درس چهارم: فرمول های دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم

از پشت هم قرار گرفتن اعداد، دنباله به وجود می‌آید. دنباله‌ها به دو دسته دنباله حسابی و دنباله هندسی تقسیم می‌شوند:

• دنباله حسابی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله با اضافه شدن عددی ثابت (قدر نسبت) به جمله قبل خودش به دست می‌آید. مانند سال‌های برگزاری المپیک (هر $$۴$$ سال)
• دنباله هندسی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله (به جز جمله اول)، از ضرب جمله قبل خودش در عددی ثابت و غیرصفر (قدر نسبت) به دست می‌آید.

جمله $$n$$ام دنباله حسابی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ + ( n – ۱ ) d$$

• $$t _ n$$
• $$t _ ۱$$
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$d$$: قدر نسبت دنباله

جمله $$n$$ام دنباله هندسی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ + r ^ { n – ۱ }$$

• $$t _ n$$
• $$t _ ۱$$
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$r ne ۰$$

در مبحث دنباله حسابی و هندسی، دو مفهوم دیگر با عنوان واسطه حسابی و هندسی وجود دارد که به صورت زیر تعریف می‌شوند:

• واسطه حسابی: اعدادی که با قرار دادن آن‌ها در میان دو یا چند عدد، یک دنباله حسابی به وجود می‌آید.
• واسطه هندسی: اعدادی که با قرار دادن آن‌ها در میان دو یا چند عدد، یک دنباله هندسی به وجود می‌آید.

در مطلب‌های «فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال» و «فرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال»، مهم‌ترین نکات و فرمول‌های ریاضی دوره اول متوسطه را به صورت خلاصه ارائه کردیم. اگر تمایل دارید دانش پایه خود را قوی کنید و با آمادگی کامل به سراغ یادگیری ریاضی در سطوح بالاتر بروید، توصیه می‌کنیم نگاهی به این مطالب نیز داشته باشید. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های فصل دوم کتاب ریاضی ۱ را معرفی می‌کنیم.

۲. مثلثات: فرمول های فصل دوم ریاضی دهم

فصل دوم کتاب ریاضی دهم، شامل درس‌های با عنوان‌های «نسبت‌های مثلثاتی»، «دایره مثلثاتی» و «روابط بین نسبت‌های مثلثاتی» است.

برخی از تعاریف و فرمول های مهم فصل دوم ریاضی دهم در جدول زیر خلاصه شده‌اند.

درس اول: فرمول های نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم

مثلثات، یکی از شاخه‌های پرکاربرد در علم ریاضی است که روابط بین زوایا و اضلاع مثلث را مورد مطالعه قرار می‌دهد. این علم، برای اندازه‌گیری فاصله‌ها در علوم مختلفی نظیر مهندسی، نقشه‌برداری، فیزیک، نجوم و غیره به کاربرد می‌رود. در مثلثات، چهار تابع مهم با عنوان‌های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت وجود دارد که رابطه بین نسبت ضلع‌های مثلث قام‌الزاویه و زاویه‌های آن را نمایش می‌دهند. این نسبت‌ها با عنوان نسبت‌های مثلثاتی شناخته شده و به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$sin { theta } = frac { O }{ H }$$

• $$sin { theta }$$: سینوس زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

وتر ÷ ضلع مجاور زاویه θ = کسینوس زاویه θ

$$cos { theta } = frac { A }{ H }$$

• $$cos { theta }$$: کسینوس زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

$$tan { theta } = frac { O }{ A }$$

• $$tan { theta }$$: تانژانت زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ

$$cot { theta } = frac { A }{ O }$$

• $$cot { theta }$$: کتانژانت زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ

یکی از کاربردهای مثلثات، محاسبه مساحت مثلث با سینوس است. فرمول مساحت مثلث با سینوس عبارت است از:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { ۱ }{ ۲ } times AB times BC times sin { B }$$

• $$AB$$: طول یکی از ضلع‌های مثلث
• $$BC$$: طول یکی دیگر از ضلع‌های مثلث
• $$B$$: زاویه بین دو ضلع $$AB$$ و $$BC$$

مساحت مثلث زیر را به دست بیاورید.

