مسائل شامل عدد منفی زیر رادیکال، با توجه به فرجه رادیکال حل می‌شوند. برخی تصور می‌کنند که عدد منفی زیر رادیکال نمی‌رود. این تصور، تنها برای رادیکال با فرجه زوج درست است. به عبارت دیگر، عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال با فرجه فرد برود. در این حالت، جواب رادیکال، یک عدد منفی و حقیقی خواهد بود. با وجود تعریف نشده بودن رادیکال عدد منفی با فرجه زوج در مجموعه اعداد حقیقی، این رادیکال در مبحث اعداد موهومی دارای جواب است. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی تاثیر عدد منفی زیر رادیکال در حاصل عبارت‌های رادیکالی می‌پردازیم و چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته
997696

در ادامه، شرایط قرارگیری و عدم قرارگیری عدد منفی زیر رادیکال را مورد بررسی قرار می‌دهیم. سپس، ضمن توضیح در رابطه با ویژگی‌های عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج و فرد، در مورد علامت منفی پشت رادیکال و به توان رسیدن رادیکال عدد منفی صحبت می‌کنیم. در انتها نیز سطح یادگیری شما را با یک آزمون (به همراه پاسخ تشریحی) محک می‌زنیم.

آیا عدد منفی زیر رادیکال می رود؟

عدد منفی زیر رادیکال می‌رود. البته، قرارگیری عدد منفی زیر رادیکال، شرایط خاصی دارد. برای درک این شرایط، تعریف رادیکال و ویژگی‌های آن را مرور می‌کنیم. رادیکال، یک مفهوم پرکاربرد در ریاضیات است که عکس عمل به توان رساندن اعداد را نمایش می‌دهد.

به عنوان مثال، اگر عددی مانند ۲ ۲ را به توان ۲ ۲ برسانیم، خواهیم داشت:

۲۲=۴ ۲ ^ ۲ = ۴

به عبارت دیگر، مربع یا توان دوم عدد ۲ ۲ برابر با ۴ ۴ است. در مفهوم رادیکال، عملیات بالا برعکس می‌شود. به عبارت دیگر، می‌گوییم رادیکال عدد ۴ ۴ با ۲ ۲ برابری می‌کند. این جمله را با عبارت جبری زیر نشان می‌دهیم:

۴۲=۲ sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲

عددی که پشت رادیکال مشاهده می‌کنید (عدد ۲ ۲ )، فرجه رادیکال نام دارد. البته در صورت عدم نمایش این عدد، فرجه رادیکال برابر با ۲ ۲ در نظر گرفته می‌شود:

۴۲=۴=۲ sqrt [ ۲ ] { ۴ } = sqrt { ۴ } = ۲

به رادیکال با فرجه دو، ریشه دوم یا جذر نیز گفته می‌شود. عبارت بالا به ما می‌گوید که رادیکال چهار با فرجه دو (ریشه دوم یا جذر عدد چهار) برابر با دو است. به نظر شما، آیا عددی وجود دارد که توان دو آن برابر با یک عدد منفی شود. به عنوان مثال، عدد ۲ – ۲ را به توان ۳ ۳ برسانید. حاصل این عدد توان‌دار برابر است با:

(۲)۲=(۲)×(۲)=۴ ( – ۲ ) ^ ۲ = ( – ۲ ) times ( – ۲ ) = ۴

توان دوم (۲) ( – ۲ ) برابر با عدد (+۴) ( + ۴ ) است. حاصل توان دوم تمام اعداد حقیقی برابر با یک عدد مثبت می‌شود. با توجه به این موضوع و توضیحات قبلی، راجع به درستی عبارت جبری زیر فکر کنید:

۴=۲    ? sqrt { – ۴ } = – ۲ ?

عبارت جبری بالا درست نیست؛ زیر اگر عدد (۲) ( – ۲ ) را به توان ۲ ۲ ‌ برسانیم، حاصل آن برابر با (+۴) ( + ۴ ) می‌شود.

۴=۲    × sqrt { – ۴ } = – ۲ large times

 اکنون، یک مثال دیگر را در نظر بگیرید. اگر عدد ۲ – ۲ را به توان عدد ۳ ۳ برسانیم، خواهیم داشت:

(۲)۳=(۲)×(۲)×(۲)=۴×(۲)=۸ ( – ۲ ) ^ ۳ = ( -۲ ) times ( -۲ ) times ( -۲ ) = ۴ times ( – ۲ ) = – ۸

با توجه به مفهوم رادیکال، در مورد درستی عبارت جبری زیر فکر کنید:

۸۳=۲ sqrt [ ۳ ] { – ۸ } = – ۲

عبارت بالا به ما می‌گوید که رادیکال منفی هشت با فرجه سه (ریشه سوم عدد منفی هشت) برابر با منفی دو است. این عبارت، کاملا درست است؛ زیرا اگر عدد (۲) ( – ۲ ) را سه بار در خودش ضرب کنیم، به عدد (۸) ( – ۸ ) می‌رسیم. در این مثال دیدیم که یک عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال برود اما این موضوع به فرجه رادیکال بستگی دارد. در بخش‌های بعدی، بیشتر راجع به عدد منفی زیر رادیکال با فرجه‌های زوج و فرد صحبت می‌کنیم و به حل چند مثال و تمرین مرتبط با این موضوع می‌پردازیم تا به خوبی بر روی مسائل رادیکال تسلط پیدا کنید.

