ریاضی مهندسی، یکی از شاخه‌های کاربردی ریاضی است که با استفاده از ابزارهای تحلیلی نظیر معادلات دیفرانسیل، آنالیز مختلط، روش‌های تقریب و غیره، به مدل‌سازی پدیده‌های مهندسی و حل مسائل مرتبط با آن‌ها می‌پردازد. بسیاری از دانشجویان رشته‌های مهندسی، در مقطع کارشناسی یا کارشناسی ارشد، با مفاهیم این حوزه آشنا می‌شوند. ریاضی مهندسی، به عنوان یکی از دروس مهم و چالش‌برانگیز رشته‌های مهندسی به شمار می‌رود. دلیل این موضوع، استفاده گسترده از مفاهیم مرتبط با سری‌ها، معادلات دیفرانسیل، فرمول‌های مشتق‌گیری و اعداد مختلط برای حل مسائل نسبتا پیچیده است. در این مطلب از مجله فرادرس، قصد داریم ببینیم ریاضی مهندسی چیست و از چه ابزارهایی برای حل مسائل حوزه‌های مختلف مهندسی استفاده می‌کند.

در ابتدای مطلب، به تعریف ریاضیات مهندسی، اهمیت یادگیری این شاخه از علم ریاضی برای مهندسان و حوزه‌های کاربرد آن می‌پردازیم. سپس، کاربرد برخی از مهم‌ترین مفاهیم پایه در ریاضی مهندسی را به طور خلاصه مرور می‌کنیم. در ادامه، در مورد ابزارهای مختلف مورد استفاده در آنالیز فوریه از قبیل سری فوریه، انتگرال فوریه و تبدیل فوریه توضیح می‌دهیم. در نهایت، ضمن ارائه فرمول‌های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، به بررسی جنبه‌های گوناگون توابع مختلط می‌پردازیم.

تعریف ریاضی مهندسی چیست؟

«ریاضیات مهندسی» (Engineering Mathematics)، یکی از شاخه‌های ریاضیات کاربردی است که به مطالعه روش‌ها و تکنیک‌های ریاضی مورد استفاده در مهندسی و صنعت می‌پردازد. ریاضی مهندسی مانند فیزیک مهندسی و زمین‌شناسی مهندسی، یکی از علوم بین‌رشته‌ای محسوب می‌شود. این علم، امکان بکارگیری مباحث تئوری ریاضی برای حل مسائل مهندسی در دنیای واقعی را فراهم می‌کند.

ریاضی مهندسی، مباحث مختلفی را دربرمی‌گیرد که از مهم‌ترین آن‌ها می‌توان به تحلیل کاربردی، معادلات دیفرانسیل، تحلیل حقیقی و مختلط، نظریه تقریب، تحلیل فوریه، تئوری میدان‌های برداری، جبر خطی، آمار و احتمال کاربردی، بهینه‌سازی مهندسی، آمار و احتمالات مهندسی، تحلیل عددی و ریاضیات محاسباتی اشاره کرد.

گستردگی مباحث مرتبط با ریاضی مهندسی، یکی دلایل اهمیت یادگیری آن برای مهندسان است. به همین دلیل، درس ریاضی مهندسی در اغلب رشته‌های مهندسی آموزش داده می‌شود. این درس، معمولا مباحثی مانند حل معادلات دیفرانسیل، انتگرال و ماتریس‌ها را پوشش می‌دهد.

اهمیت یادگیری ریاضی مهندسی در چیست؟

ریاضیات، پایه و اساس مهندسی را تشکیل می‌دهد. ابزارها و تکنیک‌های ریاضی، امکان حل مسائل پیچیده دنیای واقعی را فراهم می‌کنند. بسیاری از مفاهیم ریاضی در طراحی سازه‌ها، بهینه‌سازی سیستم‌ها و تفسیر داده‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. ریاضیات مهندسی، پلی میان دنیای تئوری و کاربردهای عملی فرمول‌های ریاضی است. اهمیت این علم را می‌توان در موارد زیر خلاصه کرد:

• حل مسئله: ریاضیات مهندسی، با تقویت مهارت‌هایی نظیر تفکر منطقی و حل مسئله، امکان مدیریت مسائل پیچیده و تقسیم‌بندی آن‌ها به بخش‌های کوچک‌تر را فراهم می‌کند.
• مدل‌سازی و تحلیل: فرمول‌های ریاضی، برای نمایش سیستم‌های واقعی به کار گرفته می‌شوند. مهندسان از این فرمول‌ها برای تحلیل شرایط، پیش‌بینی حالت‌های مختلف و اتخاذ تصمیم‌های آگاهانه استفاده می‌کنند.
• افزایش دقت محاسبات: مفاهیم ریاضی از جمله حسابان، جبر و آمار، باعث بهبود دقت محاسبات و اندازه‌گیری‌ها می‌شوند. هرچه دقت کارهای مهندسی بالاتر باشد، خطاهای طراحی و تحلیل و خطرات احتمالی مرتبط با آن‌ها کاهش می‌یابد.
• بهینه‌سازی: ریاضیات مهندسی به مهندسان در کاهش هزینه‌ها، افزایش بهره‌وری و بهبود عملکرد سازه‌ها و سیستم‌های مهندسی کمک می‌کنند.
• طراحی و نوآوری: استفاده از اصول ریاضیات مهندسی برای رسیدن به سازه‌ها یا سیستم‌های ایمن، کاربردی و کارآمد ضروری است.

حوزه‌های کاربرد ریاضی مهندسی چیست؟

ریاضی مهندسی، کاربرد گسترده‌ای در رشته‌های مختلف دارد که برخی از آن‌ها عبارت هستند از:

• مهندسی عمران: محاسبات نیروهای اعمال شده بر سازه‌ها، تحلیل رفتار مواد (مقاومت مصالح) و بهینه‌سازی طراحی‌‌هایی نظیر پل، سد، تونل و غیره، با استفاده از اصول ریاضی مهندسی انجام می‌شود.
• مهندسی مکانیک: با استفاده از ریاضیات مهندسی می‌توان به تحلیل اشیا در حال حرکت، طراحی ماشین‌های کارآمد و بهینه‌سازی سیستم‌های انرژی پرداخت. به عنوان مثال، معادلات دیفرانسیل، امکان مدل‌سازی رفتار سیستم‌های مکانیکی را فراهم می‌کنند. فرمول‌های جبر خطی نیز برای تحلیل نیرو و حرکت در سازه‌های پیچیده استفاده می‌شود.
• مهندسی برق: طراحی مدارهای الکتریکی، تحلیل انواع سیگنال و توسعه سیستم‌های مخابراتی، بدون دانش ریاضی ممکن نیست. حسابان، باعث درک بهتر مهندسان برق ار رفتار المان‌های الکتریکی می‌شود. مفاهیم جبر نیز این مهندسان را در حل معادلات مربوط به مدارها کمک می‌کند.

مفاهیم پایه ریاضی مهندسی چیست؟

از مهم‌ترین مفاهیم ریاضی مهندسی می‌توان به جبر، حسابان، معادلات دیفرانسیل، جبر خطی، نظریه احتمال، آمار، روش‌های عددی و حساب برداری اشاره کرد. در این بخش، به معرفی کلیات مفاهیم مذکور به همراه برخی از توابع، سری‌ها و ابزارهای پرکاربرد در ریاضیات مهندسی می‌پردازیم.

کاربرد جبر در ریاضی مهندسی چیست؟

«جبر» (Algebra)، یکی از ابتدایی‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم ریاضی است که به منظور انجام عملیات بر روی عبارت‌ها و حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد. جبر، کاربرد گسترده‌ای در ریاضیات مهندسی دارند.

ثابت‌ها و متغیرها، عبارت‌های جبری، معادله و نامعادله، چندجمله‌ای‌ها، فاکتورگیری، توابع و گراف‌ها، از مباحث مرتبط با جبر هستند. اغلب مسائل مهندسی، در قالب معادلات چندجمله‌ای بیان می‌شوند. برای حل این مسائل، باید با روش‌های حل معادلات جبری از جمله حل معادله درجه دو، حل معادله درجه سه و غیره آشنا باشید.

کاربرد حسابان در ریاضی مهندسی چیست؟

«حسابان» (Calculus)، علم مطالعه و تحلیل نرخ تغییرات توابع است. این علم، به منظور حل مسائل مرتبط با حرکت، گرما، الکتریسیته و بسیاری از مسائل مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. حسابان، در مدل‌سازی سیستم‌های فیزیکی، تحلیل رفتار دینامیک و بهینه‌سازی فرآیندها کاربرد دارد.

