عبارت $$sqrt [ ۳ ] { ۵۱۲ }$$

$$۸ times ۸ times ۸ = ۸ ^ ۳ = ۵۱۲$$

برای ساده‌سازی عبارت $$sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ }$$

$$۱ times ۱۰۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$$

$$۲ times ۵۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$$

$$۴ times ۲۵۰۰ = ۱۰۰۰۰$$

$$۵ times ۲۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$$

$$۸ times ۱۲۵۰ = ۱۰۰۰۰$$

$$۱۰ times ۱۰۰۰ = ۱۰۰۰۰$$

با رسیدن به بزرگ‌ترین عدد مکعب کامل، جستجو را متوقف می‌کنیم. در آخرین ضرب بالا، عدد $$۱۰۰۰$$، یک مکعب کامل است. این عدد، از ضرب سه عدد $$۱۰$$ در یکدیگر به دست می‌آید:

$$۱۰۰۰ = ۱۰ times ۱۰ times ۱۰ = ۱۰ ^ ۳$$

به این ترتیب، داریم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰ times ۱۰ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ times ۱۰ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ } times sqrt [ ۳ ] { ۱۰ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰۰ } = ۱۰ sqrt [ ۳ ] { ۱۰ }$$

عبارت $$sqrt [ ۳ ] { – ۱۹۲ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۹۲ } = – sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ }$$

اکنون، عدد $$۱۹۲$$ را به صورت ضرب اعداد صحیح می‌نویسیم:

$$۱ times ۱۹۲ = ۱۹۲$$

$$۲ times ۹۶ = ۱۹۲$$

$$۳ times ۶۴ = ۱۹۲$$

$$۴ times ۴۸ = ۱۹۲$$

$$۶ times ۳۲ = ۱۹۲$$

$$۸ times ۲۴ = ۱۹۲$$

$$۱۲ times ۱۶ = ۱۹۲$$

از بین اعداد بالا، $$۶۴$$ و $$۸$$، مکعب کامل هستند. ضرب‌های حاوی این اعداد را در رادیکال جایگذاری می‌کنیم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = sqrt [ ۳ ] { ۳ times ۶۴ }$$

$$۶۴ = ۴ ^ ۳$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = ۴ sqrt [ ۳ ] { ۳ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۹۲ } = – ۴ sqrt [ ۳ ] { ۳ }$$

و

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = sqrt [ ۳ ] { ۸ times ۲۴ }$$

$$۸ = ۲ ^ ۳$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۹۲ } = ۲ sqrt [ ۳ ] { ۲۴ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۹۲ } = – ۲ sqrt [ ۳ ] { ۲۴ }$$

در نتیجه، گزینه سوم صحیح است.

بر اساس فرمول تقسیم دو رادیکال با فرجه برابر، داریم:

$$frac { sqrt [ n ] { x } } { sqrt [ n ] { y } } = sqrt [ n ] { frac { x }{ y }}$$

بنابراین:

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = sqrt [ ۳ ] { frac { ۲۴۰۱ } { ۷ } }$$

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ }$$

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = sqrt [ ۳ ] { ۷ ^ ۳ }$$

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷ ^ { frac { ۳ } { ۳ } }$$

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷ ^ { ۱ }$$

$$frac { sqrt [ ۳ ] { ۲۴۰۱ }}{ sqrt [ ۳ ] { ۷ } } = ۷$$

برای به دست آوردن مقدار تقریبی $$sqrt [ ۳ ] { ۹۰۰ }$$

$$sqrt [ n ] { a ^ n pm b } = a pm frac { b } { n a ^ { n – ۱ } }$$

• $$n$$: فرجه رادیکال برابر با $$۳$$
• $$a ^ n$$: نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت $$۳$$ مرتبه ضرب $$a$$ در خودش وجود داشته باشد.
• $$b$$: اختلاف عدد زیر رادیکال با $$a ^ ۳$$

نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت سه مرتبه ضرب عددی مانند $$a$$ در خودش وجود داشته باشد، $$۱۰۰۰$$ است. به این ترتیب، داریم:

$$a ^ ۳ = ۱۰۰۰$$

$$a = ۱۰$$

اختلاف بین عدد زیر رادیکال با $$a ^ ۳$$ برابر است با:

$$b = ۱۰۰۰ – ۹۰۰ = ۱۰۰$$

به این ترتیب، داریم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۱۰ – frac { ۱۰۰ } { ۳ times ۱۰ ^ { ۳ – ۱ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۱۰ – frac { ۱۰۰ } { ۳ times ۱۰ ^ { ۲ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۱۰ – frac { ۱۰۰ } { ۳ times ۱۰۰ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۱۰ – frac {۱ } { ۳ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۱۰ – ۰/۳۳$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ – ۱۰۰ } = ۹/۶۷$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۹۰۰ } = ۹/۶۷$$