یک پسر دبیرستانی نشسته روی زمین در حال کتاب خواندن - عدد منفی زیر رادیکال

مثال ۱: تعیین درستی عددهای منفی زیر رادیکال

عبارت‌های زیر را در نظر بگیرید:

۹=۳ sqrt { – ۹ } = – ۳

=۳۲۷=۳ sqrt [ ۳ ] = { – ۲۷ } = – ۳

۱۴=۱ sqrt [ ۴ ] { – ۱ } = – ۱

۱۵=۱ sqrt [ ۵ ] { – ۱ } = – ۱

با استفاده از مفاهیم رادیکال و اعداد توان‌دار، درستی یا نادرستی عبارت‌های بالا را ثابت کنید.

عبارت ۹=۳ sqrt { – ۹ } = – ۳

(۳)۲=+۹۹ ( – ۳ ) ^ ۲ = + ۹ ne – ۹

بنابراین:

۹=۳    × sqrt { – ۹ } = – ۳ large times

برای دیگر عبارت‌ها نیز روند بالا بر اساس فرجه آن‌ها را طی می‌کنیم:

=۳۲۷=۳    ? sqrt [ ۳ ] = { – ۲۷ } = – ۳ ?

(۳)۳=(۳)×(۳)×(۳)=۹×(۳)=۲۷     ( – ۳ ) ^ ۳ = ( – ۳ ) times ( – ۳ ) times ( – ۳ ) = ۹ times ( – ۳ ) = – ۲۷ checkmark

=۳۲۷=۳     sqrt [ ۳ ] = { – ۲۷ } = – ۳ checkmark

۱۴=۱    ? sqrt [ ۴ ] { – ۱ } = – ۱ ?

(۱)۴=+۱۱ ( – ۱ ) ^ ۴ = + ۱ ne – ۱

۱۴=۱    × sqrt [ ۴ ] { – ۱ } = – ۱ large times

۱۵=۱    ? sqrt [ ۵ ] { – ۱ } = – ۱ ?

(۱)۵=۱ ( – ۱ ) ^ ۵ = – ۱

۱۵=۱     sqrt [ ۵ ] { – ۱ } = – ۱ checkmark

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، رادیکال‌های اعداد منفی با فرجه زوج، نادرست بوده اما رادیکال‌های اعداد منفی با فرجه فرد درست هستند.

 

چگونه در مورد قوانین رادیکال و عدد منفی زیر رادیکال یاد بگیریم؟

تصاویر بندانگشتی فیلم‌های مجموعه آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس
برای مشاهده فیلم‌های مجموعه آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس، بر روی تصویر کلیک کنید.

رادیکال، از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم ریاضی به شمار می‌رود. دانش‌آموزان دوره‌های اول و دوم متوسطه و همچنین دانشجویان رشته‌های مختلف، مخصوصا رشته‌های مهندسی و علوم پایه، با این مفهوم و روش‌های حل مسائل مرتبط با آن سر و کار دارند. تعریف رادیکال، در پایه هفتم ارائه می‌شود. در پایه‌های هشتم و نهم، مفاهیم و مسائل تکمیلی رادیکال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرند. بنابراین، بهترین راه برای شروع یادگیری مبحث رادیکال و حل مسائل مرتبط با آن، آشنایی با مطالب کتاب ریاضی هفتم، هشتم و نهم به همراه حل مثال‌ها و تمرین‌های متعدد در این زمینه است. فرادرس، چند فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که می‌توانند به شما در تسلط بر روی حل مسائل ریاضی هفتم، هشتم و نهم کمک کنند. لینک مشاهده این فیلم‌ها، در ادامه آورده شده است:

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه فرد

عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال با فرجه فرد برود. به عبارت دیگر، حاصل رادیکال یک عدد حقیقی منفی با فرجه فرد، یک عدد حقیقی خواهد بود. این ویژگی در مفهوم فرجه رادیکال و خاصیت نهفته است.

به عنوان مثال، عبارت رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

۶۴۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴ }

برای به دست آوردن جواب رادیکال بالا، ابتدا به فرجه آن نگاه می‌کنیم. این فرجه برابر با ۳ ۳ است. در مرحله بعد، به دنبال عددی می‌گردیم که توان سوم آن (عدد مورد نظر به توان فرجه رادیکال)، برابر با عدد زیر رادیکال شود.