از مهم‌ترین و شناخته شده‌ترین مفاهیم حسابان می‌توان به حد، پیوستگی، مشتق و انتگرال اشاره کرد. این مفاهیم به طور گسترده در مسائل ریاضی مهندسی به کار برده می‌شوند.

کاربرد معادلات دیفرانسیل در ریاضی مهندسی چیست؟

«معادلات دیفرانسیل» (Differential Equations)، رابطه بین یک تابع، مشتقات و متغیرهای مستقل آن تابع را نمایش می‌دهند. در دنیای مهندسی، از این معادلات برای مدل‌سازی پدیده‌های گوناگونی نظیر حرکت اشیا، جریان سیال، ارتعاشات مکانیکی، مدارهای الکتریکی و غیره استفاده می‌شود. ماهیت ریاضی مهندسی با معادلات دیفرانسیل گره خورده است. بنابراین، افرادی که از دانش پایه قوی در زمینه معادلات دیفرانسیل بهره می‌برند، به خوبی می‌توانند مسائل ریاضی مهندسی را درک و حل کنند.

کاربرد جبر خطی در ریاضی مهندسی چیست؟

«جبر خطی» (Linear Algebra)، علم مطالعه معادلات خطی و ماتریس‌ها است. این علم نیز مانند دیگر شاخه‌های ریاضی در حوزه‌های مختلف مهندسی از جمله تحلیل مدارهای الکتریکی، تحلیل سازه، بهینه‌سازی و غیره کاربرد دارد. جبر خطی، یکی از ابزارهای قدرتمند برای مهندسان محسوب می‌شود.

اگر رفتار یک سیستم به صورت خطی باشد، حل مسائل مرتبط با آن توسط جبر خطی و مفاهیمی نظیر عملیات ماتریسی (ضرب ماتریس‌ها، جمع ماتریس‌ها، تجزیه ماتریس‌ها، معکوس کردن ماتریس‌ها)، بردار ویژه و مقدار ویژه، تبدیلات خطی، حل دستگاه معادلات خطی و غیره انجام می‌گیرد. بنابراین، جبر خطی نیز یکی از مفاهیم مهم ریاضی مهندسی به شمار می‌رود.

کاربرد نظریه احتمال در ریاضی مهندسی چیست؟

«نظریه احتمال» (Probability Theory)، معمولا به منظور تحلیل فرآیندهای تصادفی در سیستم‌های مخابراتی، تحلیل اطمینان‌پذیری و ارزیابی ریسک مورد استفاده قرار می‌گیرد. این نظریه و مفاهیم مرتبط با آن به مهندسان در کمی‌سازی عدم‌قطعیت‌‌های موجود و اتخاذ تصمیمات آگاهانه‌تر کمک می‌کند.

آزمایش تصادفی، پیشامد، تابع احتمال، توزیع احتمال، امید ریاضی، واریانس، احتمال شرطی، قضیه بیز و بسیاری از مفاهیم احتمالاتی، در ریاضی مهندسی و حوزه‌هایی نظیر مهندسی اطمینان‌پذیری، پردازش سیگنال، کنترل کیفیت، تحلیل ریسک، بهینه‌سازی و تصمیم‌گیری کاربرد دارند.

کاربرد آمار در ریاضی مهندسی چیست؟

«آمار» (Statistics)، علم جمع‌آوری، تحلیل و تفسیر داده است. این علم، به عنوان یک ابزار کاربردی و قدرتمند، امکان تصمیم‌گیری داده‌محور را برای مهندسان فراهم می‌کند. آمار و احتمال، رابطه بسیار نزدیکی با یکدیگر دارند. به همین دلیل، اغلب مهندسان این دو موضوع را به همراه یکدیگر و در قالب درسی با عنوان «آمار و احتمال مهندسی» یاد می‌گیرند.

کاربرد تابع متناوب در ریاضی مهندسی چیست؟

«تابع متناوب» (Periodic Function)، یکی از انواع تابع در ریاضی است که مقادیر دامنه و برد خود را در بازه‌ها یا اصطلاحا تناوب‌های مشخص، تکرار می‌کند. دوره تناوب توابع متناوب، معمولا با حرف P نمایش داده می‌شود. فرم کلی این توابع عبارت است از:

$$f ( x ) = f ( x + n p )$$

$$np$$، دوره تناوب است. اگر دو تابع $$f ( x )$$‌ و $$g ( x )$$ متناوب باشند، جمع و حاصل‌ضرب آن‌ها نیز متناوب خواهد بود.

توابع متناوب، کاربرد زیادی در ریاضیات مهندسی دارند. از پرکاربردترین توابع متناوب مورد استفاده در ریاضی مهندسی می‌توان به توابع «سینوس» (Sine) و «کسینوس» (Cosine) اشاره کرد. فرم متناوب این توابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$sin ( x ) = sin ( x + 2 pi )$$

$$cos ( x ) = cos ( x + 2 pi )$$

دوره تناوب توابع سینوس و کسینوس برابر با $$2 pi$$ است. بنابراین، مقادیر این توابع، در بازه $$2 pi$$ تکرار می‌شود. مقادیر $$n p$$ برای توابع سینوس و کسینوس برابرند با:

$$np = { … , – 4 pi, – 2 pi, 0, 2 pi, 4 pi, … }$$

توجه داشته باشید که توابع $$sin ( omega x )$$ و $$cos ( omega x )$$ نیز توابع متناوب با دوره تناوب $$frac { 2 pi } { omega }$$

کاربرد تابع متعامد در ریاضی مهندسی چیست؟

«توابع متعامد» (Orthogonal Functions)، دو تابع غیرصفر مانند $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ هستند که انتگرال حاصل‌ضرب آن‌ها در یک بازه مشخص مانند $$a le x le b$$

$$int _ { { a } } ^ { { b } } { { f left ( x right ) g left ( x right ) dx } } = 0$$

مجموعه‌ای از توابع غیرصفر، دوبه‌دو متعامد خواهند بود، اگر رابطه زیر برای آن‌ها صادق باشد:

$$int _ a ^ b f _ i ( x ) f _ j ( x ) d x= begin {cases} 0 & i neq j \ c > 0 & i = j end{cases}$$

توابع متعامد، کاربرد گسترده‌ای در تحلیل سیگنال‌ها و مکانیک کوانتومی دارند. این توابع نیز مانند توابع متناوب، در نوشتن فرمول‌ها و سری‌های مورد استفاده در ریاضی مهندسی استفاده می‌شوند.

کاربرد تابع زوج و فرد در ریاضی مهندسی چیست؟

«توابع زوج و فرد» (Even and Odd Functions)، توابعی هستند که نسبت محور عمودی یا مبدا دستگاه مختصات تقارن دارند. فرم کلی توابع زوج به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f ( – x ) = f ( x )$$

بر اساس رابطه بالا، اگر علامت متغیر ورودی در توابع زوج را منفی کنیم، تفاوتی در خروجی تابع به وجود نمی‌آید. از معروف‌ترین توابع زوج می‌توان به $$f ( x ) = x ^ 2$$

$$f ( – x ) = – f ( x )$$

با توجه به رابطه بالا، اگر علامت متغیر ورودی در توابع فرد را منفی کنیم، علامت منفی به پشت تابع اصلی انتقال می‌یابد. از معروف‌ترین توابع زوج می‌توان به $$f ( x ) = x ^ 3$$

$$int _ { – L } ^ L f ( x ) d x = 2 int _ 0 ^ L f ( x ) d x$$

در صورت فرد بودن تابع $$f ( x )$$، انتگرال آن در بازه متقارن $$[L , – L ]$$ برابر می‌شود با:

$$int _ { – L } ^ L f ( x ) d x = 0$$

توابع زوج و فرد، بخصوص توابع متناوب سینوس و کسینوس، در بسیاری از مسائل ریاضی مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. خواص این توابع، امکان حل مسائل مرتبط با ریاضیات مهندسی را فراهم می‌کنند.