اندازه دو ضلع و دو زاویه مثلث مورد سوال را داریم. برای به دست آوردن مساحت مثلث با ضلع و زاویه، با اندازه زاویه بین دو ضلع معلوم را داشته باشیم. جمع زوایای داخلی مثلث، برابر با $$۱۸۰$$ درجه است. بنابراین، داریم:

$$B = ۱۸۰ ^ { circ } – left ( ۳۰ ^ { circ } ۳۰ ^ { circ } right )$$

$$B = ۱۲۰ ^ { circ }$$

بر اساس فرمول مساحت مثلث با سینوس، داریم:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { ۱ }{ ۲ } times AB times BC times sin { B }$$

• $$AB$$: طول یکی از ضلع‌های مثلث برابر با $$۳$$ سانتی‌متر
• $$BC$$: طول یکی دیگر از ضلع‌های مثلث برابر با $$۳$$ سانتی‌متر
• $$B$$: زاویه بین دو ضلع $$AB$$ و $$BC$$ برابر با $$۱۲۰$$ درجه

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { ۱ }{ ۲ } times ۳ times ۳ times sin { left ( ۱۲۰ ^ { circ } right ) }$$

بر اساس جدول سینوس کسینوس، مقدار $$sin left ( ۱۲۰ ^ { circ } right )$$

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { ۹sqrt ۳ } { ۴ }$$

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} approx ۳/۹$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر با $$۳/۹$$ سانتی‌متر مربع است.

درس دوم: فرمول های دایره مثلثاتی در ریاضی دهم

دایره مثلثاتی، دایره‌ای به شعاع واحد $$( ۱ )$$ است که مرکز آن بر روی مبدا مختصات قرار دارد. جهت مثبت در این دایره، خلاف عقربه‌های ساعت است. دایره مثلثاتی به منظور تعیین نسبت‌های مثلثاتی و نمایش آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این دایره به چهار ربع تقسیم می‌شود. علامت سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، با توجه به ربع قرارگیری آن‌ها تغییر می‌کند. خلاصه‌ای از مشخصات ربع اول تا چهارم دایره مثلثاتی را در ادامه آورده‌ایم:

• ربع اول دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۰$$ تا $$۹۰$$ درجه، مثبت بودن علامت همه نسبت‌های مثلثاتی
• ربع دوم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۹۰$$ تا $$۱۸۰$$ درجه، مثبت بودن علامت سینوس و منفی بودن علامت کسینوس، تانژانت و کتانژانت
• ربع سوم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۱۸۰$$ تا $$۲۷۰$$ درجه، مثبت بودن علامت تانژانت و کتانژانت و منفی بودن علامت سینوس و کسینوس
• ربع چهارم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۲۷۰$$ تا $$۳۶۰$$ درجه، مثبت بودن علامت کسینوس و منفی بودن علامت سینوس، تانژانت و کتانژانت

علامت نسبت‌های مثلثاتی را با «هستک» حفظ کنید:

• ه برای مثبت بودن همه
• س برای مثبت بودن سینوس
• ت برای مثبت بودن تانژانت و کتانژانت
• ک برای ثبت بودن کسینوس

اگر شیب یک خط با محور افقی برابر با $$alpha$$ باشد، مقدار شیب برابر با $$tan { alpha }$$ خواهد بود. به عبارت دیگر، شیب یک خط، با تانژانت زاویه آن خط نسبت به افق برابر است.

درس سوم: فرمول های روابط نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم

برخی از مهم‌ترین روابط بین نسبت‌های مثلثاتی یا قوانین مثلثات عبارت هستند از:

$$sin ^ ۲ ( theta ) + cos ^ ۲ ( theta ) = ۱$$

$$tan ^ ۲ { ( alpha ) } + ۱ = frac { ۱ } { cos ^ ۲ { ( alpha ) } }$$

$$۱ + cot ^ ۲ { ( alpha ) } = frac { ۱ } { sin ^ ۲ { ( alpha ) } }$$

این روابط با عنوان اتحادهای مثلثاتی نیز شناخته می‌شوند؛ زیرا به ازای هر $$alpha$$ دلخواه، این روابط برقرار هستند (البته $$alpha ne ۰$$

چگونه فرمول های ریاضی دهم را به خوبی و کامل یاد بگیریم؟

یادگیری سریع فرمول های ریاضی دهم، کار دشواری نیست.؛ اگر به اندازه کافی مثال و تمرین حل کنید. در ضمن، برای دستیابی به این هدف، ابتدا باید نکات و مفاهیم ریاضی دهم را به خوبی و کامل یاد بگیرید. ریاضی ۱، یکی از مواد آزمون ورود به دانشگاه، یا همان کنکور سراسری محسوب می‌شود. به همین دلیل، بسیاری از دانش‌آموزان، به دنبال یک روش سریع و قابل اطمینان برای یادگیری مفاهیم و فرمول های این درس هستند. در اغلب موارد، انتخاب یک منبع کمک آموزشی مناسب می‌تواند نیازهای دانش‌آموزان را برطرف کند. این منبع، باید به گونه‌ای باشد که ضمن توضیح خوب درسنامه‌های کتاب، به حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع بپردازد. به این ترتیب، دانش‌آموزان دیگر دغدغه مواجهه با سوالات جدید در امتحانات یا کنکور را نخواهند داشت. فرادرس، یک فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که می‌تواند شما را در یادگیری کامل نکات و فرمول های ریاضی دهم کمک کند. برای مشاهده این فیلم، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