?۳=۶۴ ? ^ ۳ = – ۶۴

به منظور ساده‌سازی محاسبات، علامت منفی را نادیده بگیرید. اکنون به دنبال عددی بگردید که اگر آن را به توان سه برسانیم، جوابش برابر با ۶۴ ۶۴ شود. این عدد ۴ ۴ است:

۴۳=۴×۴×۴=۶۴ ۴ ^ ۳ = ۴ times ۴ times ۴ = ۶۴

به جای ۴ ۴ ، توان سوم ۴ را به دست بیاورید:

(۴)۳=(۴)×(۴)×(۴) ( – ۴ ) ^ ۳ = ( – ۴ ) times ( – ۴ ) times ( – ۴ )

نکته بسیار مهم در توان فرد اعداد، این است که علامت اولیه در آن حفظ می‌شود. به عبارت دیگر، اگر علامت عددی مثبت باشد، علامت حاصل توان فرد آن نیز مثبت بوده و اگر علامت عددی منفی باشد، علامت حاصل توان فرد آن نیز منفی خواهد بود. بنابراین، هنگامی که ۴ – ۴ را به توان سه برسانیم، جواب آن منفی ۶۴ – ۶۴ می‌شود:

(۴)۳=(۴)×(۴)×(۴)=۶۴ ( – ۴ ) ^ ۳ = ( – ۴ ) times ( – ۴ ) times ( – ۴ ) = – ۶۴

به این ترتیب، با رساندن ۴ به توان ۳ ۳ ، به عدد زیر رادیکال ۶۴۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴ }

۶۴۳=۴ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴ } = – ۴

روش محاسبه عدد منفی زیر رادیکال با فرجه فرد

اگر فرجه رادیکال فرد بوده و عدد زیر رادیکال عضوی از مجموعه اعداد حقیقی باشد،‌ خروجی رادیکال نیز یک عدد حقیقی و هم‌علامت با عدد زیر رادیکال خواهد بود. به این ترتیب، در صورت مشاهده رادیکال منفی یک عدد با فرجه فرد، علامت منفی را به پشت رادیکال ببرید و محاسبات خود را به صورت عادی انجام دهید. این روش حل مسائل رادیکالی را با حل مثال توضیح می‌دهیم.

دانش آموزان ایستاده در مقابل ساختمان مدرسه در حال نگاه کردن به یک درخت پر از عدد در وسط ساختمان

مثال ۲: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۵

حاصل عبارت ۶۴۵ sqrt [ ۵ ] { -۶۴ }

می‌خواهیم حاصل رادیکال منفی شصت و چهار با فرجه پنج را به دست بیاوریم. برای این کار، ابتدا علامت منفی را به پشت رادیکال می‌بریم:

۶۴۵=؟ sqrt [ ۵ ] { -۶۴ } = ؟

۶۴۵=۶۴۵ sqrt [ ۵ ] { -۶۴ } = – sqrt [ ۵ ] { ۶۴ }

اکنون، به دنبال عددی می‌گردیم که توان پنجم آن برابر با عدد زیر رادیکال شود:

?۵=۶۴ ? ^ ۵ = ۶۴

عدد مورد نظر برابر با ۲ ۲ است؛ زیرا:

۲۵=۶۴ ۲ ^ ۵ = ۶۴

به این ترتیب، داریم:

۶۴۵=۲ sqrt [ ۵ ] { ۶۴ } = ۲

۶۴۵=۲ sqrt [ ۵ ] { -۶۴ } = – ۲

در نتیجه، حاصل عبارت ۶۴۵ sqrt [ ۵ ] { -۶۴ }

 

مثال ۳: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۳ به ضرب عدد در رادیکال

حاصل عبارت ۲۵۰۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ }

برای ساده‌سازی رادیکال منفی دویست و پنجاه با فرجه سه و نمایش آن به صورت ضرب عدد در رادیکال، ابتدا علامت منفی را به پشت رادیکال منتقل می‌کنیم:

۲۵۰۳=? sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = ?

۲۵۰۳=۲۵۰۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰ }

به منظور ساده‌سازی رادیکال، ضرب‌‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با عدد زیر می‌شود را می‌نویسیم:

۱×۲۵۰=۲۵۰ ۱ times ۲۵۰ = ۲۵۰

۲×۱۲۵=۲۵۰ ۲ times ۱۲۵ = ۲۵۰

۵×۵۰=۲۵۰ ۵ times ۵۰ = ۲۵۰

۱۰×۲۵=۲۵۰ ۱۰ times ۲۵ = ۲۵۰

از بین اعداد بالا، بزرگ‌تری مکعب کامل را انتخاب می‌کنیم. مکعب کامل، عددی است که از سه مرتبه ضرب یک عدد صحیح در خودش به دست آمده باشد. در اینجا، عدد ۱۲۵ ۱۲۵ ، بزرگ‌ترین مکعب کامل است؛ زیرا:

۱۲۵=۵×۵×۵=۵۳ ۱۲۵ = ۵ times ۵ times ۵ = ۵ ^ ۳

اکنون، به جای عدد ۲۵۰ ۲۵۰ ،‌ ضرب ۲×۱۲۵ ۲ times ۱۲۵

۲۵۰۳=۲×۱۲۵۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – sqrt [ ۳ ] { ۲ times ۱۲۵ }

۲۵۰۳=۲×۵۳۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – sqrt [ ۳ ] { ۲ times ۵ ^ ۳}

برای انجام ادامه محاسبات،‌ دو قانون مهم در رابطه با رادیکال‌ها را در نظر می‌گیریم:

  • رادیکال ضرب دو جمله برابر با ضرب رادیکال هر یک از آن جمله‌ها است.
  • اگر توان و فرجه رادیکال یک عدد با هم برابر باشند، جواب رادیکال برابر با آن عدد خواهد بود.