کاربرد انتگرال جز به جز در ریاضی مهندسی چیست؟

«انتگرال جز به جز» (Integration by Parts)، یکی از متداول‌ترین روش‌های انتگرال‌گیری از ضرب توابع است. این روش انتگرال‌گیری، کاربرد زیادی در ریاضیات مهندسی دارد؛ زیرا اغلب فرمول‌ها و روابط ریاضی مهندسی، از ضرب دو یا چند تابع به دست می‌آیند. فرم کلی انتگرال جز به جز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$int { { u , d v } } = u v – int { { v , d u } }$$

بر اساس رابطه بالا، برای رسیدن به جواب نهایی در انتگرال‌گیری جز به جز، یکی از توابع باید مشتق‌پذیر و دیگری باید انتگرال‌پذیر باشد. در ریاضی مهندسی، انتگرال جز به جز به منظور ساده‌سازی انتگرال و حل مسائل پیچیده مورد استفاده قرار می‌گیرد.

اگر می‌خواهید مهارت خود در انتگرال‌گیری و روش‌های مختلف آن را افزایش دهید، مشاهده «فیلم آموزش جامع روش‌‌های انتگرال‌‌گیری به همراه حل مثال فرادرس» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. لینک مشاهده این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است.

مثال ۱: محاسبه انتگرال جز به جز

حاصل انتگرال زیر را به دست بیاورید:

$$int { { { w ^ 2 } sin left ( { 10 w } right ) , d w } }$$

عبارت بالا، انتگرال ضرب دو تابع را نمایش می‌دهد. بهترین روش برای حل این عبارت، استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز است. به این منظور، ابتدا تغییر متغیرهای زیر را انجام می‌دهیم:

$$begin{align*} u & = { w ^ 2 } & d v & = sin left ( { 10 w } right ), d w \ d u & = 2 w , d w & v & = – frac { 1 } { { 10 } } cos left ( { 10 w } right ) end{align*}$$

برای به دست آوردن $$d u$$، از تابع $$w ^ 2$$ مشتق گرفته و برای به دست آوردن $$v$$، از $$sin ( 10 w )$$ انتگرال گرفته‌ایم. اکنون، این پارامترها را درون رابطه انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$int { { u , d v } } = u v – int { { v , d u } }$$

$$int { { { w ^ 2 } sin left ( { 10 w } right ) , d w } } = – frac { { { w ^ 2 } } }{ { 10 } } cos left ( { 10 w } right ) + frac { 1 } { 5 } int { { w cos left ( { 10 w } right ), d w } }$$

به دلیل حذف نشدن انتگرال از رابطه، انتگرال‌گیری جز به جز را یک بار دیگر با تغییر متغیر جدید انجام می‌دهیم:

$$begin{align*} u & = w & d v & = cos left ( {10 w } right ) , d w \ d u & = , d w & v & = frac { 1 } { { 10 } } sin left ( { 10 w } right ) end{align*}$$

$$begin{align*} int { { { w ^ 2 } sin left( { 10 w } right ), dw } } & = – frac { { { w ^ 2 } } } { { 10 } } cos left ( { 10 w } right ) + frac { 1 } { 5 } left( { frac { w } { { 10 } } sin left ( { 10 w } right ) – frac { 1 } { { 10 } }int { { sin left ( { 10 w } right), d w } } } right ) \ & = – frac { { { w ^ 2 } } } { { 10 } } cos left ( { 10 w } right ) + frac { 1 } { 5 } left( { frac { w } { { 10 } } sin left ( { 10 w } right ) + frac{ 1 } { { 100 } } cos left ( { 10 w } right ) } right ) + c \ & = – frac { { { w ^ 2 } } } { { 10 } } cos left ( { 10 w } right ) + frac { w } { { 50 } } sin left ( { 10 w } right ) + frac { 1 } { { 500 } } cos left ( { 10 w } right ) + c end{align*}$$

در تبدیل توابع متناوب و نوشتن آن‌ها به فرم سری، معمولا به انتگرال‌‌گیری جز به جز نیاز پیدا می‌کنید. بنابراین، باید مهارت خود را در استفاده از این روش بالا ببرید.

کاربرد سری تیلور چیست در ریاضی مهندسی چیست؟

«سری تیلور» (Taylor Series)، روشی برای بیان توابع و معادلات ریاضی به صورت مجموعه‌ای از چندجمله‌ای‌ها است. هر یک از عبارت‌های این سری، از مشتق تابع مورد نظر به دست می‌آیند. سری تیلور، برای بسط توابعی مورد استفاده قرار می‌گیرد که خودشان چندجمله‌ای نیستند. فرم کلی سری تیلور برای تابع $$f ( x )$$ در $$x = a$$

$$ begin{align*} f left ( x right ) & = sum limits _ { n = 0 } ^ infty { frac { { { f ^ { left ( n right ) } } left( a right ) } } { { n ! } } { { left ( { x – a } right ) } ^ n } } \ & = f left ( a right ) + f ‘ left ( a right ) left ( { x – a } right ) + frac { { f ‘ ‘ left ( a right ) } } { { 2 ! } } { left ( { x – a } right ) ^ 2 } + frac { { f ‘ ‘ ‘ left ( a right ) } } { { 3 ! } } { left ( { x – a } right ) ^ 3 } + cdots end{align*} $$

اگر $$a = 0$$

$$ begin{align*} f left ( x right ) & = sum limits _ { n = 0 } ^ infty { frac { { { f ^ { left ( n right ) } } left( 0 right ) } } { { n ! } } { x ^ n } } \ & = f left( 0 right ) + f ‘ left( 0 right ) x + frac { { f ‘ ‘ left ( 0 right ) } } { { 2 ! } } { x ^ 2 } + frac { { f ‘ ‘ ‘ left ( 0 right ) } } { {3 ! } } { x ^ 3 } + cdots end{align*} $$

سری‌های تیلور و مک‌لورن، همیشه گزینه خوبی برای بسط یک تابع و نمایش آن به صورت مجموعه نامتناهی از عبارت‌ها نیستند. مسئله همگرایی و مشتق‌پذیری در این سری‌ها، کاربردهای آن‌ها در مدل‌سازی مسائل مهندسی را محدود می‌کند. به همین دلیل، باید به سراغ روش دیگری برویم که در بخش بعدی به معرفی آن می‌پردازیم.

کاربرد اعداد مختلط در ریاضی مهندسی چیست؟

«اعداد مختلط» (Complex Numbers)، اعدادی هستند که از یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی تشکیل می‌شوند. برخلاف اعداد حقیقی، اگر اعداد مختلط را به توان زوج برسانیم، حاصل یک عدد منفی می‌شود. رابطه زیر، ساختار یک عدد مختلط را نمایش می‌دهد:

$$z = x + i y$$

در رابطه بالا، $$i = sqrt { – 1 }$$

تابع تحلیلی در ریاضی مهندسی چیست؟

«تابع تحلیلی» (Analytic Function)، تابعی تک‌مقداره مانند $$f ( z )$$ در صفحه مختلط $$R$$ است که به ازای هر نقطه از $$R$$، دارای مشتق باشد. توجه داشته باشید که امکان حقیقی بودن توابع تحلیلی نیز وجود دارد. با این وجود، در ریاضیات مهندسی، معمولا توابع تحلیلی مختلط مورد نظر هستند. این توابع در تحلیل‌ها، حل معادلات، انتگرال‌گیری و مدل‌سازی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

تابع هولومورفیک در ریاضی مهندسی چیست؟

«تابع هولومورفیک» (Holomorphic Function)، تابعی با مقدار مختلط و یک یا چند متغیر مختلط است که مشتق آن در همسایگی هر نقطه از دامنه‌اش، وجود دارد. توابع هولومورفیک به عنوان توابع تحلیلی نیز شناخته می‌شوند. این توابع معمولا در آنالیز مختلط مورد استفاده قرار می‌گیرند.

مفاهیمی که تا به اینجا تعریف کردیم، برای تقویت دانش پایه شما و آمادگی جهت یادگیری مباحث تخصصی‌تر ریاضیات مهندسی ضروری هستند. در بخش‌های بعدی، به معرفی مفاهیم اصلی و پرکاربرد ریاضی مهندسی خواهیم پرداخت.

بهترین منبع یادگیری کامل ریاضی مهندسی چیست؟

یادگیری درس ریاضی مهندسی و تسلط بر روی نحوه استفاده از فرمول‌های آن، دانش شما برای طراحی و تحلیل سیستم‌ها، توسعه تکنولوژی‌های جدید و بهینه‌سازی فرآیندها را ارتقا می‌بخشد. بنابراین، اگر در رشته‌های مهندسی تحصیل یا فعالیت می‌کنید، باید به دنبال یادگیری کامل مباحث مرتبط با این درس باشید. انتخاب بهترین منبع یادگیری کامل ریاضی مهندسی، به نیازهای شما بستگی دارد. این درس، به عنوان یکی از مواد آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری برای برخی از رشته‌های مهندسی محسوب می‌شود. بنابراین، در صورت علاقه به شرکت در این آزمون‌ها، باید به دنبال منبعی باشید که ضمن ارائه مفاهیم تئوری، حل مسائل کاربردی را نیز آموزش دهد.

