایشی در جریان مشاهده نخواهیم کرد.

همچنین با قطعه مقاومت الکتریکی یا رزیستور در مدارهای الکتریکی آشنا شدیم و دیدم چه انواعی دارد. مقاومت عاملی است که مانع عبور بیشتر جریان از مدار می‌شود. برای مثال در یک سیم رسانا، مقاومت همان حرکت‌های تصادفی الکترون‌های آزاد در رسانا و برخورد آ‌ن‌ها با هم است. مقاومت چنین سیمی به ویژگی‌های فیزیکی سیم مانند طول، سطح مقطع یا جنس آن وابسته است.

بنابراین برخی قطعات مثل سیم‌های رسانا یا منبع ولتاژ و باتری‌ها، خودشان دارای مقاومت هستند. اما گاهی از قطعاتی در مسیر جریان در مدار استفاده می‌کنیم تا مقاومت ایجاد کنیم و به این ترتیب بتوانیم جریان را کنترل کنیم. این قطعات یا رزیستورها انواع مختلفی مثل مقاومت‌های کربنی یا سیمی دارند که بنا بر جنس، بازدهی و حساسیت به دما در کاربردهای مختلفی از آن‌ها استفاده می‌شود.