بر اساس قوانین بالا، داریم:

۲۵۰۳=۲۳×۵۳۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – sqrt [ ۳ ] { ۲ } times sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳}

۲۵۰۳=۲۳×۵ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – sqrt [ ۳ ] { ۲ } times ۵

در نتیجه، جواب این مثال به صورت زیر نوشته می‌شود:

۲۵۰۳=۵۲۳ sqrt [ ۳ ] { -۲۵۰ } = – ۵ sqrt [ ۳ ] { ۲ }

 

دانش‌آموزان، در کتاب ریاضی هفتم با رادیکال و حل مسائل مرتبط با آن آشنا می‌شوند. فرادرس، یک فیلم آموزشی مفید با عنوان «فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس» را تهیه کرده است که با ارائه توضیحات تئوری و حل چندین مثال، شما را در یادگیری دروس کتاب ریاضی هفتم و آمادگی برای امتحانات ریاضی کمک می‌کند. لینک مشاهده این فیلم آموزشی، در ادامه آورده شده است.

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج

عدد منفی نمی‌تواند زیر رادیکال با فرجه زوج برود. به عبارت دیگر،‌ حاصل رادیکال یک عدد حقیقی منفی با فرجه زوج، «تعریف نشده» است.

رادیکال زیر را در نظر بگیرید:

۹ sqrt { ۹ }

عدد زیر رادیکال (۹)( ۹ ) ، عضو مجموعه اعداد حقیقی است و یک جواب حقیقی برای رادیکال بالا، وجود دارد. این جواب، به صورت زیر نوشته می‌شود:

۹=۳ sqrt { ۹ } = ۳

رادیکال ۹ ۹ با فرجه ۲ ۲ برابر با ۳ ۳ است. زیرا اگر ۳ ۳ را به توان ۲ ۲ برسانیم، به عدد ۹ ۹ می‌رسیم:

۳۲=۹ ۳ ^ ۲ = ۹

اکنون رادیکال ۹ را در نظر بگیرید:

۹=× sqrt { – ۹ } = large times

برای رادیکال بالا، جواب حقیقی وجود ندارد؛ زیرا هیچ عدد حقیقی را نمی‌توانیم پیدا کنیم که توان دوم یا به طور کلی، توان زوج آن برابر با یک عدد منفی شود. به عبارت «حقیقی» در این تعریف دقت کنید. رادیکال با فرجه زوج، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است. بنابراین، اگر بخواهیم رادیکال یک عدد منفی با فرجه زوج را به دست بیاوریم، باید از مجموعه اعداد حقیقی فراتر برویم. در دوره متوسطه دوم و مقاطع بالاتر، با مفهومی آشنا می‌شوید که انجام این محاسبات را امکان‌پذیر می‌کند. در ادامه، به طور خلاصه به معرفی این مفهوم و نحوه محاسبه رادیکال عدد منفی با فرجه زوج می‌پردازیم.

یک کتاب باز در آسمان با خورشید در پس زمینه

روش محاسبه عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج

محاسبه رادیکال عدد منفی با فرجه زوج، با استفاده از مفهوم اعداد موهومی صورت می‌گیرد. عدد موهومی، عددی است که ریشه دوم منفی یک عدد حقیقی را نمایش می‌دهد. این عدد، با واحد i i نشان داده می‌شود. i i برابر است با:

i۱ i sqrt { – ۱ }

با تعریف i i ، می‌توانیم رادیکال با فرجه زوج یا ریشه زوج اعداد منفی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، ۹ sqrt { – ۹ }

۹=۱×۹ sqrt { – ۹ } = sqrt { -۱ times ۹ }

۹=۱×۳۲ sqrt { – ۹ } = sqrt { -۱ } times sqrt { ۳ ^ ۲ }

۹=۱×۳ sqrt { – ۹ } = sqrt { -۱ } times ۳

۹=۳i sqrt { – ۹ } = ۳ i

به این ترتیب، حاصل ۹ sqrt { – ۹ }

(۳i)۲=(۳۲)×(۱)۲=(۹)×(۱)=۹ ( ۳ i ) ^ ۲ = ( ۳ ^ ۲ ) times ( sqrt { – ۱ } ) ^ ۲ = ( ۹ ) times ( – ۱ ) = – ۹

به خاطر داشته باشید، جوابی که طی فرآیندهای بالا به دست آوردیم، در مجموعه اعداد حقیقی صدق نمی‌کند و عضو مجموعه اعداد موهومی است. اعداد حقیقی و موهومی، عضو مجموعه اعداد بزرگ‌تری با عنوان مجموعه اعداد مختلط هستند.