فرادرس، مجموعه‌ای فیلم‌های آموزشی جامع و کاربردی را در رابطه با درس ریاضی مهندسی تهیه کرده است. برای دانشجویان و افراد علاقه‌مند به تقویت دانش پایه خود در این زمینه، مشاهده «فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی فرادرس» را پیشنهاد می‌کنیم. افراد علاقه‌مند به شرکت در آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری نیز می‌توانند از فیلم‌های آموزشی زیر بهره ببرند:

آنالیز فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

آنالیز فوریه، یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین ابزارهای مورد استفاده در ریاضیات مهندسی است. در این بخش، اصلی‌ترین نکات و مفاهیم مورد نیاز برای یادگیری آنالیز فوریه را توضیح می‌دهیم.

 سری فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

«سری فوریه» (Fourier Series)، روشی برای بیان توابع متناوب به صورت جمع نامتناهی سینوس‌ها و کسینوس‌ها است. سری فوریه با استفاده از روابط توابع متعامد و روابط توابع زوج و فرد، امکان نوشتن توابع متناوب بر اساس سینوس و کسینوس را فراهم می‌کند. سری فوریه، ابزار مفیدی برای برآورد، حل معادلات مشتقات جزئی و تفسیر رفتار سیستم‌های فیزیکی است. فرم کلی سری فوریه برای تابع $$f ( x )$$ در بازه متقارن $$– L le x le L$$

$$f left ( x right ) = sum limits _ { n = 0 } ^ infty { { A _ n } cos left ( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { { B _ n } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سری فوریه $$f ( x )$$، به صورت مجموعی از توابع سینوس و کسینوس در یک بازه بی‌نهایت نوشته شده است. در برخی از منابع، سری فوریه را به فرم زیر نیز می‌نویسند:

$$f left ( x right ) = frac { 1 } { 2 } A _ 0 + sum limits _ { n = 0 } ^ infty left [ { { A _ n } cos left ( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) } + { { B _ n } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) } right ]$$

ضرایب سری فوریه، با توجه به خواص توابع متعامد به دست می‌آیند. رابطه محاسبه این ضرایب عبارت هستند از:

$${ A _ 0 } = frac { 1 } { { 2 L } } int _ { { , – L } } ^ { L } { { f left ( x right ) , d x } }$$

$${ A _ n } = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { L } { { f left( x right ) cos left( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ), d x } } n = 1,2,3, ldots$$

$${ B _ n} = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { L } { { f left ( x right ) sin left( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) , d x } } n = 1,2,3, ldots$$

یادگیری نحوه بسط توابع مختلف با استفاده از سری فوریه، یکی از مهم‌ترین مهارت‌های مورد نیاز برای موفقیت در درس ریاضی مهندسی است. در ادامه، مبانی این کار را با حل یک مثال ساده آموزش می‌دهیم.

مثال ۲: محاسبه سری فوریه تابع f(x)=x

سری فوریه تابع $$f ( x ) = x$$

برای نوشتن سری فوریه $$f ( x ) = x$$

$${ A _ n } = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { { , L } } { { f left ( x right ) cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { { , L } } { { x cos left ( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) , d x } } = 0$$

انتگرال‌های بالا، بدون حل کردن نیز قابل تعیین بودند. $$x$$‌ یک تابع فرد و $$cos$$ یک تابع زوج است. حاصل‌ضرب این دو تابع، یک تابع فرد خواهد بود. انتگرال تابع فرد در بازه متقارن، برابر با ۰ می‌شود. در مرحله بعدی، ضریب $$B _ n$$

$$begin {aligned} { B _ { , n } } = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { { , L } } { { f left ( x right ) sin left ( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) , dx } } & \ = frac { 1 } { L } int _ { { , – L } } ^ { { , L } } { { x sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , dx } } & \ = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { x sin left( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ), dx } } end {aligned}$$

بر حل انتگرال بالا به روش جز به جز، خواهیم داشت:

 $${ B _ n } = frac { { { { left ( { – 1 } right ) } ^ { n + 1 } } 2 L } } { { n pi } } n = 1,2,3, ldots$$

اکنون، ضرایب را درون فرم کلی سری فوریه قرار می‌هیم:

$$f left ( x right ) = sum limits _ { n = 0 } ^ infty { { A _ n } cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { { B _ n } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) }$$

$$f ( x ) = sum limits _ { n = 1 } ^ infty { frac { { { { left ( { – 1 } right ) } ^ { n + 1 } } 2 L } } { { n pi } } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) }$$

همگرایی سری فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

یکی از موضوعات مهم در ریاضی مهندسی، همگرایی سری فوریه است. همگرایی، میزان دقت سری فوریه در نمایش ویژگی‌های یک تابع را مشخص می‌کند. همگرا بودن سری فوریه به یک مقدار خاص، یعنی با اضافه کردن عبارت‌های بیشتر به سری، جواب محاسبات به آن مقدار نزدیک‌تر می‌شود. این ویژگی، اهمیت بالایی در مسائل مهندسی مهندسی دارد. از مهم‌ترین مفاهیم مورد استفاده در مبحث همگرایی سری فوریه می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• «تابع تکه‌ای پیوسته» (Piecewise Continuous Function): تابعی که در یک بازه مشخص پیوسته است اما امکان ناپیوستگی در چند نقطه محدود از آن وجود دارد.
• «تابع تکه‌ای هموار» (Piecewise Smooth Function): تابعی که خود و مشتق آن به صورت تکه‌ای پیوسته باشند.
• «مجموع جزئی فوریه» (Partial Fourier Sum): تعدادی از جملات سری فوریه است که برای تقریب یک تابع استفاده می‌شود و به تحلیل رفتار آن تابع کمک می‌کند. مجموع جزئی فوریه معمولا با $$f _ N ( x )$$
• «قضیه دیریکله» (Dirichlet’s Theorem): نظریه‌ای که شرایط لازم برای همگرایی سری فوریه یک تابع را، به ویژه در مورد توابع تکه‌ای پیوسته و با محدودیت‌های خاص مشخص می‌کند.

همگرایی سری فوریه می‌توان از نوع نقطه‌ای یا یکنواخت باشد.

سری فوریه توابع زوج و فرد در ریاضی مهندسی چیست؟

تابع زوج و پیوسته $$f ( x )$$ را در بازه $$[ – L , L ]$$ را در نظر بگیرید. با توجه به خواص توابع زوج، ضرایب فوریه $$f ( x )$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$${ A _ 0 } = frac { 2 } { { L } } int _ { { , 0 } } ^ { , L } { { f left ( x right ) , d x } }$$

$${ A _ n } = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { , L } { { f left( x right ) cos left( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ), d x } } n = 1,2,3, ldots$$

$${ B _ n } = 0$$

اکنون، تابع فرد و پیوسته $$f ( x )$$ را در بازه $$[ – L , L ]$$ را در نظر بگیرید. با توجه به خواص توابع فرد، ضرایب فوریه $$f ( x )$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$${ A _ 0 } = 0$$

$${ A _ n } = 0$$

$${ B _ n} = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { , L } { { f left ( x right ) sin left( { frac { { n ,pi x } } { L } } right ) , d x } } n = 1,2,3, ldots$$

روابط سری فوریه توابع زوج و فرد، کاربرد گسترده‌ای در بسط توابع غیرمتناوب با استفاده از سری فوریه دارد. در بخش بعدی، به توضیح بیشتر در این مورد و حل مثال می‌پردازیم.

بسط نیم‌دامنه‌ای در سری فوریه و ریاضی مهندسی چیست؟

اگر تابعی متناوب نباشد، امکان بیان آن به صورت مجموع نامتناهی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها وجود ندارد. در این شرایط، می‌توانیم تابع مورد نظر را به صورت زوج یا فرد بسط داد و سریه فوریه متناظر با آن را نوشت. در این شرایط، از سری فوریه سینوسی یا سری فوریه کسینوسی استفاده می‌کنیم. در این سری‌ها، ضرایب مورد نیاز را با انتگرال‌گیری در بازه $$[0, L ]$$ به دست می‌آوریم. به همین دلیل، به آن‌ها بسط نیم‌دامنه‌ای (Half-Range Expansion) می‌گوییم.

