محاسبه رادیکال یک عدد با فرجه ۳، با پیدا کردن عددی انجام میگیرد که توان سوم آن برابر با عدد زیر رادیکال شود. به عنوان مثال، رادیکال ۸ با فرجه ۳ برابر با ۲ است؛ زیرا اگر ۲ را به توان ۳ برسانیم، حاصل آن برابر با ۸ میشود. محاسبه رادیکال با فرجه سه، قواعد مختص به خود را دارد. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی قواعد محاسبه رادیکال با فرجه ۳ با حل چندین مثال متنوع میپردازیم. در انتهای مقاله، سطح یادگیری شما را با حل چند تمرین چندگزینهای میسنجیم.

در ادامه، ضمن تعریف رادیکال با فرجه سه و آموزش نحوه محاسبه آن، مباحثی نظیر عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳، به توان رساندن، ضرب و تقسیم، جذر گرفتن سریع، استفاده از ماشینحساب و محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر را نیز مورد بررسی قرار میدهیم.
رادیکال با فرجه سه چیست و چگونه بدست می آید؟
اعداد رادیکالی از سه جز اصلی علامت رادیکال (
رادیکال با فرجه ، ریشه سوم عدد یک عدد را نمایش میدهد. برای درک این مفهوم،
اجزای این معادله را در نظر بگیرید:
- فرجه رادیکال:
- عدد زیر رادیکال:
- حاصل رادیکال:
قصد داریم رابطه بین اعداد بالا را به دست بیاوریم. همانطور که مشاهده میکنید، اگر حاصل رادیکال را به توان فرجه رادیکال برسانیم، به عدد زیر رادیکال میرسیم:

بنابراین، هرگاه از ما رادیکال یک عدد با فرجه را خواستند، به دنبال عددی میگردیم که حاصل آن به توان ، برابر با آن عدد شود. توجه داشته باشید که در مثال بالا، عدد ، یک مکعب کامل بود. اعداد مکعب کامل را میتوان به صورت یک عدد صحیح به توان نمایش داد. هنگام قرارگیری این اعداد در زیر رادیکال با فرجه ، جواب رادیکال برابر با یک عدد صحیح میشود. اگر عدد زیر رادیکال با فرجه ، مکعب کامل نباشد، جواب رادیکال یک عدد گنگ خواهد بود. به منظور درک بیشتر و بهتر این موضوع، به حل دو مثال و ارائه فرمول محاسبه رادیکال با فرجه میپردازیم.
مثال ۱: محاسبه رادیکال ۶۴ با فرجه ۳
حاصل عبارت رادیکالی
بنابراین:
مثال ۲: محاسبه رادیکال ۸۱ با فرجه ۳
حاصل عبارت رادیکالی
در مثالهای قبلی دیدیم که برای محاسبه رادیکال با فرجه ، باید به دنبال عددی بگردیم که توان سوم آن برابر با عدد زیر رادیکال باشد. در این مثال، عدد زیر رادیکال برابر با است. این عدد، مکعب کامل نیست. به عبارت دیگر، هیچ عدد صحیحی را نمیتوانیم پیدا کنیم که توان سوم آن برابر با شود. البته، امکان سادهسازی
هدف ما از این کار، پیدا کردن یک مکعب کامل در ضربهای بالا است. به عبارت دیگر، میخواهیم یک مکعب کامل از درون بیرون بکشیم. از میان اعداد بالا، یک مکعب کامل است
بر اساس قوانین ضرب رادیکال، داریم:
به عبارت دیگر، رادیکال ضرب دو عدد با ضرب رادیکالهای آن دو عدد برابر است. بنابراین، داریم:
عبارت
زیرا:
در نتیجه:
چگونه روش های محاسبه رادیکال با فرجه ۳ را به خوبی یاد بگیریم؟