مثال ۴: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۲

حاصل عبارت ۷۵ sqrt { – ۷۵ }

عبارت ۷۵ sqrt { – ۷۵ }

۷۵=(۱)×۷۵ sqrt { – ۷۵ } = sqrt { ( – ۱ ) times ۷۵ }

۷۵=۱×۷۵ sqrt { – ۷۵ } = sqrt { – ۱ } times sqrt { ۷۵ }

۷۵=i×۲۵×۳ sqrt { – ۷۵ } = i times sqrt { ۲۵ times ۳ }

۷۵=i×۲۵×۳ sqrt { – ۷۵ } = i times sqrt { ۲۵ } times sqrt { ۳ }

۷۵=i×۵۲×۳ sqrt { – ۷۵ } = i times sqrt { ۵ ^ ۲ } times sqrt { ۳ }

۷۵=i×۵×۳ sqrt { – ۷۵ } = i times ۵ times sqrt { ۳ }

۷۵=(۵۳)i sqrt { – ۷۵ } = left ( ۵ sqrt { ۳ } right ) i

 

در مطلب «فرجه رادیکال چیست؟ – به زبان ساده با مثال و تمرین»، راجع به یکی از اجزای اصلی رادیکال و نحوه حل مسائل مربوط به رادیکال‌ها بر اساس فرجه صحبت کردیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، تاثیر علامت منفی پشت رادیکال بر روی محاسبه مقدار رادیکال را بررسی می‌کنیم.

علامت منفی پشت رادیکال با فرجه زوج یا فرد

یکی از مسائلی که برخی از دانش‌آموزان آن را با عدد منفی زیر رادیکال اشتباه می‌گیرند، وجود علامت منفی در پشت رادیکال است. این اشتباه، معمولا به دلیل آشنایی با یکی از ویژگی‌های رادیکال با فرجه فرد به وجود می‌آید. اگر فرجه رادیکال فرد بوده و عدد زیر آن منفی باشد، می‌توانیم علامت منفی را از زیر رادیکال به پشت آن یا از پشت آن به زیر رادیکال منتقل کنیم. به هر حال، جواب رادیکال، یک مقدار منفی خواهد بود.

در صورت زوج بودن فرجه، امکان جابجایی علامت منفی از پشت رادیکال به زیر رادیکال وجود ندارد. بنابراین، باید ابتدا جواب رادیکال (یک مقدار مثبت) را به دست بیاوریم و سپس علامت را پشت مقدار به دست آمده قرار دهیم. این موضوع را با حل یک مثال تشریح می‌کنیم.

دو خودکار با مزه با صورت و دست ایستاده روی دفتر یادداشت در حال صحبت با یکدیگر - عدد منفی زیر رادیکال

مثال ۵: محاسبه منفی رادیکال با فرجه ۵

حاصل عبارت ۲۴۳۵ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ }

به دلیل فرد بودن فرجه رادیکال، می‌توانیم علامت منفی پشت آن را به زیر رادیکال ببریم:

۲۴۳۵=(۲۴۳)۵ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ } = sqrt [ ۵ ] { – ( – ۲۴۳ ) }

۲۴۳۵=۲۴۳۵ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ } = sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ }

۲۴۳۵=۳۵۵ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ } = sqrt [ ۵ ] { ۳ ^ ۵ }

۲۴۳۵=۳ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ } = ۳

در نتیجه، حاصل ۲۴۳۵ – sqrt [ ۵ ] { – ۲۴۳ }

 

مثال ۶: محاسبه منفی رادیکال با فرجه ۴

مقدار ۱۶۴ – sqrt [ ۴ ] { ۱۶ }

عبارت ۱۶۴ – sqrt [ ۴ ] { ۱۶ }

۱۶۴=۲۴۴ – sqrt [ ۴ ] { ۱۶ } = – sqrt [ ۴ ] { ۲ ^ ۴ }

۱۶۴=۲ – sqrt [ ۴ ] { ۱۶ } = – ۲

در نتیجه، حاصل ۱۶۴ – sqrt [ ۴ ] { ۱۶ }

 

عدد منفی زیر رادیکال به توان ۲ یا بالاتر

یکی از مسائل مرتبط با مبحث عدد منفی زیر رادیکال، تاثیر توان بر محاسبه رادیکال است. در صورت به توان رساندن رادیکال، علامت منفی زیر آن تغییر نمی‌کند.