سری فوریه کسینوسی در ریاضی مهندسی چیست؟

«سری فوریه کسینوسی» (Fourier Cosine Series)، امکان نمایش توابع زوج به صورت جمع نامتناهی کسینوس‌ها را فراهم می‌کند. فرم کلی این سری به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f left ( x right ) = sum limits _ { n = 0 } ^{ infty }{ { { A } _ { n } } cos left( frac { n ,pi x } { L } right)}$$

$$ { A _ n } = left { { begin {array} { * { 20 } { l } } {displaystyle frac { 1 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { f left ( x right ) , d x } } } & { ,,,,, n = 0 } \ { displaystyle frac { 2 } { L } int _ { { ,0 } } ^ { { , L} } { { f left ( x right ) cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } } & {,,,,, n ne 0 } end{array}} right. $$

برای یادگیری نحوه استفاده سری فوریه کسینوسی برای بسط توابع زوج، به حل یک مثال می‌پردازیم.

مثال ۳: محاسبه سری فوریه تابع f(x)=x^2

سری فوریه تابع $$f ( x ) = x ^ 2$$

$$f ( x ) = x ^ 2$$

$${ A _ 0 } = frac { 1 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { f left ( x right ) , d x } } = frac { 1 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { { x ^ 2 } , d x } } = frac { 1 } { L } left ( { frac { { { L ^ 3 } } } { 3 } } right ) = frac { { { L ^ 2 } } } { 3 }$$

$$begin{align*} { A _ n } & = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { f left ( x right ) cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { { x ^ 2 } cos left( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } \ & = frac { 2 } { L } left. { left ( { frac { L } { { { n ^ 3 } { pi ^ 3 } } } } right ) left ( { 2 L n pi x cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) + left ( { { n ^ 2 } { pi ^ 2 } { x ^ 2 } – 2 { L ^ 2 } } right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) } right ) } right | _ 0 ^ L \ & = frac { 2 } { { { n ^ 3 } { pi ^ 3 } } } left( { 2 { L ^ 2 } n pi cos left ( { n ,pi } right ) + left ( { { n ^ 2 } { pi ^ 2 } { L ^ 2 } – 2 { L ^ 2 } } right ) sin left ( { n , pi } right ) } right ) \ & = frac { { 4 { L ^ 2 } { { left ( { – 1 } right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } { pi ^ 2 } } } n = 1 , 2 , 3 , ldots end{align*}$$

برای به دست آوردن $$A_n$$

برای تعیین سری فوریه سینوسی تابع بالا، ابتدا باید ضریب $$B_n$$تابع چندضابطه‌ای است. به همین دلیل، انتگرال‌گیری را بر اساس بازه‌های هر ضابطه انجام می‌دهیم:

$$begin{align*} { B _ { , n } } & = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { f left( x right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } \ & = frac { 2 } { L } left[ { int _ { { , 0 } } ^ { { , frac { L } { 2 } } } { { f left( x right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } + int _ { { , frac { L } { 2 } } } ^ { { , L } } { { f left( x right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } } right] \ & = frac { 2 } { L } left[ { int _ { { , 0 } } ^ { { , frac { L } { 2 } } } { { frac { L } { 2 } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } + int _ { { , frac { L } { 2 } } } ^ { { , L } } { { left ( { x – frac { L } { 2 } } right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } } right] end{align*}$$

با حل انتگرال‌های بالا، خواهیم داشت:

$$begin{align*} int _ { { , 0 } } ^ { { , frac { L } { 2 } } } { { frac { L } { 2 } sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } & = – left. { left ( { frac { L } { 2 } } right ) left ( { frac { L } { { n pi } } } right ) cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) } right| _ 0 ^ { frac { L } { 2 } } \ &= frac { { { L ^ 2 } } } { { 2 n pi } } left( { 1 – cos left ( { frac { { n , pi } } { 2 } } right ) } right) end{align*}$$

$$begin{align*} int _ { { , frac { L } { 2 } } } ^ { { , L } } { { left( { x – frac { L } { 2 } } right) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } & = left. { frac { L } { { n ^ 2 } { pi ^ 2 } } left[ { L sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right) – n pi left( { x – frac { L } { 2 } } right) cos left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right) } right] } right| _ { frac { L } { 2 } } ^ L \ & = frac { L } { { n ^ 2 } { pi ^ 2 } } left[ { L sin left ( { n pi } right) – frac { { n pi L } }{ 2} cos left ( { n pi } right) – Lsinleft( {frac{{n,pi }}{2}} right) } right] \ & = -frac{{{L^2}}}{{{n^2}{pi ^2}}}left[ {frac{{npi {{left( {-1} right)}^n}}}{2} + sinleft( {frac{{n,pi }}{2}} right)}right] end{align*}$$

این دو انتگرال را با هم جمع می‌کنیم:

$$begin{align*} { B _ { , n } } = frac { 2 } { L } int _ { { , 0 } } ^ { { , L } } { { f left( x right ) sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right ) , d x } } & = frac { 2 } { L } left( { frac { { L ^ 2 } } { 2 n pi } } right) left[ { 1 + {{left( { – 1 } right)}^{n + 1}} – cos left ( { frac { { n , pi } } { 2 } } right) + frac { 2 } { n pi } sin left ( { frac { { n , pi } } { 2 } } right) } right] \ & = frac { L } { { n pi } } left[ { 1 + {{left( { – 1 } right)}^{n + 1}} – cosleft( {frac{{n,pi }}{2}} right) – frac{2}{{npi }}sinleft( {frac{{n,pi }}{2}} right)} right] end{align*}$$

با قرار دادن ضریب $$B _ n$$

$$f left( x right) = sum limits _ { n = 1 } ^ infty { frac { L } { { n pi } } left[ { 1 + {{left( { – 1 } right)}^{n + 1}} – cos left ( { frac { { n , pi } } { 2 } } right) – frac { 2 } { n pi } sin left ( { frac { { n , pi } } { 2 } } right) } right] sin left ( { frac { { n , pi x } } { L } } right) }$$

اتحاد پارسوال در ریاضی مهندسی چیست؟

«اتحاد پارسوال» (Parseval’s Identity)، یکی از اتحادهای پرکاربرد در ریاضیات مهندسی است که به منظور محاسبه سری‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این اتحاد را می‌توان تعمیم قضیه فیثاغورس در فضاهای ضرب داخلی برای سری فوریه در نظر گرفت. رابطه پارسوال در سری فوریه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$frac{a_0^2}{2}+sum_{n=1}^{infty}left(a_n^2+b_n^2right)=frac{1}{pi} int_{-pi}^pi f^2(x) d x$$

فرم مختلط سری فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

فرم مختلط سری فوریه، یک روش جایگزین برای نمایش توابع متناوب است که به جای استفاده از فرم استاندارد سری‌های فوریه سینوسی و کسینوسی، از یک فرم نمایی استفاده می‌کند. این روش، کاربرد زیادی در تحلیل سیگنا‌ل‌ها و سیستم‌ها دارد. فرم مختلط سری فوریه برای تابع $$f ( x )$$ در بازه $$[ – pi , pi ]$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$begin {align*} f left( x right) & = frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { left( { { A _ n } cos nx + { B _ n } sin nx } right) } \ & = frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { left( { { A _ n } frac { { { e ^ { inx } } + { e ^ { – inx } } } } { 2 } + { B _ n } frac { { { e ^ { inx } } – { e ^ { – inx } } } } { { 2i } } } right) } \ & = frac { { { A _ 0 } } } { 2 } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { frac { { { A _ n } – i { B _ n } } } { 2 } { e ^ { inx } } } + sum limits _ { n = 1 } ^ infty { frac { { { A _ n } + i { B _ n } } } { 2 } { e ^ { – inx } } } \ & = sum limits _ { n = – infty } ^ infty { { C _ n } { e ^ { inx } } } end {align*}$$

ضریب $$C _ n$$

$${ C _ 0 } = frac { { { A _ 0 } } } { 2 } , ;; { C _ n } = frac { { { A _ n } – i { B _ n } } } { 2 } , ;; { C _ { – n } } = frac { { { A _ n } + i { B _ n } } } { 2 }$$