دانشآموزان دوره اول متوسطه، در درس ریاضی با مفهوم رادیکال و فرجه آشنا میشوند. رادیکال، کاربرد گستردهای در حل مسائل ریاضی دوره اول متوسطه، دوره دوم متوسطه و حتی دانشگاه دارد. از اینرو، بسیاری از دانشآموزان و دانشجویان، به دنبال منبع جامعی هستند که این مفهوم را به خوبی به آنها آموزش دهد. بهترین راه یادگیری یک موضوع، آشنایی اصولی با مفاهیم پایه آن و حل مثالها و تمرینهای متنوع است. فرادرس، با تکیه بر این رویکرد، فیلمهای آموزشی مفیدی را در رابطه با دروس ریاضی پایههای هفتم، هشتم، نهم و دیگر پایههای دورههای اول و دوم متوسطه تهیه کرده است که میتوانند شما را در یادگیری سریع و ساده مسائل رادیکال با فرجههای مختلف یاری کنند. لینک مشاهده این فیلمها در ادامه آورده شده است:
فرمول محاسبه رادیکال با فرجه ۳ چیست؟
محاسبه رادیکال با فرجه ، فرمول خاصی ندارد و در اغلب موارد، طی فرآیند توضیح داده شده در در بخش قبل صورت میگیرد. با این وجود، بر اساس قوانین رادیکال، میتوانیم از دو رابطه زیر برای دو حالت اصلی محاسبه رادیکال با فرجه سه استفاده کنیم:
فرمول اول، برای اعداد مکعب کامل قابل استفاده است. فرمول دوم را میتوان برای اعدادی که مکعب کامل نیستند به کار برد. نحوه استفاده از این فرمولها را به حل دو مثال آموزش میدهیم.

مثال ۳: محاسبه رادیکال ۳۴۳ با فرجه ۳
حاصل عبارت
عدد ، یک عدد مکعب کامل است. برای به دست آوردن رادیکال این عدد با فرجه سه، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
- : عدد زیر رادیکال برابر با
در نتیجه، رادیکال با فرجه برابر با است.
مثال ۴: ضرب عدد در رادیکال با فرجه سه
حاصلضرب
برای تبدیل
- : عدد غیررادیکالی برابر با
- : عدد زیر رادیکال برابر با
مقادیر معلوم را درون فرمول قرار میدهیم:
در نتیجه، حاصلضرب
عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳
هنگام مطالعه قوانین اعداد رادیکالی یا مبحث دامنه توابع رادیکالی، احتمالا با جملهای برخورد میکنید که میگوید عدد زیر رادیکال نمیتوان منفی باشد. این جمله، برای رادیکال با فرجه و دیگر فرجههای زوج صادق است؛ زیرا اگر عددی را به توان زوج برسانیم، علامت آن مثبت میشود. بنابراین، هیچ عددی را نمیتوان پیدا کرد که توان زوج آن، یک عدد منفی شود.
این محدودیت، برای عدد منفی زیر رادیکال با فرجه یا دیگر فرجههای فرد وجود ندارد؛ چراکه اگر عددی را به تعداد فرد در خودش ضرب کنیم، علامت آن تغییری نمیکند. به عنوان مثال، رادیکال منفی یک با فرجه ۳ را در نظر بگیرید:
اگر عدد ، زیر رادیکال با فرجه یا دیگر فرجههای زوج قرار داشت، حاصل آن در فضای مجموعه اعداد حقیقی، «تعریف نشده» میبود. زیرا:
فرجه فرد ()، باعث موجه بودن علامت منفی در
برای به دست آوردن حاصل
حاصل عبارت

برای آشنایی بیشتر و بهتر با روش حل مسائل حاوی عدد منفی زیر رادیکال با فرجه ۳، به حل یک مثال دیگر میپردازیم.
مثال ۵: محاسبه رادیکال منفی ۱۲۵ با فرجه ۳
حاصل عبارت رادیکالی
برای محاسبه
در مرحله بعد، حاصل
در نتیجه، داریم:
برای اطمینان از نتیجه بالا، عدد را سه بار در خودش ضرب کنید:
محاسبه رادیکال با فرجه ۳ به توان ۲ و بالاتر
بر اساس قوانین رادیکال، داریم:
با توجه به این قوانین میتوان حاصل رادیکال با فرجه به توان و بالاتر را به دست بیاوریم. روند انجام این محاسبات را طی حل یک مثال آموزش میدهیم. به خاطر داشته باشید که اگر رادیکال با فرجه به توان برسد، رادیکال آن حذف میشود و تنها عدد زیر رادیکال باقی میماند.
مثال ۶: محاسبه رادیکال ۴۰ با فرجه ۳ به توان ۲
حاصل عبارت
عبارت
روش دوم، به توان رساندن رادیکال و سپس سادهسازی آن است. این روش به صورت زیر انجام میشود:
مثال ۷: محاسبه رادیکال تو در تو با فرجه ۳ به توان ۲
حاصل عبارت
برای حل این مثال، از قوانین زیر استفاده میکنیم:
ابتدا به سراغ
به این ترتیب، داریم:
اکنون، توان را به درون رادیکال میبریم:
در مثالهای قبلی دیدیم که
ضرب و تقسیم رادیکال با فرجه ۳
ضرب و تقسیم رادیکال با فرجه ، از قوانین کلی ضرب و تقسیم رادیکالها پیروی میکند. برای ضرب دو عدد رادیکالی با فرجه سه داریم:
قوانین تقسیم دو عدد رادیکالی نیز به صورت زیر نوشته میشوند:

مثال ۸: محاسبه ضرب رادیکال با فرجه سه
حاصل ضرب
برای به دست آوردن ضرب
بر اساس این فرمول، داریم:
در مطلب «روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین»، روشها و فرمولهای محاسبه سریع مقدار تقریبی رادیکال با فرجههای مختلف را آموزش دادیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، شما را با نحوه جذر گرفتن سریع از رادیکال با فرجه سه آشنا میکنیم.
روش جذر گرفتن سریع برای حل رادیکال با فرجه ۳
اعداد زیر رادیکال در مسائل مربوط به محاسبه رادیکال با فرجه ، همیشه مکعب کامل نیستند. در این شرایط، خروجی رادیکال، یک عدد صحیح نخواهد شد. به همین دلیل، شما نیاز دارید فرم ساده شده یا مقدار تقریبی رادیکال را به دست بیاورید.
روشهای مختلفی برای به محاسبه مقدار تقریبی رادیکال با فرجه و دیگر فرجهها وجود دارد. یکی از متداولترین و سریعترین روشها، استفاده از فرمول زیر است:
- : فرجه رادیکال
- مرتبه ضرب در خودش وجود داشته باشد. : نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت
- : عدد زیر رادیکال منهای
با حل یک مثال، نحوه استفاده از فرمول بالا را آموزش میدهیم.
مثال ۹: محاسبه مقدار تقریبی رادیکال ۱۲۸ با فرجه ۳
مقدار تقریبی
برای محاسبه مقدار تقریبی
- : فرجه رادیکال برابر با
- مرتبه ضرب در خودش وجود داشته باشد. : نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت
- : اختلاف عدد زیر رادیکال با
نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که بتوان آن را به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عددی مانند در خودش نمایش داد، عدد است. این عدد، به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عدد در خودش قابل نمایش است:
بنابراین:
به این ترتیب، پارامتر ، اختلاف عدد زیر رادیکال منهای خواهد بود:
این مقادیر را درون فرمول قرار میدهیم:
در نتیجه، مقدار تقریبی رادیکال با فرجه برابر با است. البته نتیجه این محاسبات، دقت بسیار بالایی دارد. برای درک میزان خطا، آن را با (مقدار به دست آمده از ماشینحساب) مقایسه کنید.
محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر از ۳
روند محاسبه رادیکال با فرجه بالاتر از ، تفاوت چندانی با محاسبه رادیکال با فرجه ندارد. به طور کلی، برای به دست آوردن جواب یک رادیکال، به فرجه آن نگاه میکنیم.
سپس، به دنبال عددی میگردیم که اگر آن را به توان فرجه برسانیم، عدد زیر رادیکال به دست آید. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:
این عبارت، یک عدد رادیکالی با فرجه را نمایش میدهد. برای به دست آوردن جواب رادیکال، اجزای آن را مشخص میکنیم:
- فرجه رادیکال:
- عدد زیر رادیکال:
اکنون از خود میپرسیم؛ توان چهارم کدام عدد برابر با میشود. پاسخ این سوال، عدد است:
بنابراین، داریم:

این روند، برای حل رادیکالهای دارای فرجههای دیگر و سادهسازی آنها به صورت ضرب عدد در رادیکال نیز کاربرد دارد.
مثال ۱۰: محاسبه رادیکال با فرجه ۵
حاصل عدد رادیکالی
برای به دست آوردن مقدار
بنابراین:
در نتیجه، رادیکال با فرجه برابر با است.
آزمون سنجش یادگیری محاسبه رادیکال با فرجه ۳
در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث محاسبه رادیکال با فرجه سه را با طرح سوالهای چندگزینهای میسنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوالها، با زدن دکمه «دریافت نتایج آزمون»، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمیآید.
حاصل عبارت
عبارت
کدامیک از گزینههای زیر، فرم ساده شده عبارت
برای سادهسازی عبارت
با رسیدن به بزرگترین عدد مکعب کامل، جستجو را متوقف میکنیم. در آخرین ضرب بالا، عدد ، یک مکعب کامل است. این عدد، از ضرب سه عدد در یکدیگر به دست میآید:
به این ترتیب، داریم:
حاصل عبارت
گزینههای اول و دوم
جواب رادیکال، تعریف نشده است.
عبارت
اکنون، عدد را به صورت ضرب اعداد صحیح مینویسیم:
از بین اعداد بالا، و ، مکعب کامل هستند. ضربهای حاوی این اعداد را در رادیکال جایگذاری میکنیم:
و
در نتیجه، گزینه سوم صحیح است.
کدامیک از گزینههای زیر، حاصل تقسیم
بر اساس فرمول تقسیم دو رادیکال با فرجه برابر، داریم:
بنابراین:
مقدار تقریبی
برای به دست آوردن مقدار تقریبی
- : فرجه رادیکال برابر با
- مرتبه ضرب در خودش وجود داشته باشد. : نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت
- : اختلاف عدد زیر رادیکال با
نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت سه مرتبه ضرب عددی مانند در خودش وجود داشته باشد، است. به این ترتیب، داریم:
اختلاف بین عدد زیر رادیکال با برابر است با:
به این ترتیب، داریم:
در نتیجه، مقدار تقریبی
حاصل عبارت
برای به دست آوردن مقدار
در نتیجه:
فرم ساده شده
عدد مکعب کامل نیست. بنابراین، این عدد به صورت یک عدد صحیح از زیر رادیکال با فرجه سه بیرون نمیآید. با این وجود، میتوانیم
بزرگترین مکعب کامل در میان اعداد بالا را پیدا میکنیم. این عدد، است که از سه مرتبه ضرب عدد در خودش به دست میآید:
به جای عدد ، ضرب
بر اساس قوانین رادیکال داریم:
کدامیک از گزینههای زیر برابر با
عدد ، مکعب کامل نیست. به همین دلیل، نمیتوانیم آن را به صورت یک عدد صحیح از زیر رادیکال خارج کنیم. بنابراین، به سراغ سادهسازی آن میرویم. برای این کار، ابتدا اعدادی که بر آنها بخشپذیر است را مینویسیم:
از بین این اعداد، ، بزرگترین مکعب کامل است که از سه مرتبه ضرب عدد در خودش به دست میآید:
همانطور که علامت منفی میتواند از زیر رادیکال به پشت آن منتقل شود، امکان انتقال علامت منفی از پشت به زیر رادیکال نیز وجود دارد. بنابراین، جواب زیر نیز صحیح خواهد بود:
حاصلضرب
میخواهیم حاصل ضرب زیر را به دست بیاوریم:
عبارتهای زیر رادیکال در هر دو عبارت رادیکالی، از توانها عدد هستند:
از این نکته، برای سادهسازی رادیکالها استفاده میکنیم:
به این ترتیب، داریم:
میتوانیم ضرب دو رادیکال با فرجه برابر را به صورت رادیکال ضرب عبارتهای زیر رادیکال بنویسیم:
در ضرب دو عدد تواندار، اگر پایهها برابر باشند، توانها با هم جمع میشوند:
در نتیجه:
مقدار تقریبی ریشه سوم عدد به کدامیک از گزینههای زیر نزدیکتر است؟
ریشه سوم عدد را میتوان به صورت زیر نوشته میشود:
برای به دست آوردن مقدار تقریبی عبارت بالا، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
- : فرجه رادیکال برابر با
- مرتبه ضرب در خودش وجود داشته باشد. : نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت
- : عدد زیر رادیکال منهای
نزدیکترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت سه مرتبه ضرب عددی مانند وجود داشته باشد، است:
با جایگذاری مقادیر معلوم در فرمول، خواهیم داشت:
بنابراین، مقدار تقریبی ریشه سوم عدد به عدد نزدیکتر است.
در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، نحوه محاسبه رادیکال با فرجه توسط ماشینحساب را آموزش میدهیم.
محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب مهندسی و ویندوز
ماشینحسابهای مهندسی، کامپیوتری و آنلاین، امکان محاسبه رادیکال با فرجه را فراهم میکنند. در اغلب ماشینحسابهای مهندسی، هر کلید دارای یک یا دو عملکرد اضافی است.
این عملکردها، معمولا پس از فشردن کلیدی با عنوان «SHIFT» یا «2nd» قابل استفاده خواهند بود. تصویر زیر، صفحهکلید یکی از متداولترین ماشینحسابهای مهندسی را نمایش میدهد.

دو دکمه مشخص شده در تصویر بالا، امکان محاسبه رادیکال با فرجه و بالاتر را فراهم میکنند. با فشردن دکمه SHIFT یا 2nd (در برخی دیگر از ماشینحسابها)، امکان استفاده از عملکردهای مشخص شده فراهم میشود. به عنوان مثال، اگر دکمه SHIFT و سپس دکمه را فشار دهیم، با وارد کردن عدد مورد نظر و فشردن دکمه «AC»، ریشه سوم عدد در صفحهنمایش ماشینحساب نشان داده میشود. فشردن دکمه
محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در ماشین حساب ویندوز
به منظور محاسبه رادیکال با فرجه ، میتوان از ماشینحساب ویندوز نیز استفاده کرد. به این منظور، پس از جستجوی عنوان «Calculator» در منوی «Start»، بر روی آیکون برنامه ماشینحساب ویندوز کلیک کنید. با انتخاب دکمه به نمایش درمیآید. ، ابزار محاسبه رادیکال با فرجه

با وارد کردن عدد مورد نظر و کلیک بر روی گزینه
محاسبه رادیکال با فرجه ۳ در اکسل
«اکسل» (Excel)، یک برنامه کاربردی است که به منظور کار بر روی دادههای عددی مورد استفاده قرار میگیرد. از کاربردهای گسترده این برنامه، میتوان به فرمولنویسی و انجام عملیاتهای ریاضی اشاره کرد.

برای محاسبه رادیکال با فرجه در اکسل، پس از انتخاب سلول مورد نظر، فرمول زیر را در نوار
= x^(1/3)
به جای ، عددی دلخواه را قرار دهید. محاسبه رادیکال با فرجه سه در ماشینحسابهای آنلاین، مشابه ماشینحساب ویندوز یا اکسل انجام میشود. در این ماشینحسابها، قابلیتهای فرمولنویسی و دکمههای مشابهای برای تعیین رادیکال با فرجههای مختلف وجود دارند.
source