۳. توان های گویا و عبارت های جبری: فرمول های فصل سوم ریاضی دهم

در فصل سوم کتاب ریاضی دهم، چهار درس عنوان‌های «ریشه و توان»، «ریشه nام»، «توان‌های گویا» و «عبارت‌های جبری» آموزش داده می‌شود.

جدول زیر، خلاصه‌ای از نکات و فرمول های مهم فصل سوم ریاضی دهم را نمایش می‌دهد.

درس اول: فرمول های ریشه و توان در ریاضی دهم

ریشه و توان، دو مفهوم مرتبط و دوسویه هستند. به عنوان مثال، اگر عدد $$۲$$ را به توان $$۲$$ برسانیم، به عدد $$۴$$ می‌رسیم:

$$۲ ^ ۲ = ۴$$

$$sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲$$

بنابراین:

$$sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲ Leftrightarrow ۲ ^ ۲ = ۴$$

یکی از نکات مهم فصل سوم ریاضی دهم، بحث نمایش تقریبی اعداد است. نمایش مقدار دقیق اعداد گنگ (مانند $$sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$

• هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که قرینه‌ی یکدیگرند. عددهای منفی ریشه چهارم ندارند.
• هر عدد مثبت یا منفی دارای یک ریشه پنجم است. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت و اگر عدد منفی باشد ریشه پنجم آن منفی است.

عبارت اول، برای ریشه‌های زوج و عبارت دوم، برای ریشه‌های فرد صدق می‌کند. توجه داشته باشید که اگر یک عدد مثبت یا منفی را به توان عددی زوج برسانیم، علامت آن مثبت می‌شود اما اگر یک عدد مثبت یا منفی را به توان عددی فرد برسانیم، علامت آن تغییری نمی‌کند.

درس دوم: فرمول های ریشه n ام در ریاضی دهم

ریشه $$n$$ام یک عدد به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$b ^ n = b$$

$$n ge ۲$$

• $$b$$:‌ریشه $$n$$ام عدد $$a$$
• $$n$$: عددی بزرگ‌تر از $$۲$$

فرمول ضرب دو عدد رادیکالی با فرجه برابر عبارت است از:

$$sqrt [ n ] { a } times sqrt [ n ] { b }$$

• $$n$$: فرجه رادیکال
• $$a$$ و $$b$$: دو عدد دلخواه

اگر فرجه رادیکال، زوج باشد، فرمول بالا برای $$a$$ و $$b$$ بزرگ‌تر مساوی صفر (غیرمنفی) صدق می‌کند. در صورت فرد بودن فرجه رادیکال، $$a$$ و $$b$$ می‌تواند هر عدد مثبت یا منفی باشد. رابطه زیر، یکی دیگر از فرمول های مهم در درس ریشه و توان است:

$$sqrt [ k ] { a ^ m } = left ( sqrt [ k ] { a } right ) ^ m$$

در صورت زوج بودن $$k$$، علامت $$a$$ باید مثبت باشد. برای فرجه‌های زوج، جواب رادیکال به صورت نمایش داده می‌شود:

$$sqrt [ n ] { a ^ n } = | a |$$

به عبارت دیگر، به دلیل تعریف قدر مطلق، خروجی رادیکال مثبت خواهد بود.

درس سوم: فرمول های توان های گویا در ریاضی دهم

منظور از توان گویا، توان کسری است. برای هر عدد طبیعی $$n ge ۲$$

$$a ^ { frac { ۱ } { n } } = sqrt [ n ] { a }$$

اگر $$a gt ۰$$

$$a ^ { frac { m } { n } = sqrt [ n ] { a ^ m } }$$

در صورت مثبت بودن هر سه متغیر $$( m , n , a gt ۰ )$$

$$a ^ { frac { m } { n } } = left ( a ^ { frac { ۱ } { n } } right ) ^ m = left ( a ^ { m } right ) ^ { frac { ۱ } { n } }$$