برای تابع متناوب $$f ( x )$$ با دوره تناوب $$2 L$$، فرم مختلط سری فوریه و ضریب $$C _ n$$

$$f left( x right) = sum limits _ { n = – infty } ^ infty { { C _ n } { e ^ { frac { { in pi x } } { L } } } }$$

$${ C _ n } = frac { 1 } { { 2 L } } int limits _ { – L } ^ L { f left( x right) { e ^ { – frac { { in pi x } } { L } } } d x } , ;; n = 0, pm 1, pm 2, ldots$$

مثال ۵: محاسبه فرم مختلط سری فوریه

فرم مختلط سری فوریه زیر را به دست بیاورید.

$$f left( x right) = text{sign} , x = begin{cases} -1, & -pi le x le 0 \ 1, & 0 lt x le pi end{cases}$$

برای به دست آوردن فرم مختلط سری فوریه تابع چندضابطه‌ای بالا، ابتدا ضرایب $$C _ 0$$

$$begin {align*} { C _ 0 } & = frac { 1 } { { 2 pi } } int limits _ { – pi } ^ pi { f left ( x right ) d x } \ & = frac { 1 } { { 2 pi } } left [ {int limits _ { – pi } ^ 0 { left ( { – 1 } right ) d x } + int limits _ 0 ^ pi { d x } } right ] \ & = frac { 1 } { { 2 pi } } left [ { left . { left ( { – x } right ) } right | _ { – pi } ^ 0 + left . x right | _ 0 ^ pi } right ] \ & = frac { 1 } { { 2 pi } } left ( { – pi + pi } right ) = 0 end {align*}$$

$$begin {align*} { C _ n } & = frac { 1 } { { 2 pi } } int limits _ { – pi } ^ pi { f left ( x right ) { e ^ { – i n x } } d x } \ & = frac { 1 } { { 2 pi } } left[ { int limits _ { – pi } ^ 0 { left ( { – 1 } right ) { e ^ { – i n x } } d x } + int limits _ 0 ^ pi { { e ^ { – i n x } } d x } } right] \ & = frac { 1 } { { 2 pi } } left[ { – frac { { left. { left ( { e ^ { – i n x } } right ) } right| _ { – pi } ^ 0 } } { { – i n } } + frac { { left. { left ( { e ^ { – i n x } } right ) } right| _ 0 ^ pi } } { { – i n } } } right] \ & = frac { i } { { 2 pi n } } left[ { – left ( { 1 – { e ^ { i n pi } } } right ) + { e ^ { – i n pi } } – 1 } right] \ & = frac { i } { { 2 pi n } } left[ { { e ^ { i n pi } } + { e ^ { – i n pi } } – 2 } right] \ & = frac { i } { { pi n } } left[ { frac { { { e ^ { i n pi } } + { e ^ { – i n pi } } } } { 2 } – 1 } right] \ & = frac { i } { { pi n } } left[ { cos n pi – 1 } right] \ & = frac { i } { { pi n } } left[ { { { left ( { – 1 } right ) } ^ n } – 1 } right] end{align*}$$

در ضریب $$C _ n$$

$$f left ( x right ) = text { sign } , x = – frac { { 2 i } } { pi } sum limits _ { k = – infty } ^ infty { frac { 1 } { { 2 k – 1 } } { e ^ { i left ( { 2 k – 1 } right ) x } } }$$

انتگرال فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

«انتگرال فوریه» (Fourier Integral)، فرم انتگرالی سری فوریه برای توابع چندضابطه‌ای پیوسته و توابع چندضابطه‌ای هموار در بازه $$( 0 , infty )$$ یا $$( – infty , + infty )$$ است. انتگرال فوریه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f left ( x right ) = frac { 1 } { pi } int _ 0 ^ infty { A left ( alpha right ) cos alpha x + B left ( alpha right ) sin alpha x } d alpha$$

ضرایب نمایش داده شده در این انتگرال عبارت هستند از:

$$begin{aligned} A left ( alpha right ) & = int _ { – infty } ^ infty { f left ( x right ) cos alpha x d x } \ B left ( alpha right ) & = int _ { -infty } ^infty { fleft( xright) sin alpha x d x } end{aligned}$$

تبدیل فوریه در ریاضی مهندسی چیست؟

«تبدیل فوریه» (Fourier Transform)، یکی از ابزارهای تحلیلی پرکاربرد در الکترونیک و الکترومغناطیس، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره است.

تبدیل فوریه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$mathcal{ F } _ f left ( w right ) = hat { f } left ( w right ) = frac { 1 } { sqrt { 2 pi } } int _ { -infty } ^infty { f left ( y right) e ^ {- i w y} d y }$$

معکوس تبدیل فوریه نیز عبارت است از:

$$mathcal{ F } ^ { – 1 } _ f left ( x right ) = hat { f } left ( x right ) = frac { 1 } { sqrt { 2 pi } } int _ { -infty } ^infty { hat { f } left ( omega right ) e ^ { i w y} d omega }$$

تبدیل فوریه، یک تبدیل خطی است. به همین دلیل، اگر $$a$$ و $$b$$، دو عدد ثابت و $$f$$ و $$g$$ دو تابع باشند، رابطه زیر بین تبدیل فوریه آن‌ها برقرار خواهد بود:

$$mathcal{ F } _ { a f pm b g } = a mathcal{ F } _ f pm b mathcal{ F } _ g$$

اگر حد تابع $$f ( x )$$‌ و $$f ‘ ( x )$$ در بی‌نهایت برابر با صفر باشد، داریم:

$$mathcal{ F } _ { f ^ n } = ( i omega ) ^ n mathcal{ F } _ { f }$$

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در ریاضی مهندسی چیست؟

معادلات دیفرانسیل، از مهم‌ترین مفاهیم در ریاضیات مهندسی به شمار می‌رود. در این بخش، اهمیت معادلات دیفرانسیل و ترکیب آن با یکی از روش‌های مشتق‌گیری را برای استفاده در حل مسائل ریاضی مهندسی توضیح می‌دهیم.

مشتق جزئی در ریاضی مهندسی چیست؟

یکی از مفاهیم پرکاربرد در ریاضیات مهندسی، مشتق، بخصوص «مشتقات جزئی» (Partial Derivatives) است. این مفهوم، در بهینه‌سازی، مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی، تحلیل تنش-کرنش، حفاظت از انرژی، حل معادلات دیفرانسیل و بسیاری از مسائل مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. مشتقات جزئی، معمولا به منظور تعیین نرخ تغییرات و نقاط اکسترمم (مقادیر حداکثر و یا حداقل) در توابع چندمتغیره به کار می‌روند. برای آشنایی با این روش مشتق‌گیری، به حل یک مثال ساده می‌پردازیم.

مثال ۶: محاسبه مشتق جزئی دوم تابع دومتغیره

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x , y ) = y ^ 2 cos ( x ) – x ^ 3 ln ( y )$$

مشتق جزئی دوم این تابع را نسبت متغیر $$x$$ به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتق جزئی یک تابع چندمتغیره نسبت به یک متغیر مشخص، متغیرهای دیگر را ثابت فرض می‌کنیم. به این ترتیب، داریم:

$$frac { partial f } { partial x } = – y ^ 2 sin (x ) – 3 x ^ 2 ln ( y )$$

اگر از حاصل مشتق جزئی بالا، یک بار دیگر مشتق بگیریم، مشتق جزئی دوم به دست می‌آید:

$$frac { partial ^ 2 f } { partial x ^ 2 } = – y ^ 2 cos (x ) – 6 x ln ( y )$$

معادلات دیفرانسیل جزئی در ریاضی مهندسی چیست؟

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا «معادلات دیفرانسیل جزئی» (Partial Differential Equations | PDEs)، یکی از انواع معادلات دیفرانسیل هستند که در آن‌ها، توابع مجهول بر حسب چند متغیر مستقل و مشتق جزئی توابع نسبت به آن متغیرها نوشته می‌شوند. به عبارت دیگر، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، امکان نمایش رابطه بین توابع چندمتغیره با مشتقات جزئی‌شان را فراهم می‌کند. بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مانند موج، گرما و ولتاژ الکترواستاتیک، توسط معادلات PDE بیان می‌شوند. اگر $$u$$، تابعی از دو متغیر مستقل $$x$$ و $$y$$ باشد:

$$u = u ( x , y )$$

PDE‌ مرتبه اول را به صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$$f ( u _ x , u _ y , x , y ) = 0$$

در معادله بالا، داریم:

$$u _ x = frac { partial u }{ partial x }$$

$$u _ y = frac { partial u }{ partial y }$$

روش‌های مختلفی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وجود دارد که یکی از متداول‌ترین آن‌ها، روش جداسازی متغیرها است. در این روش، امکان به دست آوردن جواب صریح معادلات فراهم می‌شود. در روش جداسازی متغیرها، تابع چندمتغیره $$u$$، به صورت ضرب توابعی از متغیرهای مستقل می‌نویسیم.

$$u = F ( x ) G ( y )$$

سپس، از رابطه بالا به یک معادله دیفرانسیل معمولی می‌رسیم. با حل این معادله، جواب PDE به دست می‌آید. در ادامه، با حل یک مثال، اصول کلی این روش را توضیح می‌دهیم.