در نتیجه، مقدار تقریبی $$sqrt [ ۳ ] { ۹۰۰ }$$

برای به دست آوردن مقدار $$sqrt [ ۳ ] { ۷۲۹ }$$

$$۹ ^ ۳ = ۷۲۹$$

در نتیجه:

$$sqrt [ ۳ ] { ۷۲۹ } = ۹$$

عدد $$۵۴$$ مکعب کامل نیست. بنابراین، این عدد به صورت یک عدد صحیح از زیر رادیکال با فرجه سه بیرون نمی‌آید. با این وجود، می‌توانیم $$sqrt [ ۳ ] { ۵۴ }$$

$$۱, ۲, ۳, ۶, ۹, ۱۸, ۲۷, ۵۴$$

بزرگ‌ترین مکعب کامل در میان اعداد بالا را پیدا می‌کنیم. این عدد، $$۲۷$$ است که از سه مرتبه ضرب عدد $$۳$$ در خودش به دست می‌آید:

$$۲۷ = ۳ times ۳ times ۳ = ۳ ^ ۳$$

به جای عدد $$۵۴$$‌، ضرب $$۲۷ times ۲$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۵۴ } = sqrt [ ۳ ] { ۲۷ times ۲ }$$

بر اساس قوانین رادیکال داریم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۵۴ } = sqrt [ ۳ ] { ۲۷ } times sqrt [ ۳ ] { ۲ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۵۴ } = sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ } times sqrt [ ۳ ] { ۲ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۵۴ } = ۳ sqrt [ ۳ ] { ۲ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = – sqrt [ ۳ ] { ۱۰۴ }$$

عدد $$۱۰۴$$، مکعب کامل نیست. به همین دلیل، نمی‌توانیم آن را به صورت یک عدد صحیح از زیر رادیکال خارج کنیم. بنابراین، به سراغ ساده‌سازی آن می‌رویم. برای این کار، ابتدا اعدادی که $$۱۰۴$$ بر آن‌ها بخش‌پذیر است را می‌نویسیم:

$$۱, ۲, ۴, ۸, ۱۳, ۲۶, ۵۲, ۱۰۴$$

از بین این اعداد، $$۸$$، بزرگ‌ترین مکعب کامل است که از سه مرتبه ضرب عدد $$۲$$ در خودش به دست می‌آید:

$$۸ = ۲ times ۲ times ۲ = ۲ ^ ۳$$

$$۱۰۴ = ۸ times ۱۳$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = – sqrt [ ۳ ] { ۸ times ۱۳ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = – left ( sqrt [ ۳ ] { ۸ } times sqrt [ ۳ ] { ۱۳ } right )$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = – left ( sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ } times sqrt [ ۳ ] { ۱۳ } right )$$

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = – ۲ sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$$

همان‌طور که علامت منفی می‌تواند از زیر رادیکال به پشت آن منتقل شود، امکان انتقال علامت منفی از پشت به زیر رادیکال نیز وجود دارد. بنابراین، جواب زیر نیز صحیح خواهد بود:

$$sqrt [ ۳ ] { – ۱۰۴ } = ۲ sqrt [ ۳ ] { – ۱۳ }$$

می‌خواهیم حاصل ضرب زیر را به دست بیاوریم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ }$$

عبارت‌های زیر رادیکال در هر دو عبارت رادیکالی، از توان‌ها عدد $$۶$$ هستند:

$$۱۲۹۶ = ۶ ^ ۴$$

$$۳۶ = ۶ ^ ۲$$

از این نکته، برای ساده‌سازی رادیکال‌ها استفاده می‌کنیم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۴ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۲ }$$

به این ترتیب، داریم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۴ } times sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۲ }$$

می‌توانیم ضرب دو رادیکال با فرجه برابر را به صورت رادیکال ضرب عبارت‌های زیر رادیکال بنویسیم:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۴ times ۶ ^ ۲ }$$

در ضرب دو عدد توان‌دار، اگر پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها با هم جمع می‌شوند:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ { ۴ + ۲ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۶ }$$

در نتیجه:

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = ۶ ^ { frac {۶} { ۳ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = ۶ ^ ۲$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۱۲۹۶ } times sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } = ۳۶$$

ریشه سوم عدد $$۳۸$$ را می‌توان به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$sqrt [ ۳ ] { ۳۸ }$$

برای به دست آوردن مقدار تقریبی عبارت بالا، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$sqrt [ n ] { a ^ n pm b } = a pm frac { b } { n a ^ { n – ۱ } }$$

• $$n$$: فرجه رادیکال برابر با $$۳$$
• $$a ^ n$$: نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت $$۳$$ مرتبه ضرب $$a$$ در خودش وجود داشته باشد.
• $$b$$: عدد زیر رادیکال منهای $$a ^ ۳$$

نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت سه مرتبه ضرب عددی مانند $$a$$ وجود داشته باشد، $$۲۷$$ است:

$$a ^ ۳ = ۲۷$$

$$a = ۳$$

$$b = ۳۶ – ۲۷ = ۹$$

با جایگذاری مقادیر معلوم در فرمول، خواهیم داشت:

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳ + frac { ۹ } { ۳ times ۳ ^ { ۳ – ۱ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳ + frac { ۹ } { ۳ times ۳ ^ { ۲ } }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳ + frac { ۹ } { ۳ times ۹ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳ + frac { ۱ } { ۳ }$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳ + ۰/۳۳$$

$$sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ + ۹ } = ۳/۳۳$$

بنابراین، مقدار تقریبی ریشه سوم عدد $$۳۸$$ به عدد $$۳/۵$$ نزدیک‌تر است.