تفاوتی ندارد که توان رادیکال، یک عدد زوج یا فرد باشد. ماهیت رادیکال با مقدار منفی (حقیقی یا موهومی بودن جواب رادیکال)، به فرجه آن وابسته است. به عنوان مثال، رادیکال زیر را در نظر بگیرید:

۱ sqrt { – ۱ }

در بخش‌های قبلی دیدیم که هیچ جواب حقیقی برای رادیکال بالا وجود ندارد. اگر این رادیکال را به توان ۲ ۲ برسانیم، خواهیم داشت:

(۱)۲=۱ left ( sqrt { – ۱ } right ) ^ ۲ = – ۱

با وجود به دست آمدن یک عدد حقیقی (۱) ( – ۱ ) ، جواب رادیکال حقیقی نیست؛ زیرا ما یک عدد موهومی i=۱ i = sqrt { – ۱ }

(x)۲left ( sqrt { x } right ) ^ ۲

اگر مقدار متغیر زیر رادیکال را برابر با ۱ – ۱ قرار دهیم (x=۱)( x = – ۱ )

(x)۲=x۱۲۲ left ( sqrt { x } right ) ^ ۲ = x ^ { { frac { ۱ } { ۲ } } ^ ۲ }

(x)۲=x۲۲ left ( sqrt { x } right ) ^ ۲ = x ^ { frac { ۲ } { ۲ } }

(x)۲=x left ( sqrt { x } right ) ^ ۲ = | x |

(۱)۲=۱ left ( sqrt { – ۱ } right ) ^ ۲ = | – ۱ |

(۱)۲=+۱ left ( sqrt { – ۱ } right ) ^ ۲ = + ۱

عدد +۱ + ۱ در محاسبات بالا، یک مقدار حقیقی است. اکنون، عبارت رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

۱۳ sqrt [ ۳ ] { – ۱ }

جواب این عبارت، عضوی از مجموعه اعداد حقیقی است. بنابراین، اگر آن را به توان دو یا هر عدد زوج برسانیم، خواهیم داشت:

(۱۳)۲=+۱ left ( sqrt [ ۳ ] { – ۱ } right ) ^ ۲ = + ۱

به این ترتیب، به یک عدد حقیقی مثبت می‌رسیم.

مثال ۷: عدد منفی به توان دو زیر رادیکال

حاصل عبارت (x)۴left ( sqrt { x } right ) ^ ۴

برای به دست آوردن حاصل (x)۴left ( sqrt { x } right ) ^ ۴

(x)۲=x۱۲۴ left ( sqrt { x } right ) ^ ۲ = x ^ { { frac { ۱ } { ۲ } } ^ ۴ }

(x)۴=x۴۲ left ( sqrt { x } right ) ^ ۴ = x ^ { frac { ۴ } { ۲ } }

(x)۴=x۲ left ( sqrt { x } right ) ^ ۴ = x ^ ۲

x=۲ x = – ۲

(x)۴=(۲)۲ left ( sqrt { x } right ) ^ ۴ = ( – ۲ ) ^ ۲

(x)۴=۴ left ( sqrt { x } right ) ^ ۴ = ۴

 

در ادامه و آخرین بخش از این مطلب از مجله فرادرس، به حل چندین تمرین متنوع می‌پردازیم.

یک نوجوان نشسته روی یک صندلی با کتاب در اطرافش در حال فکر کردن

آزمون سنجش یادگیری عدد منفی زیر رادیکال

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث عدد منفی زیر رادیکال را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

می‌خواهیم از یک عدد منفی، رادیکال بگیریم. در چه صورتی این رادیکال دارای جواب خواهد بود؟

در صورت زوج بودن فرجه رادیکال

در صورت فرد بودن فرجه رادیکال

گزینه اول و دوم

عدد منفی نمی‌تواند زیر رادیکال با فرجه زوج برود. با این وجود، امکان محاسبه رادیکال عدد منفی با فرجه فرد وجود دارد. فقط در این حالت است که عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال برود.

ریشه دوم حقیقی عدد ۴ – ۴ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

گزینه اول و دوم

اعداد منفی، ریشه زوج حقیقی ندارند. در واقع، صورت سوال از ما می‌خواهد تا حاصل عبارت زیر را به دست بیاوریم:

۴ sqrt { – ۴ }

برای به دست آوردن حاصل عبارت رادیکالی بالا، باید به دنبال عددی باشیم که توان دوم آن برابر با ۴ – ۴ شود. چنین عددی در مجموعه اعداد حقیقی وجود ندارد.

از بین عبارت‌های زیر، کدامیک دارای جواب حقیقی است؟

۳۰۳ sqrt [ ۳ ] { – ۳۰ }

۲۴۴ sqrt [ ۴ ] { – ۲۴ }

۳۰۳ sqrt [ ۳ ] { – ۳۰ }

۲۴۴ sqrt [ ۴ ] { – ۲۴ }

۳۰۳ sqrt [ ۳ ] { – ۳۰ }

کدامیک از گزینه‌های زیر، حاصل عبارت ۵۱۲۳ sqrt [ ۳ ] { – ۵۱۲ }

۸۸ – ۸ sqrt { ۸ }

۸۸۳ – ۸ sqrt [ ۳ ] { ۸ }

به منظور تعیین حاصل ۵۱۲۳ sqrt [ ۳ ] { – ۵۱۲ }

  • فرجه رادیکال: ۳ ۳
  • عدد زیر رادیکال: ۵۱۲ – ۵۱۲

به دلیل فرد بودن فرجه رادیکال، عدد منفی می‌تواند زیر آن برود. بنابراین، به دنبال عددی می‌گردیم که اگر آن را به توان فرجه رادیکال (۳) ( ۳ ) برسانیم، عدد زیر رادیکال (۵۱۲) ( – ۵۱۲) به دست آید.

?۳=۵۱۲ ? ^ ۳ = – ۵۱۲

عدد مورد نظر ما، ۸ – ۸ است؛ زیرا:

(۸)۳=(۸)×(۸)×(۸) ( – ۸ ) ^ ۳ = ( – ۸ ) times ( – ۸ ) times ( – ۸ )

(۸)۳=(+۶۴)×(۸) ( – ۸ ) ^ ۳ = ( + ۶۴ ) times ( – ۸ )

(۸)۳=۵۱۲ ( – ۸ ) ^ ۳ = – ۵۱۲

در نتیجه:

۵۱۲۳=۸ sqrt [ ۳ ] { – ۵۱۲ } = – ۸

کدامیک از گزینه‌های زیر صحیح است؟

۲۳۱۰=۲۳۱۰ – sqrt [ ۱۰ ] { ۲۳ } = sqrt [ ۱۰ ] { – ۲۳ }

۲۴۹=۲۴۹ – sqrt [ ۹ ] { ۲۴ } = sqrt [ ۹ ] { – ۲۴ }

گزینه‌های اول و دوم

در صورت فرد بودن فرجه رادیکال، می‌توان علامت منفی را از پشت آن به زیر رادیکال انتقال داد و برعکس. عبارت ۲۳۱۰ – sqrt [ ۱۰ ] { ۲۳ }

۲۳۱۰=۲۳۱۰    × – sqrt [ ۱۰ ] { ۲۳ } = sqrt [ ۱۰ ] { – ۲۳ } large times

در طرف دیگر، ۲۴۹ – sqrt [ ۹ ] { ۲۴ }

۲۴۹=۲۴۹     – sqrt [ ۹ ] { ۲۴ } = sqrt [ ۹ ] { – ۲۴ } checkmark

عبارت ۶۴۸۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ }

۳۶ – ۳ sqrt { ۶ }

۳۶۳ – ۳ sqrt [ ۳ ] { ۶ }

۶۳۳ ۶ sqrt [ ۳ ] { ۳ }

۶۳۳ -۶ sqrt [ ۳ ] { ۳ }

۶۴۸۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ }

۶۴۸۳=۶۴۸۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – sqrt [ ۳ ] { ۶۴۸ }

عدد زیر رادیکال، مکعب کامل نیست (نمی‌توان آن را به صورت توان سوم یک عدد صحیح نوشت). بنابراین، برای ساده‌سازی، باید ضرب‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با ۶۴۸ ۶۴۸ می‌شوند را بنویسیم. نوشتن ضرب‌ها را تا رسیدن به بزرگ‌ترین مکعب کامل، ادامه می‌دهیم:

۱×۶۴۸=۶۴۸ ۱ times ۶۴۸ = ۶۴۸

 ۲×۳۲۴=۶۴۸ ۲ times ۳۲۴ = ۶۴۸

۳×۲۱۶=۶۴۸ ۳ times ۲۱۶ = ۶۴۸

عدد ۲۱۶ ۲۱۶ ، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه ۶۴۸ ۶۴۸ است که مکعب کامل محسوب می‌شود. این عدد از سه مرتبه ضرب عدد ۶ ۶ در خودش به دست می‌آید:

۲۱۶=۶×۶×۶=۶۳ ۲۱۶ = ۶ times ۶ times ۶ = ۶ ^ ۳

اکنون، ۳×۲۱۶ ۳ times ۲۱۶

۶۴۸۳=۳×۲۱۶۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – sqrt [ ۳ ] { ۳ times ۲۱۶}

۶۴۸۳=۳×۶۳۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – sqrt [ ۳ ] { ۳ times ۶ ^ ۳ }

۶۴۸۳=(۳۳×۶۳۳) sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – left ( sqrt [ ۳ ] { ۳ } times sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۳ } right )

۶۴۸۳=(۳۳×۶) sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – left ( sqrt [ ۳ ] { ۳ } times ۶ right )

۶۴۸۳=(۶۳۳) sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – left ( ۶ sqrt [ ۳ ] { ۳ } right )

۶۴۸۳=۶۳۳ sqrt [ ۳ ] { – ۶۴۸ } = – ۶ sqrt [ ۳ ] { ۳ }

کدامیک از گزینه‌های زیر صحیح است؟

اگر n n ، یک عدد مثبت و زوج باشد، حاصل xnn sqrt [ n ] { x ^ n }

اگر n n ، یک عدد مثبت و فرد باشد، حاصل xnn sqrt [ n ] { x ^ n }

اگر n n ، یک عدد مثبت و فرد باشد، حاصل xnn sqrt [ n ] { x ^ n }

گزینه‌های اول و دوم

برای n n ‌های زوج، داریم:

xnn=x sqrt [ n ] { x ^ n } = | x |

چه x x یک عدد منفی و چه یک عدد مثبت باشد، اگر آن را به توان یک عدد زوج برسانیم، یک مقدار مثبت به دست می‌آید. بنابراین، حاصل عبارت بالا در قدر مطلق قرار می‌گیرد. قدر مطلق، بیانگر وجود دو ریشه (یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی) است. برای n n ‌های فرد، داریم:

xnn=x sqrt [ n ] { x ^ n } = x

در صورت مثبت بودن x x ، اگر آن را به توان یک عدد فرد برسانیم، یک مقدار مثبت به دست می‌آید. در صورت منفی بودن x x ، اگر آن را به توان یک عدد فرد برسانیم، یک مقدار منفی به دست می‌آید. به عبارت دیگر، رادیکال با فرجه فرد، همواره یک ریشه دارد. به همین دلیل، جواب این رادیکال، در قدر مطلق نمایش داده نمی‌شود. در نتیجه، گزینه‌های اول و دوم صحیح هستند.

حاصل عبارت (۳۴۳۵)۲۷frac { left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ } { ۷ }

۷۵ – sqrt [ ۵ ] { ۷ }

۷۵ sqrt [ ۵ ] { ۷ }

برای به دست آوردن حاصل عبارت مورد سوال، ابتدا عبارت رادیکالی را ساده می‌کنیم:

(۳۴۳۵)۲=(۷۳۵)۲ left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ = left ( – sqrt [ ۵ ] { ۷ ^ ۳ } right ) ^ ۲

(۳۴۳۵)۲=(۷۳۵)۲ left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ = left ( – ۷ ^ { frac {۳} { ۵ } } right ) ^ ۲

(۳۴۳۵)۲=۷۳×۲۵ left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ = ۷ ^ { frac {۳ times ۲ } { ۵ } }

(۳۴۳۵)۲=۷۶۵ left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ = ۷ ^ { frac { ۶ } { ۵ } }

اکنون، این عبارت را درون کسر قرار می‌دهیم:

(۳۴۳۵)۲۷=۷۶۵۷frac { left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ } { ۷ } = frac {۷ ^ { frac { ۶ } { ۵ } } }{۷}

(۳۴۳۵)۲۷=۷۶۵۱ frac { left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ } { ۷ } = ۷ ^ { frac { ۶ } { ۵ } – ۱}

(۳۴۳۵)۲۷=۷۱۵ frac { left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ } { ۷ } = ۷ ^ { frac { ۱ } { ۵ } }

(۳۴۳۵)۲۷=۷۵ frac { left ( sqrt [ ۵ ] { – ۳۴۳ } right ) ^ ۲ } { ۷ } = sqrt [ ۵ ] { ۷ }

حاصل عبارت ۱۴۴ sqrt { – ۱۴۴ }

۱۲i – ۱۲ sqrt { i }

۱۲i – ۱۲ i

اعداد موهومی، اعدادی هستند که به صورت واحدی از i i نوشته می‌شوند. i i برابر است با:

i=۱ i = sqrt { – ۱ }

بر اساس تعریف اعداد موهومی و قوانین رادیکال، داریم:

۱۴۴=۱۴۴×(۱) sqrt { – ۱۴۴ } = sqrt { ۱۴۴ times ( – ۱ ) }

۱۴۴=۱۴۴×۱ sqrt { – ۱۴۴ } = sqrt { ۱۴۴ } times sqrt { – ۱ }

۱۴۴=۱۲×i sqrt { – ۱۴۴ } = ۱۲ times i

۱۴۴=۱۲i sqrt { – ۱۴۴ } = ۱۲ i

حاصل جمع ۳۲۵+۳۶ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } + sqrt { – ۳۶ }

۶i۲ ۶ i – ۲

۲۶i ۲ – ۶ i

برای به دست آوردن حاصل‌جمع رادیکال‌های مورد سوال، ابتدا جواب هر یک را جداگانه محاسبه می‌کنیم. هر عدد مختلط، از یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی تشکیل می‌شود. ۳۲۵ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ }

۳۲۵=۳۲۵ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } = – sqrt [ ۵ ] { ۳۲ }

۳۲۵=۲۵۵ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } = – sqrt [ ۵ ] { ۲ ^ ۵ }

۳۲۵=۲ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } = – ۲

۳۶ sqrt { – ۳۶ }

۳۶=۳۶×(۱) sqrt { – ۳۶ } = sqrt { ۳۶ times ( – ۱ ) }

۳۶=۳۶×۱ sqrt { – ۳۶ } = sqrt { ۳۶ } times sqrt { – ۱ }

۳۶=۶×i sqrt { – ۳۶ } = ۶ times i

۳۶=۶i sqrt { – ۳۶ } = ۶ i

به این ترتیب، داریم:

۳۲۵+۳۶=۲+۶i sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } + sqrt { – ۳۶ } = – ۲ + ۶ i

یا

۳۲۵+۳۶=۶i۲ sqrt [ ۵ ] { – ۳۲ } + sqrt { – ۳۶ } = ۶ i – ۲

source

توسط expressjs.ir