مثال ۷: حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

معادله $$u _ x = 2 u _ y + u$$

برای حل معادله مورد سوال، از روش جداسازی متغیرها استفاده می‌کنیم. به این منظور، $$u$$ را به فرم زیر می‌نویسیم:

$$u = F ( x ) G ( y )$$

اکنون، مشتقات جزئی معادله بالا را به دست می‌آوریم. مشتق $$u$$ نسبت به $$x$$ برابر است با:

$$u _ x = frac { partial u }{ partial x }$$

$$u _ x = F _ x G$$

مشتق $$u$$ نسبت به $$y$$ نیز برابر می‌شود با:

$$u _ y = frac { partial u }{ partial y }$$

$$u _ y = F G _ y$$

به این ترتیب، داریم:

$$u _ x = 2 u _ y + u$$

$$F _ x G = 2 F G _ y + F G$$

در این مرحله، طرفین معادله بالا را بر $$F G$$ تقسیم می‌کنیم:

$$frac { F _ x } { F } = 2 frac { G _ y } { G } + 1$$

سمت چپ معادله، تنها به متغیر $$x$$ و سمت راست معادله، تنها به $$y$$‌ وابسته است. بنابراین، می‌توانیم هر طرف معادله را برابر با یک مقدار ثابت مانند $$k$$ قرار دهیم.

$$frac { F _ x } { F } = k$$

$$2 frac { G _ y } { G } + 1 = k$$

اکنون، یک بار سمت راست معادله را برابر $$k$$ قرار داده و یک بار سمت چپ معادله را برابر با $$k$$ قرار می‌دهیم. در حالت اول، داریم:

$$F _ x – k F = 0$$

در حالت دوم نیز داریم:

$$G y + frac { 1 – k }{ 2 } G = 0$$

این دو معادله دیفرانسیل، از نوع معادلات مرتبه اول و خطی هستند. برای معادله اول، معادله مشخصه به صورت زیر نوشته می‌‌‌شود:

$$lambda – K = 0$$

$$lambda = k$$

در نتیجه:

$$F ( x ) = A e ^ { k x }$$

برای معادله دوم، معادله مشخصه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$lambda + frac { 1 – k } { 2 } = 0$$

$$lambda = frac { k – 1 }{ 2 }$$

در نتیجه:

$$G ( y ) = B e ^ {frac { k – 1 }{ 2 } y }$$

به این ترتیب، داریم:

$$u = F ( x ) G ( y )$$

$$u = A e ^ { k x } B e ^ {frac { k – 1 }{ 2 } y }$$

$$u = A B e ^ { k x } e ^ {frac { k – 1 }{ 2 } y }$$

$$A B = A ‘$$

$$u = A ‘ e ^ { k x + frac { k – 1 }{ 2 } y }$$

در نهایت، جواب PDE‌ به دست می‌آید. پارامترهای $$A ‘$$ و $$k$$، با توجه به شرایط مرزی معادله محاسبه می‌شوند.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم در ریاضی مهندسی چیست؟

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم، معادله دیفرانسیلی است که به صورت زیر بیان می‌شود:

$$f left (u _ { x x } , u _ { y y } ,u _ { x y } ,u _ { y } ,u _ { x } , x, y right ) = 0$$

بسیاری از معادلات پرکاربرد در دنیای مهندسی، از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم هستند. برخی از مهم‌ترین و شناخته شده‌ترین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم در جدول زیر آورده شده‌اند.

نام معادله	رابطه ریاضی معادله
معادله موج یک‌بعدی	$$u _ { tt } = C ^ 2 u _ { x x }$$
معادله گرما یک‌بعدی	$$u _ { t } = C ^ 2 u _ { x x }$$
معادله پتانسیل یک‌بعدی	$$nabla ^ { 2 } u = u _ { x x } + u _ { y y } = g ( x, y )$$
معادله لاپلاس یا پواسون دوبعدی	$$nabla ^ { 2 } u = u _ { x x } + u _ { y y } = 0$$
معادله شرودینگر	$$i u _ t = u _ { x x } + F ( x , t ) u$$

حل دالامبر، یکی از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که برای مسائل مربوط به معادله موج یک‌بعدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

بهترین مسیر یادگیری ریاضی مهندسی چیست؟

یادگیری ریاضیات مهندسی و تسلط بر روی حل مسائل آن، یکی از چالش‌های دانشجویان و فارغ‌التحصیلان رشته‌های مهندسی است. بهترین مسیر برای یادگیری هر علمی، شروع از مفاهیم پایه و تسلط بر روی پیش‌نیازهای آن علم است. در دانشگاه، دروس ریاضی عمومی ۲ و معادلات دیفرانسیل، به عنوان پیش‌نیازهای درس ریاضیات مهندسی معرفی می‌شوند. به عبارت دیگر، دانشجویانی که موفق به قبولی در این دو درس نشده باشند، به احتمال زیاد در یادگیری مفاهیم ارائه شده در درس ریاضی مهندسی مشکل خواهند داشت. بنابراین، برای شروع قوی، بهتر است بر روی تقویت مهارت خود بر روی دروس ریاضی عمومی ۲ و معادلات دیفرانسیل تمرکز کنید. فرادرس، مجموعه‌ای از فیلم‌های آموزشی جامع و مفید را در این زمینه تهیه کرده است. لینک مشاهده این فیلم‌های آموزشی را در ادامه آورده‌ایم:

در قدم بعدی، باید به سراغ یادگیری اصولی مفاهیم اولیه و اصلی ریاضیات مهندسی بروید و با حل مثال و تمرین‌های متعدد، مهارت خود را در زمینه ارتقا دهید. فرادرس، فیلم‌های آموزشی مفید و کاربردی زیادی را در این زمینه تهیه کرده است که لینک مشاهده برخی از پرطرفدارترین آن‌ها را ادامه آورده‌ایم:

پس از تسلط بر روی مباحث اصلی ریاضیات مهندسی در سطح کارشناسی، امکان یادگیری مباحث پیشرفته آن در مقاطع بالاتر فراهم می‌شود. فیلم آموزشی زیر، منبع بسیاری خوبی برای آشنایی با مباحث پیشرفته ریاضی مهندسی است:

اگر این مسیر را به درستی طی کنید، نه تنها در یادگیری ریاضی مهندسی، بلکه در یادگیری درس‌های تخصصی وابسته به آن نیز موفق می‌شوید. به عنوان مثال، دانشجویان مهندسی برق، برای یادگیری درس سیگنال‌ها و سیستم‌ها، به تسلط بر روی مباحث ریاضی مهندسی نیاز دارند.

در ادامه و در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، در مورد تابع مختلط و برخی از فرمول‌های پرکاربرد آنالیز مختلط در ریاضیات مهندسی می‌پردازیم.

تابع مختلط در ریاضی مهندسی چیست؟

از مفاهیم پرکاربرد در ریاضیات مهندسی می‌توان به اعداد و توابع مختلط اشاره کرد. مجموعه اعداد مختلط، به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$C = { x + i y | x , y in R , i ^ 2 = – 1 }$$

$$x$$، قسمت حقیقی و $$y$$، قسمت موهومی عدد مختلط را نمایش می‌دهد. برای حل مسائل حاوی توابع مختلط، باید با انجام عملیات ریاضی بر روی اعداد مختلط آشنا باشید. جدول، زیر برخی از این عملیات‌ها را به طور خلاصه ارائه می‌کند.