$$a ^ { – frac { m }{ n } } = frac { ۱ } { a ^ { frac { m }{ n } } }$$

این روابط نشان می‌دهند که در توان‌های گویا، مخرج کسر به فرجه رادیکال و صورت کسر به توان عدد زیر رادیکال تبدیل می‌شود. برخی دیگر از قوانین اعداد توان‌دار با توان گویا عبارت هستند از:

$$a ^ r times a ^ s = a ^ { r + s }$$

$$left ( a ^ r right ) ^ s = a ^ { r s }$$

$$( a b ) ^ r = a ^ r times b ^ r$$

درس چهارم: فرمول های عبارت های جبری در ریاضی دهم

عبارت‌های جبری، عبارت‌‌هایی هستند که به منظور نمایش روابط و متغیرهای ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند. اتحادهای ریاضی، از مهم‌ترین و پرکاربردترین عبارت‌های جبری به شمار می‌روند. کتاب ریاضی نهم، برخی از فرمول‌های مهم اتحاد را به دانش‌آموزان معرفی می‌کند. این اتحادها عبارت هستند از:

$$( a pm ) ^ ۲ = a ^ ۲ pm ۲ a b + b ^ ۲$$

$$( a – b ) ( a + b ) = a ^ ۲ – b ^ ۲$$

$$( a + b + c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ + ۲ a b + ۲ a c + ۲ b c$$

$$( x + a ) ( x + b ) = x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b$$

 در کتاب ریاضی ۱ دهم، فرمول های بیشتری از اتحادها به دانش‌آموزان معرفی می‌شوند. این فرمول‌ها عبارت هستند از:

$$( a + b ) ^ ۳ = a ^ ۳ + ۳ a ^ ۲ b + ۳ a b ^ ۲ + b ^ ۳$$

$$( a + b ) ( a ^ ۲ – a b + b ^ ۲ ) = a ^ ۳ + b ^ ۳$$

$$( a – b ) ( a ^ ۲ + a b + b ^ ۲ ) = a ^ ۳ – b ^ ۳$$

اتحادهای بالا به ترتیب با عنوان اتحاد مکعب، اتحاد چاق و لاغر مجموع و اتحاد چاق و لاغر تفاضل شناخته می‌شوند. اتحادها، به منظور ساده‌سازی عبارت‌های جبری و حل معادله‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. در انتهای این بخش، به حل یک مثال در این رابطه می‌پردازیم.

• $$a – b$$

یکی دیگر از مباحث فصل سوم ریاضی دهم، گویا کردن مخرج کسرها است. در صورت رادیکالی بودن مخرج یک کسر، با ضرب آن کسر در عددی کسری که صورت و مخرج آن برابر با همان عدد رادیکالی باشد، مخرج را گویا می‌کنیم. به عنوان مثال:

$$frac { ۵ } { ۲ sqrt { ۳ } } = frac { ۵ } { ۲ sqrt { ۳ } } times frac { sqrt { ۳ } } { sqrt { ۳ } } = frac { ۵ sqrt { ۳ } } { ۶ }$$

اگر مخرج کسر به صورت جمع یا تفریق یک عدد رادیکالی با یک عدد دیگر بود، آن را در عددی کسری با صورت و مخرج برابر با مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال:

$$frac { ۱ } { sqrt { ۵ } – sqrt { ۳ } } = frac { ۱ } { sqrt { ۵ } – sqrt { ۳ } } times frac { sqrt { ۵ } + sqrt { ۳ } } { sqrt { ۵ } + sqrt { ۳ } } = frac { sqrt { ۵ } + sqrt { ۳ } } { ۲ }$$

۴. معادله ها و نامعادله ها: فرمول های فصل چهارم ریاضی دهم

فصل چهارم کتاب ریاضی دهم، به آموزش مباحث مربوط به معادله‌ها و نامعادله‌ها در قالب سه درس «معادله درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن»، «سهی» و «تعیین علامت» می‌پردازد.

در ادامه، برخی از نکات و فرمول های مهم فصل چهارم ریاضی دهم را آورده‌ایم.

درس اول: فرمول های معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن در ریاضی دهم

معادله درجه دوم، معادله‌ای است که بزرگ‌ترین توان متغیر آن برابر با $$۲$$ باشد. این معادله به شکل زیر نوشته می‌شود:

$$a x ^ ۲ + b x + c = ۰ ، ( a ne ۰ )$$

ضرایب ثابت در معادله بالا، اعداد حقیقی هستند. روش‌های مختلفی برای حل معادله درجه دوم وجود دارد. یکی از این روش‌ها، تجزیه به کمک فاکتورگیری یا اتحادهای جبری است. در حل معادله درجه $$۲$$ به کمک فاکتورگیری، فرمی مشابه زیر به وجود می‌آید:

$$a x ^ ۲ + b x = x ( a x + b )$$

$$x ^ ۲ – a ^ ۲ = ( x – a ) ( x + a )$$

$$x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) ( x + b )$$

حل سوالات مربوط به حل معادله درجه دو، معمولا با استفاده از یکی از روش‌های بالا صورت می‌گیرد. در ساده‌ترین حالت، امکان به دست آوردن جواب با ریشه‌گیری وجود دارد. فرم کلی این حالت به صورت زیر است:

$$x ^ ۲ = a to x = pm sqrt { a }$$

روش مربع کامل، یکی دیگر از روش‌های حل معادله درجه دوم است. این روش، با اضافه کردن یک جمله به دو طرف معادله و تبدیل آن به مربع کامل انجام می‌گیرد. به این ترتیب، جواب معادله توسط روش ریشه‌گیری به دست می‌آید. به عنوان مثال:

$$x ^ ۲ – ۶ x + ۴ = ۰$$

$$x ^ ۲ – ۶ x + ۴ – ۴ = ۰ – ۴$$

$$x ^ ۲ – ۶ x = – ۴$$

$$x ^ ۲ – ۶ x + ۹ = – ۴ + ۹$$

$$x ^ ۲ – ۶ x + ۹ = ۵$$

$$( x – ۳ ) ^ ۲ = ۵$$

$$x – ۳ = pm sqrt { ۵ }$$

$$x = ۳ pm sqrt { ۵ }$$

اگر امکان حل معادله درجه دوم با هیچ کدام از روش‌های بالا وجود نداشت، از روش دلتا برای این کار استفاده می‌کنیم. حل معادله درجه دو به روش دلتا با استفاده از فرمول زیر انجام می‌گیرد:

$$x = frac { – b pm sqrt { b ^ ۲ – ۴ a c } }{ ۲ a }$$

$$Delta = b ^ ۲ – ۴ a c$$

در روش دلتا، سه حالت به وجود می‌آید:

• دلتای مثبت $$( Delta gt ۰ )$$
• دلتای صفر $$( Delta = ۰ )$$
• دلتای منفی $$( Delta lt ۰ )$$

درس دوم: فرمول های سهمی در ریاضی دهم

نمودار معادله درجه دوم با عنوان سهمی شناخته می‌شود. به پایین‌ترین یا بالاترین نقطه این نمودار، راس سهمی می‌گویند. خط عمودی گذرنده از راس، با عنوان خط تقارن سهمی شناخته می‌شود.

شکل سهمی معادله درجه دوم مانند $$y = a x ^ ۲ + b x + c$$

• $$a gt ۰$$
• $$a lt ۰$$

اگر معادله سهمی به صورت $$y = a ( x – h ) ^ ۲ + k$$

درس سوم: فرمول های تعیین علامت در ریاضی دهم

بسیاری از مسائل ریاضی، مخصوصا مسائل دنیای واقعی، نیازمند یافتن علامت یک عبارت خاص هستند. به عنوان مثال، هدف شرکت‌های تولیدی، رسیدن به سود است. به عبارت دیگر، معادله سود این شرکت‌ها، باید مثبت باشد. بنابراین، کارشناسان باید مقدار متغیرهایی که باعث مثبت شدن سود می‌شود را پیدا کنند. به این فرآیند، تعیین علامت می‌گویند. به عنوان مثال، معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$y = ۲ x – ۶$$

این معادله، به ازای $$x = ۳$$

همان‌طور که می‌بینید، ریشه‌های معادله در تعیین علامت مورد استفاده قرار می‌گیرند. معادله در ریشه‌ها، علامتی ندارد و برابر با $$۰$$ است. در عبارت‌های کسری، اگر مقداری باعث صفر شدن مخرج شود، علامت در آن مقدار، «تعریف نشده» خواهد بود.

در ریاضی نهم، دانش‌آموزان مفهوم نامعادله را فرا می‌گیرند. در ریاضی دهم، خاصیت جمع و ضرب نامعادله‌ها به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$A lt B to A + C lt B + C$$

$$C gt ۰ , A gt B to A C gt B C$$

$$C lt ۰ , A gt B to A C lt B C$$

خواص نامعادله‌های قدر مطلقی به صورت زیر هستند:

$$| u | le a to – a le u le a$$

$$| u | ge a to u ge a or u le – a$$