عملیات ریاضی	اعداد مختلط	فرمول
جمع	$$begin {aligned} & z = a + b i \ & w = c + d iend {aligned}$$	$$z + w = ( a + c ) + (b + d ) i$$
تفریق	$$begin {aligned} & z = a + b i \ & w = c + d iend {aligned}$$	$$z – w = ( a – c ) + (b – d ) i$$
ضرب	$$begin {aligned} & z = a + b i \ & w = c + d iend {aligned}$$	$$z cdot w = ( a c – b d ) + (a d + b c ) i$$
مزدوج	$$z = x + y i$$	$$bar { z } = x – i y$$
مدول	$$z = x + y i$$	$$| z | = sqrt { x ^ 2 + y ^ 2 }$$
تقسیم	$$begin {aligned} & z = a + b i \ & w = c + d iend {aligned}$$	$$frac { z } { w } = frac { z } { w } times frac { bar { w } } { bar { w } } = frac { bar { w } } { | w | ^ 2 }$$

برای نمایش اعداد مختلط می‌توان محور $$x$$ها را محور حقیقی، محور $$y$$ها را محور موهومی و بردار رسم شده از مبدا مختصات به نقطه $$( x , y )$$ را بردار $$z$$ در نظر گرفت.

فرم قطبی اعداد مختلط در ریاضی مهندسی چیست؟

فرم قطبی اعداد مختلط به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$z = r left ( cos theta + i sin theta right )$$

در این رابطه، بخش‌های حقیقی و موهومی عبارت هستند از:

$$x = r cos theta$$

$$y = r sin theta$$

$$r$$، بردار رسم شده از مبدا مختصات تا $$( x , y )$$ بوده و $$theta$$، زاویه بین این بردار و محور $$x$$ها است. به رابطه زیر، رابطه اویلر می‌گویند:

 $$cos theta + i sin theta = e ^ { i theta }$$

$$z = r e ^ { i theta }$$

توان و ریشه اعداد مختلط در ریاضی مهندسی چیست؟

قواعد و اصول خاصی برای محاسبه توان و ریشه اعداد مختلط در ریاضیات وجود دارد. برای محاسبه توان یک عدد مختلط، ابتدا باید فرم قطبی آن را بنویسیم. سپس، فرم قطبی عدد مختلط را به توان برسانیم. به عنوان مثال، یک تابع مختلط مانند $$z$$ را در نظر بگیرید که:

$$z = sqrt { 2 } e ^ { i frac { pi } { 4 } }$$

اگر بخواهیم $$z ^ { 100 }$$ را به دست بیاوریم، می‌نویسیم:

$$begin {align*} z ^ { 100 } & = left ( sqrt { 2 } e ^ { i frac { pi }{ 4 } } right ) ^ { 100 } \ & = 2 ^ { 50 } e ^ { 25 pi i } \ & = 2 ^ { 50 } left ( cos 25 pi + i sin 25 pi right ) \ & = – 2 ^ { 50 }end {align*}$$

ریشه‌های یک عدد مختلط از رابطه زیر به دست می‌آیند:

$${ a _ k } = sqrt [ n ] { { { r _ 0 } } } e ^ { { i left ( { frac { { { theta _ 0 } } } { n } + frac { { 2 pi k } } { n } } right ) } } k = 0, 1, 2, ldots ,n – 1$$

فرم قطبی رابطه بالا به صورت زیر نوشته می‌شود:

$${ a _ k } = sqrt [ n ] { { { r _ 0 } } } left ( cos frac {2 k pi + theta }{ n } + i sin frac {2 k pi + theta }{ n } right ) k = 0, 1, 2, ldots ,n – 1$$

به این ترتیب، برای ریشه $$n$$ام یک عدد مختلط داریم:

$$a,,,a{omega _n},,,aomega _n^2,, ldots ,,,,aomega _n^{n – 1}$$

در روابط بالا، $$omega _ n$$

$$omega _ n = e ^ { i frac { 2 pi } { n }}$$

مثال ۸: تعیین ریشه عدد مختلط

با فرض $$z = i$$

برای شروع، ابتدا فرم قطبی عدد مختلط $$z = i$$

$$z = cos frac { pi } { 2 } + i sin frac { pi } { 2 }$$

با توجه به فرمول ریشه‌های عدد مختلط، داریم:

$${ a _ k } = sqrt [ n ] { { { r _ 0 } } } left ( cos frac {2 k pi + theta }{ n } + i sin frac {2 k pi + theta }{ n } right ) k = 0, 1, 2, ldots ,n – 1$$

اکنون به جای $$k$$، اعداد ۰ تا ۲ را قرار می‌دهیم:

$$k = 0 to { a _ 0 } = sqrt [ 3 ] z = left ( cos frac {frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } + i sin frac {frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } right ) = cos frac { pi } { 6 } + i sin frac { pi } { 6 } = frac { sqrt { 3 } } { 2 } + i frac { 1 } { 2 }$$

$$k = 1 to { a _ 1 } = sqrt [ 3 ] z = left ( cos frac {2 pi + frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } + i sin frac { 2 pi + frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } right ) = cos frac { 5 pi } { 6 } + i sin frac { 5 pi } { 6 } = – frac { sqrt { 3 } } { 2 } + i frac { 1 } { 2 }$$

$$k = 2 to { a _ 2 } = sqrt [ 3 ] z = left ( cos frac {4 pi + frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } + i sin frac { 4 pi + frac{ pi }{ 2 }}{ 3 } right ) = cos frac { 3 pi } { 2 } + i sin frac { 3 pi } { 2 } = – i$$

معادلات کوشی-ریمان در ریاضی مهندسی چیست؟

«معادلات کوشی-ریمان» (Cauchy–Riemann Equations)، دو معادله مشتق جزئی هستند که شرط لازم (نه کافی) برای هولومورفیک بودن تابع را فراهم می‌کنند. تابع مختلط زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( z ) = u + i v$$

معادلات کوشی-ریمان برای تابع بالا به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$frac { partial u } { partial x } = frac { partial v } { partial y }$$

$$frac { partial v } { partial x } = – frac { partial u } { partial y }$$

به عبارت دیگر، اگر مشتقات جزئی بخش‌های حقیقی و موهومی تابع مختلط، با هم برابر باشند، در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند. مشتق تابع $$f ( z )$$ برابر است با:

$$f ‘ ( z ) = frac { partial u } { partial x } + i frac { partial v } { partial x } = frac { partial v } { partial y } – i frac { partial u } { partial y }$$

انتگرال توابع مختلط در ریاضی مهندسی چیست؟

روش‌های مختلفی برای محاسبه انتگرال مختلط وجود دارند که از متداول‌ترین آن‌ها می‌توان به روش پارامترسازی، قضیه کوشی-گورسا، روش مستقل از مسیر و قضیه انتگرال کوشی اشاره کرد. به طور کلی، اگر $$f ( z )$$، تابعی پیوسته و مختلط باشد، انتگرال آن در طول مسیر $$C$$ (مسیر قرارگرفته در صفحه مختلط) برابر می‌شود با:

$$int _ C f ( z ) d z = int _ C ( u + i v ) ( d x + i d y )$$

$$f ( z ) = u + i v$$

$$d x = d x + d y$$

$$int _ C f ( z ) d z = int _ C ( u d x – v d y ) + i int _ C ( v d x + u d y )$$

مثال ۹: محاسبه انتگرال مختلط

انتگرال مختلط $$int _ C z ^ 2 d z$$

تابع $$f ( z )$$ را می‌توانیم به صورت زیر نمایش دهیم:

$$f ( z ) = z ( 1 + i ) 0 le z le 1$$

به این ترتیب، مشتق $$f ( z )$$ برابر می‌شود با:

$$f ‘ ( z ) = 1 + i dz$$

با توجه به انتگرال خواسته شده در صورت سوال، داریم:

$$int z ^ 2 d z = int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ 2 (1 + i) ^ 2 (1 + i) d t = dfrac { 2 i (1 + i) } { 3 }$$

اگر می‌خواهید بر روی حل مسائل ریاضی مهندسی، بخصوص سوالات کنکور مسلط شوید، مشاهده «فیلم آموزش ریاضیات مهندسی به همراه حل سوالات کنکور ارشد و دکتری فرادرس» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. لینک مشاهده این فیلم در ادامه آورده شده است.

دیگر مفاهیم مهم آنالیز مختلط در ریاضی مهندسی

در این بخش، با برخی از مهم‌ترین مفاهیم مرتبط با آنالیز مختلط در ریاضیات مهندسی آشنا شدید. برخی دیگر از مفاهیم پرکاربرد در این حوزه عبارت هستند از: