ابتدا رقم دهگان $$68$$ را بر $$2$$ تقسیم می‌کنیم. حاصل تقسیم $$6$$ بر $$2$$ برابر است با $$3$$. پس عدد $$3$$ را زیر علامت تقسیم می‌نویسم. سپس این عدد را در $$2$$ ضرب می‌کنیم که می شود $$6$$. $$6$$ را از $$6$$ به‌عنوان دهگان عدد $$68$$کم می‌کنیم. حاصل می‌شود $$0$$. این فرآیند تفریق را زیر عدد $$68$$ مانند آنچه که در بخش تفریق توضیح دادیم، زیر هم می‌نویسیم. در مرحله بعد رقم یکان $$68$$ یعنی $$8$$ را در کنار پاسخ تفریق بخش قبل یعنی $$0$$ درج می‌کنیم.

مباحث درس ریاضی متوسطه اول و دوم

ریاضیات علم مطالعه اعداد، مقادیر، اشکال، ساختارها، الگوها و روابطی است که بین اجزای مختلف هر کدام از این موارد وجود دارد. عمده مطالعات ریاضی اختصاص دارد به پیدا کردن روابط منطقی بین اجزای مختلف، فرمول‌بندی کردن این روابط و رسیدن به یک دیدگاه سیستماتیک جهت مدل‌سازی، شبیه‌سازی و حل مسائل در زندگی واقعی. به همین دلیل یادگیری ریاضیات زیربنا و اساس یادگیری بهتر علومی مانند فیزیک به‌شمار می‌رود و در رشته‌های متنوعی از جمله علوم مهندسی، اقتصاد و علوم کامپیوتر کاربرد دارد.

در بخش‌های قبل با اصول یادگیری درس ریاضی و مبانی اولیه آن که شامل چهار عمل اصلی است، آشنا شدیم. در این بخش می‌خواهیم کمی فراتر رفته و برای علاقه‌مندان توضیح دهیم موضوعات مختلف درس ریاضی در دوره اول و دوم متوسطه چیست. با توجه به اینکه هدف ما در این بخش تنها معرفی مباحث درس ریاضی است، بنابراین در هر قسمت چند مطلب مرتبط از مجله فرادرس برای شما قرار داده شده است تا با مراجعه به این مقالات بتوانید با جزئیات بیشتری این مباحث را یاد بگیرید. مباحث درس ریاضی دوره‌های اول و دوم متوسطه با توجه به سرفصل‌‌ کتاب‌های درسی، به شکل زیر طبقه‌بندی و معرفی خواهند شد:

• مباحث درس ریاضی پایه هفتم و هشتم
• مباحث درس ریاضی پایه نهم و دهم
• مباحث درس ریاضی پایه یازدهم و دوازدهم

مباحث درس ریاضی پایه هفتم و هشتم

درس ریاضی پایه هفتم شامل مباحث زیر است:

• راهبردهای حل مسئله
• اعداد صحیح
• جبر و معادله
• هندسه و استدلال
• شمارنده‌ها و اعداد اول
• سطح و حجم
• توان و جذر
• بردار و مختصات
• آمار و احتمال

همچنین در کتاب درسی ریاضی پایه هشتم موضوعات زیر توضیح داده می‌شود:

• اعداد صحیح و گویا
• اعداد اول
• چند‌ضلعی‌ها
• جبر و معادله
• بردار و مختصات
• مثلث
• توان و جذر
• آمار و احتمال
• دایره

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، بسیاری از این مباحث با هم مشترک هستند. البته مباحث مشترک در درس ریاضی هفتم شامل اصول و تعاریف اولیه هستند و در ریاضی هشتم، همین موضوعات در سطوح پیشرفته‌تر بررسی می‌شوند. به همین جهت، در ادامه تیترهای مشابه را با در نظر گرفتن تمام مباحث مطرح شده در کتاب ریاضی هفتم و هشتم به‌طور کامل توضیح داد‌ه‌ایم.

راهبردهای حل مسئله

فرآیند حل یک مسئله در درس ریاضی را می‌توانیم به ترتیب زیر پیش ببریم:

1. درک صورت مسئله
2. حل مسئله
3. چک درستی راه‌حل و پاسخ به‌دست آمده

در زمینه درک مسئله، اولین قدم این است که صورت سوال را به دقت بخوانیم و دقیقا مشخص کنیم که به دنبال محاسبه یا اثبات چه چیزی هستیم. در این بخش می‌توانید با هایلایت کردن بخش‌‌های مهم در صورت سوال یا تقسیم‌بندی کردن داده‌هایی که در صورت سوال در اختیار شما قرار داده شده است، حل مسئله را برای خود آسان‌تر کنید. در مرحله بعد، برای حل مسئله و پیدا کردن راه‌حل مناسب می‌توانید از تکنیک‌هایی نظیر رسم شکل، جدول یا نمودار استفاده کنید.

در برخی از مسائل درس ریاضی لازم است به دنبال پیدا کردن یک الگوی منطقی باشید. همچنین با تشخیص حوزه سوال و نوشتن فرمول‌هایی که در آن زمینه وجود دارد، ممکن است بتوانید راه‌حل را سریع‌تر حدس بزنید. برای مثال، در حل مسائل مربوط به محاسبه حجم یا مساحت اشکال هندسی، با توجه به نام شکل در صورت سوال و نوشتن فرمول مساحت، مساحت جانبی یا حجم آن مقطع، اگر داده‌های سوال را به تفکیک یادداشت کرده باشید، بلافصله می‌توانید تشخیص دهید برای پیدا کردن پاسخ ابتدا باید چه کمیتی را به‌دست آورید. در نهایت، در برخی از سوالات پس از محاسبه پاسخ، می‌توانید با معکوس کردن راه‌حل درستی روش و پاسخ خود را چک کنید.

اعداد صحیح

اعداد صحیح به مجموعه‌ای از اعداد گفته می‌شود که شامل اعداد مثبت، اعداد منفی و صفر می‌شود. اعداد صحیح منفی همان قرینه اعداد صحیح مثبت هستند، به این معنا که اعدادی دقیقا مشابه با اعداد مثبت هستند و فقط یک علامت منفی به شکل ($$–$$) در سمت چپ خود دارند. برای مثال، قرینه $$+20$$ برابر است با $$-20$$ و قرینه قرینه $$+3$$ می‌شود $$+3$$.

نکته مهمی که در تشخیص اعداد صحیح باید در نظر گرفته شود این است که اعداد کسری و اعداد اعشاری جزء اعداد صحیح نیستند. پس مجموعه اعداد صحیح شامل سه گروه اعداد زیر می‌شوند:

نکته: مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد صحیح است.

همان‌طور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید، اعداد مثبت یا اعدادی که در سمت راست این محور قرار می‌گیرند، همواره از اعداد سمت چپ یا اعداد منفی و صفر بزرگتر هستند. مکان قرارگیری عدد صفر مبدا محور نامیده می‌شود. اعداد منفی همگی در سمت چپ صفر قرار می‌گیرند. به این ترتیب مجموعه اعداد صحیح را می‌توانیم با نماد $$Z$$ و به شکل زیر داخل دو علامت آکولاد توصیف کنیم:

$$left{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …right}$$

نکته مهم دیگری که در مورد اعداد صحیح وجود دارد قواعد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها است که با توجه به علامت منفی در مورد اعداد منفی، با قواعد چهار عمل اصلی در مورد اعداد مثبت که قبلا توضیح دادیم، متفاوت است. در ادامه به اختصار این قواعد را با مثال توضیح می‌دهیم.

قواعد جمع اعداد صحیح

قواعد جمع اعداد صحیح در دو حالت زیر بررسی می‌شود:

1. اگر دو عدد صحیح دارای علامت یکسانی باشند.
2. اگر دو عدد علامت متفاوتی داشته باشند.

حالت اول یعنی در حالتی که هر دو عدد مثبت یا منفی باشند. در این صورت، ابتدا باید اعداد را بدون در نظر گرفتن علامت، با هم جمع کنیم. سپس اگر هر دو علامت مثبت داشته باشند، علامت حاصل‌جمع هم مثبت است و اگر هر دو علامت منفی داشته‌ باشند، علامت پاسخ نیز منفی خواهد بود. در حالت دوم، ابتدا اختلاف دو عدد را به‌دست می‌آوریم (بدون در نظر گرفتن علامت‌ها، عدد بزرگتر از عدد کوچکتر کم می‌شود). اگر علامت عدد بزرگتر مثبت باشد، پاسخ نیز مثبت است. در غیر این صورت، علامت حاصل‌جمع منفی خواهد بود.

نکته: اعداد مثبت را می‌توانیم با قرار دادن علامت مثبت قبل از عدد یا بدون قرار دادن هیچ علامتی مشخص کنیم. پس قرار دادن علامت مثبت قبل از یک عدد مثبت اجباری نیست.

برای مثال، می‌خواهیم حاصل‌جمع دو عدد $$+5$$ و $$-10$$ را با تعیین مکان قرارگیری این اعداد روی محور اعداد صحیح به‌دست آوریم. عدد $$+5$$ یک عدد مثبت است که به اندازه پنج واحد به سمت راست و با در نظر گرفتن صفر به‌عنوان مبدا، روی محور مشخص می‌شود:

عدد بعدی $$-10$$ است که برای مشخص کردن مکان آن روی محور اعداد، کافی است ده واحد در جهت منفی یا به سمت چپ عدد $$+5$$ پیش برویم. به این ترتیب، مشخص است که با جمع کردن این دو عدد در نهایت $$-5$$ باقی می‌ماند. پاسخ این روش با پاسخ روشی که بالاتر بیان شد، کاملا یکسان خواهد شد.

قواعد تفریق اعداد صحیح

قواعد محاسبه اختلاف اعداد صحیح به این صورت است:

1. ابتدا لازم است عمیلات تفریق را به جمع تبدیل کنیم.
2. سپس دقیقا با قواعدی که برای جمع اعداد صحیح بیان شد، پیش می‌رویم.

برای نمونه، فرض کنید می‌خواهید حاصل تفریق $$7-10$$

$$7+ (-10)$$

نکته: منفی در مثبت یا مثبت در منفی همیشه با منفی برابر است.

با توجه به نکته‌ای که بیان شد، به‌جای منفی، از مثبت در منفی استفاده کردیم. حالا علامت منفی متعلق به عدد دوم است و مجموع یک عدد مثبت و منفی را باید پیدا کنیم. طبق قواعد جمع دو عدد صحیح، چون دو عدد مختلف العلامت داریم، باید عدد کوچک از عدد بزرگ کم شود و در انتها علامت عدد بزرگتر (که منفی است) در کنار پاسخ قرار داده شود:

$$7+ (-10) = -3$$

قواعد ضرب اعداد صحیح

برای اینکه ضرب اعداد صحیح را سریع انجام دهید، کافی است جدول زیر را در این زمینه به‌خاطر بسپارید:

قواعد تقسیم اعداد صحیح

در آخرین بخش از مبحث اعداد صحیح در درس ریاضی، برای اینکه تقسیم اعداد صحیح را به‌راحتی انجام دهید، کافی است در جدول بخش قبل عملگر تقسیم ($$div$$) را با ضرب ($$times$$) جایگزین کنید. به این ترتیب تقسیم اعداد صحیح مانند تقسیم اعداد طبیعی انجام می‌شود و در انتها علامت پاسخ با توجه به جدول تعیین خواهد شد.

اعداد گویا

مجموعه اعداد گویا به کلیه اعداد کسری گفته می‌شود که در حالت کلی با تقسیم یک عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر تولید می‌شوند، با این شرط که مخرج نباید صفر شود. برای مثال، $$frac{1}{2}$$

نکته: مجموعه اعداد صحیح و در نتیجه مجموعه اعداد طبیعی هر دو زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد گویا هستند.

شکل‌های زیر به‌خوبی تفاوت اعداد صحیح و گویا را نشان می‌دهند. $$0$$ و $$1$$ دو عدد صحیح روی محور اعداد هستند که بین آن‌ها هیچ عدد صحیح دیگری وجود ندارد.

اما اگر بخواهیم تمام اعداد گویا بین این دو عدد صحیح را در نظر بگیریم، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد که در شکل زیر تنها چهار عدد از این تعداد بی‌نهایت روی محور اعداد نمایش داده شده است:

برای اینکه بتوانیم اعداد گویا یا کسری را با هم جمع کرده، از هم کم کنیم یا ضرب و تقسیم این نوع اعداد را انجام دهیم، قواعد و روش‌های خاصی وجود دارد که در بخش بعد آن‌ها را توضیح می‌دهیم.

جمع و تفریق اعداد گویا

برای اینکه بتوانیم دو عدد گویا یا دو کسر را با هم جمع یا از هم کم کنیم، اولین نکته مهم این است که باید مخرج‌های دو کسر با هم یکی باشند. برای مثال، در عبارت زیر مخرج‌ها با هم برابر هستند و اگر بخواهیم این تفریق را انجام دهیم، پاسخ شامل مخرجی برابر با مخرج هر یک از دو کسر و صورتی برابر با حاصل تفریق صورت‌های دو کسر است:

$$frac{4}{7}-frac{6}{7}=frac{4-6}{7}=frac{-2}{7}$$

اما اگر بخواهیم حاصل عبارت زیر را که مخرج‌های مختلفی دارد، به‌دست آوریم، چگونه باید عمل کنیم؟

$$frac{3}{4}+frac{1}{2}=?$$

در این موارد که مخرج کسرها با هم برابر نیست، باید مخرج مشترک بگیریم تا مخرج‌ها یکسان شوند. در بخش بعد این روش را توضیح خواهیم داد.

مخرج مشترک

روش پیدا کردن مخرج مشترک به این صورت است که ابتدا باید مضرب‌های هر دو مخرج را لیست کنیم. در بخش «شمارنده‌ها و اعداد اول» توضیح خواهیم داد که منظور ما از مضرب‌های یک عدد چیست. دقت کنید نیازی نیست تمام مضرب‌های این دو عدد را بنویسیم و برای مثال، نوشتن چهار یا پنچ مضرب اول کافی است:

$$frac{3}{4}+frac{1}{2}=?$$

$$4:4,8,12,16$$

$$2:2,4,6,8$$

اگر مضرب‌های این دو مخرج را با هم مقایسه کنیم، مشخص است که اولین مضرب مشترک عدد $$4$$ است. پس این عدد مخرج مشترک ما در این مثال است. حالا باید ببینیم مخرج‌ها در سوال بالا در چه عددی ضرب شوند تا به مخرج مشترک $$4$$ برسیم. پس از یافتن این عدد، لازم است صورت و مخرج آن کسر در این عدد ضرب شوند. برای نمونه، مخرج کسر $$frac{3}{4}$$

$$frac{3times1}{4times1}+frac{1times2}{2times2}=frac{3}{4}+frac{2}{4}$$

حالا به دو کسر با مخرج یکسان رسیدیم. کافی است مخرج مشترک را به‌عنوان مخرج پاسخ قرار داده و صورت‌ کسرها را با هم جمع کنیم تا حاصل‌جمع این دو کسر محاسبه شود:

$$frac{3}{4}+frac{2}{4}=frac{2+3}{4}=frac{5}{4}$$

ضرب و تقسیم اعداد گویا

پس از اینکه جمع و تفریق اعداد گویا در درس ریاضی را فراگرفتیم، نوبت به یادگیری ضرب و تقسیم این اعداد می‌رسد. حاصل‌ضرب اعداد گویا یا ضرب کسرها کسری است که صورت آن برابر است با حاصل‌ضرب صورت کسرها و مخرج آن نیز برابر است با حاصل‌ضرب مخرج کسرها:

$$frac{a}{b}timesfrac{c}{d}=frac{atimes c}{btimes d}$$

طبق این قاعده، حاصل‌ضرب دو کسر $$frac{6}{11}$$

$$frac{6}{11}timesfrac{-2}{3}=frac{6times( -2)}{11times 3}=frac{-12}{33}$$

پیدا کردن حاصل‌ تقسیم کسرها با دانستن این نکته که عملیات تقسیم عکس عملیات ضرب است، آسان می‌شود. کافی است دومین کسر را معکوس کنیم و با تبدیل تقسیم به ضرب، حاصل را محاسبه کنیم. معکوس کردن یک کسر به معنای جابجایی صورت و مخرج آن است. در حالت کلی اگر دو کسر به‌صورت $$frac{a}{b}$$

$$frac{a}{b} div frac{c}{d} = frac{a}{b} times( frac{c}{d})^{-1} =frac{a}{b} times frac{d}{c} = frac{a times d}{b times c}$$

نکته: صفر تنها عددی است که معکوس ندارد، چون کسری که مخرج آن صفر باشد در ریاضیات تعریف نشده است.

برای مثال، حاصل $$frac{frac{-6}{11}}{frac{5}{7}}$$

$$frac{frac{-6}{11}}{frac{5}{7}} =frac{-6}{11}timesfrac{7}{5} =frac{-42}{55}$$

نمایش اعشاری کسرها

اعداد گویا را می‌توانیم به شکل اعداد اعشاری یا اعداد مخلوط نمایش دهیم. در این بخش نمایش اعشاری کسرها یا اعداد گویا را بررسی می‌کنیم. در بخش بعد به نمایش عدد مخلوط برای کسرها خواهیم پرداخت. برای اینکه کسری را به شکل  یک عدد اعشاری بنویسیم، کافی است صورت آن را به مخرج تقسیم کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم کسر $$frac{1}{5}$$

$$frac{1}{5} =0.2$$

حاصل این تقسیم، یک عدد اعشاری شد که رقم اعشار آن تکرار ندارد. اما در تبدیل کسر $$frac{1}{3}$$

$$frac{1}{3} = 0.333333… = -0.bar{3}$$

$$2.3 = frac{23}{10}$$

عدد مخلوط و تبدیل آن به کسر

می‌توانیم اعداد گویا یا کسرها را در قالب یک عدد مخلوط نمایش دهیم. عدد مخلوط عددی است که شامل یک عدد کامل مانند $$1$$ یا $$3$$ یا $$6$$ و … می‌شود که در کنار یک جزء کسری قرار گرفته است. برای مثال، فرض کنید یک پیتزای کامل به همراه پیتزای دیگری که یک اسلایس از آن کم شده است، در اختیار دارید. عدد مخلوط معادل با این دو پیتزا به شکل زیر است:

$$1frac{3}{4}$$

این عدد به‌صورت «یک و سه چهارم» خوانده می‌شود. اگر بخواهیم معادل کسری این عدد مخلوط را بنویسیم، به شکل زیر پیش می‌رویم:

$$1frac{3}{4} = frac{4}{4} +frac{3}{4} =frac{7}{4}$$

دقت کنید به‌جای عدد کامل $$1$$ از کسر $$frac{4}{4}$$

$$2 frac{1}{9} =frac{(2times9)+1}{9}= frac{19}{9}$$

نکته ۱: هرگاه صورت و مخرج کسری با هم برابر باشند، آن کسر همواره با عدد یک برابر است ($$frac{a}{a} = 1$$

نکته ۲: در صورتی می‌توانیم یک کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم که صورت آن از مخرج‌اش بزرگتر باشد.

عکس فرآیند بالا، یعنی تبدیل کسر به عدد مخلوط نیز امکان‌پذیر است. با توجه به نکته دوم، اگر صورت کسری از مخرج آن بزرگتر باشد، می‌توانیم آن کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم. کافی است ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کنیم. خارج قسمت این تقسیم برابر است با عدد کامل در عدد مخلوط و باقی‌مانده این تقسیم برابر است با صورت بخش کسری در عدد مخلوط. مخرج کسر در عدد مخلوط نیز همان مخرج کسر داده شده است.

برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم کسر $$frac{10}{3}$$

$$frac{10}{3} =3 frac{1}{3}$$

جمع و تفریق اعداد مخلوط

برای به‌دست آوردن حاصل جمع دو عدد مخلوط، کافی است ابتدا عملیات موردنظر را روی بخش کامل این اعداد اجرا کنیم و سپس روی کسرها. برای مثال، اگر بخواهیم $$2frac{3}{4}$$

$$‌2+3=5$$

دو بخش کسری نیز پس از یافتن مخرج مشترک، با هم جمع می‌شوند:

$$frac{3}{4} +frac{1}{2}=frac{3times1}{4times1}+frac{1times2}{2times2}=frac{3}{4} +frac{2}{4}=frac{5}{4}$$

بنابراین حاصل این جمع تا اینجا برابر شد با $$5frac{5}{4}$$

$$frac{5}{4} =1frac{1}{4}$$

$$Rightarrow 5frac{5}{4} =6frac{1}{4}$$

برای جمع اعداد مخلوط می‌توانیم ابتدا هر دو عدد را به کسر تبدیل کنیم و سپس کسرهای معادل را با هم جمع کنیم. تفریق اعداد مختلط نیز کاملا به همین شکل انجام می‌شود، با این تفاوت که اعداد کامل و صورت‌ کسرها از هم کم می‌شوند.

ضرب و تقسیم اعداد مخلوط

در بخش‌های قبل ضرب کسرها در درس ریاضی را یاد گرفتیم. ضرب و تقسیم دو عدد مخلوط با تبدیل اعداد مخلوط به کسر و سپس پیروی از قواعد گفته شده، انجام می‌شود. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم $$3frac{4}{5}$$

$$3frac{4}{5} = frac{(3times5) +4}{5} =frac{19}{5}$$

حالا می‌توانیم تقسیم کسر به‌دست آمده بر عدد صحیح $$-4$$ را انجام دهیم. همان‌طور که در تعریف اعداد گویا اشاره شد، تمام اعداد صحیح جزء اعداد گویا هستند. پس با نوشتن $$-4$$ به‌ شکل یک کسر متعارفی ($$frac{-4}{1}$$

$$frac{19}{5}div frac{-4}{1}=frac{19}{5}times frac{1}{-4}=frac{19}{-20}=frac{-19}{20}$$

سایر مباحث مرتبط با اعداد گویا و کسرها

در این قسمت سایر مطالب مرتبط با اعداد گویا و کسرهای متعارفی در مجله فرادرس را برای شما لیست کرده‌ایم:

1. مقایسه کسرها – آموزش ریاضی به زبان ساده + مثال و تمرین
2. ساده کردن کسر ها – به زبان ساده + سوال با جواب
3. کسر تلسکوپی – روش حل به زبان ساده + مثال و تمرین
4. تجزیه کسر – به زبان ساده
5. کسر مسلسل – به زبان ساده

جبر و معادله

سومین موضوعی که در درس ریاضی پایه هفتم مطرح می‌شود، جبر و معادله است. معادله در ریاضیات به معنای برابری دو عبارت جبری است. عبارت جبری به مجموعه‌ای از جملات گفته می‌شود که با علامت‌های جمع یا تفریق به هم مربوط شده‌اند. برای مثال، $$4x+5y-10$$

به تعریف معادله بازمی‌گردیم. هر معادله توصیف کننده تساوی بین دو عبارت جبری است که در دو طرف علامت تساوی یا $$=$$ نوشته شده‌اند. حل کردن معادله، به معنای پیدا کردن مقدار عددی متغیری است که در آن معادله وجود دارد. اولین قدم برای حل معادله این است که معادله را تشخیص دهید. در این زمینه، به جدول زیر دقت کنید:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، دومین ردیف جدول بالا یک معادله نیست. چون در آن علامت تساوی بین دو عبارت جبری دیده نمی‌شود. اما ردیف سوم یک معادله است، با اینکه در آن هیچ متغیری دیده نمی‌شود، اما برابری دو طرف درست است. پس شرط داشتن معادله این است که بین دو عبارت جبری شامل اعداد به‌تنهایی یا اعداد و متغیرها، حتما علامت تساوی داشته باشیم.

تجزیه عبارت‌ های جبری

در بخش قبل تا حدی یاد گرفتیم یک عبارت جبری چیست. در این قسمت یاد می‌گیریم چگونه می‌توان عبارت‌های جبری را ساده کرد. فرآیند ساده‌ کردن یا تجزیه عبارت‌های جبری به معنای بازنویسی این عبارت‌ها است، طوری که در نهایت هیچ جمله مشابهی وجود نداشته باشد و توانسته باشیم عبارت جبری اولیه را کوتاه‌تر کرده باشیم. روش‌های مختلفی برای تجزیه عبارت‌های جبری وجود دارد، اما به طور کلی با رعایت مراحل زیر می‌توانیم تجزیه عبارت‌های جبری را بهتر انجام دهیم:

1. ابتدا جملات داخل پرانتز را با جمع یا تفریق کردن جملات مشابه ساده کنید.
2. سپس عوامل خارج از پرانتز را که در آن ضرب شده‌اند، در تک تک جملات داخل پرانتز ضرب کنید.

به مثال زیر در این زمینه توجه کنید:

 $$2x(x+y) = 2x^2+2xy$$

این مثال عددی نمونه‌ای از کاربرد یک ویژگی مهم در عبارت‌های جبری به نام خاصیت توزیع‌پذیری است. طبق خاصیت توزیع‌پذیری همواره داریم:

$$a(b+c) =ab+ac$$

عکس این فرآیند یعنی تبدیل جمع بالا به یک ضرب نیز جزئی از عملیات تجزیه است.

اجزای یک معادله چه هستند؟

بخش‌های مختلفی که یک معادله می‌تواند داشته باشد، عبارت‌اند از:

• ضرایب
• متغیرها
• عملگرها
• ثابت‌ها
• جملات
• عبارت‌‌ها
• علامت تساوی

انواع معادلات

با توجه به درجه یا توان متغیرهایی که در عبارت‌‌های جبری یک معادله دیده می‌شوند، می‌توانیم انواع معادلات را به‌صورت زیر دسته‌بندی کنیم:

• معادلات خطی
• معادلات درجه دو
• معادلات درجه سه

دسته‌بندی و تشخیص نوع معادلات از این جهت اهمیت دارد که روش حل انواع معادلات با هم متفاوت است. در نتیجه، می‌توانیم روش درست حل هر معادله را به‌راحتی انتخاب کنیم.

معادله خطی

هر معادله‌ای که در آن بیشترین توان متغیر‌های موجود در معادله برابر با عدد یک باشد، یک معادله درجه اول یا خطی است. معادلات خطی را با توجه به تعداد متغیرهایی که دارند، می‌توان به‌صورت معادلات خطی یک متغیره، معادلات خطی دو متغیره و … تقسیم‌بندی کرد. فرم کلی برای یک معادله خطی با دو متغیر به شکل زیر است:

$$ax+by-c=0$$

در این معادله $$a$$ و $$b$$ به‌ ترتیب ضرایب دو متغیر $$x$$ و $$y$$ هستند.

چگونه یک معادله درجه اول را حل کنیم؟

برای حل یک معادله درجه اول، کافی است مراحل زیر را انجام دهیم:

1. ابتدا باید تمام جملات دارای متغیر را به یک سمت علامت تساوی برده و تمام جملات بدون متغیر (ثوابت) را به سمت دیگر تساوی منتقل کنیم.
2. تمام جملات شامل متغیر‌ در یک سمت تساوی را با هم و تمام ثوابت در سمت دیگر تساوی را نیز با هم جمع می‌کنیم.
3. با تقسیم طرف معلوم بر ضریب مجهول، متغیر به‌دست می‌آید.

نکته: زمانی که جمله‌ای از یک سمت تساوی به سمت دیگر تساوی منتقل می‌شود، علامت آن در یک منفی ضرب خواهد شد. برای مثال، اگر جمله‌ای در سمت راست معادله علامت مثبت دارد، وقتی آن را به سمت چپ می‌بریم، علامتش منفی می‌شود.

فرض کنید می‌خواهیم معادله $$3x-20=7$$

$$Rightarrow 3x=27$$

در آخرین قدم، کافی است طرف معلوم یعنی مجموع ثوابت ($$27$$) را بر ضریب مجهول یعنی $$3$$ تقسیم کنیم:

$$x =frac{27}{3}=9$$

معادله درجه دوم

در معادله درجه دو، بیشترین توان متغیرها برابر با عدد دو است. شکل استاندارد برای یک معادله درجه دو با یک متغیر به‌صورت زیر خواهد شد:

$$ax^2 + bx+c=0$$

معادله درجه سوم

در صورتی که در معادله‌ای جملاتی با توان سه (نه بیشتر) دیده شود، در این صورت این معادله یک معادله درجه سه است. شکل استاندارد یک معادله درجه سه با یک متغیر به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ax^3 + bx^2+cx+d=0$$

حل معادلات درجه سه کمی نسبت به حل معادلات درجه دو پیچیده‌تر است.

نامعادله

اگر به‌جای تساوی در یک معادله علامت‌های کمتر یا بیشتر یا کمتر مساوی یا بیشتر مساوی را داشته باشیم، در این صورت به‌‌جای معادله یک نامعادله داریم. در مورد نامعادلات نکته مهم این است که با ضرب کردن طرفین یک نامعادله در علامت منفی، جهت نامساوی تغییر می‌کند.

هندسه و استدلال

درس ریاضی پایه هفتم در چهارمین فصل خود به مبحث هندسه می‌رسد. در این بخش از کتاب، مفاهیم اولیه هندسه مانند خط، پاره‌خط، خطوط موازی و متقاطع مطرح می‌شوند که در ادامه به هر کدام از این موضوعات می‌پردازیم.

تعریف خط و نیم خط

هر شکل هندسی مستقیم و یک بعدی که ضخامتی ندارد و از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد، خط نامیده می‌شود. شکل زیر تصویری از یک خط را نشان می‌دهد و همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این خط از هر دو سمت تا بی‌نهایت ادامه دارد (علامت‌های پیکان در هر دو سمت خط نشان‌دهنده ادامه‌دار بودن آن هستند).

پس یک خط دارای نقطه انتها و ابتدا نیست و اندازه‌گیری طول آن، امکان‌پذیر نمی‌باشد. خطوط مختلف ممکن است به‌صورت افقی، عمودی یا مایل رسم شوند. اما خطی که یکی از دو نقطه ابتدا یا انتهای آن مشخص باشد، نیم‌خط نام دارد. در نیم‌خط، یک سمت خط بسته است و با یک حرف انگلیسی مشخص می‌شود، در حالی که سمت دیگر باز است و با علامت پیکان متمایز می‌شود.

تعریف پاره‌ خط

پار‌ه‌خط در هندسه، خطی است که دارای نقطه ابتدا و انتها است و طول آن مشخص و قابل‌اندازه‌گیری است. برای مثال، در شکل زیر پاره‌خطی داریم که اندازه آن برابر است با فاصله‌ بین دو نقطه ابتدا و انتهای آن یا فاصله بین دو نقطه $$A$$ و $$B$$. برای نشان دادن یک پاره‌خط از نقاط ابتدا و انتهای آن استفاده می‌شود. برای نمونه، در تصویر زیر پاره‌خط $$AB$$ را داریم که طول آن با نماد $$bar{AB}$$

خطوط موازی، متقاطع و متعامد

در شکل زیر دو خط موازی را مشاهده می‌کنید که توسط خط سومی به نام «خط مورب» قطع شده‌اند. چون $$a || b$$ برقرار است، بنابراین خط مورب $$I$$ با زاویه‌هایی مساوی هر کدام از این دو خط را قطع می‌کند. همچنین سایر زاویه‌های ایجاد شده در این شکل مکمل یکدیگر هستند (برای مثال، زاویه یک و زاویه دو).

بنابراین هندسه بالا نتایج زیر را به ما می‌دهد:

• $$angle1 = angle 5$$
• $$angle2 = angle 6$$
• $$angle3 = angle 7$$
• $$angle4 = angle 8$$

همچنین زاویه‌هایی که با رنگ صورتی مشخص شده‌اند، مانند $$angle3$$ و $$angle6$$ با هم برابر هستند. یکی از انواع خطوط متقاطع خطوطی هستند که متعامد‌اند. اگر خطی خط دیگری را با زاویه قائمه قطع کند، در این صورت می‌گوییم این دو خط بر هم عمود هستند یا متعامدند. برای نشان دادن تعامد دو خط از نماد $$bot$$ استفاده می‌کنیم.

عمود منصف

در زمینه خطوط متقاطع یکی از مباحث مهم عمود منصف است. عمود منصف یک پاره‌خط به معنای خطی عمود بر آن است که آن را به دو قسمت کاملا مساوی تقسیم می‌کند. اگر عمود منصف پاره‌خطی مانند $$MN$$ را در نقطه $$P$$ رسم کنیم، فاصله هر نقطه روی این عمود منصف از دو سر پاره‌خط همواره برابر است.

تعریف و انواع زاویه

زمانی که دو خط متقاطع یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند، بین این دو خط یک زاویه تشکیل می‌شود. زاویه‌ها را می‌توانیم بر حسب واحدهای مختلفی مانند درجه یا رادیان اندازه‌گیری کنیم. همچنین بسته به اندازه زاویه، یک دسته‌بندی به شکل زیر برای زاویه‌ها در نظر گرفته شده است:

زاویه‌ های متمم و مکمل

پس از اینکه با مفهوم زاویه در درس ریاضی آشنا شدیم، حالا می‌توانیم روابط بین زاویه‌ها را توضیح دهیم:

نیمساز یک زاویه

انواع مثلث

با توجه به اندازه اضلاع و زاویه‌ها در یک مثلث، سه نوع مثلث خاص داریم:

با توجه به اینکه گفتیم مجموع زاویه‌های یک مثلث همیشه با $$180$$ درجه برابر است، پس اگر در یک مثلث هر سه زاویه‌ آن با هم برابر باشد، می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که هر زاویه برابر می‌شود با $$frac{180}{3}=60$$

قضیه قیثاغورس

قضیه فیثاغورس در درس ریاضی قضیه‌ای است که به ما کمک می‌کند با داشتن دو ضلع یک مثلث قائم الزاویه، اندازه سومین ضلع را پیدا کنیم. همان‌طور که گفتیم، در مثلث قائم‌الزاویه یک زاویه قائمه داریم که ضلع روبروی این زاویه «وتر» نامیده می‌شود. طبق این قضیه برای مثلث قائم‌الزاویه‌ای به شکل زیر همواره مجموع مربعات دو ضلع دیگر یعنی قاعده و ارتفاع برابر است با مربع وتر:

$${BC}^2 ={AB}^2 +{AC}^2$$

چندضلعی ها

به تمام اشکال هندسی دو بعدی که از خطوط مستقیم و راست (نه خمیده) تشکیل شده‌ و به‌‌صورت یک شکل هندسی بسته‌اند، چندضلعی گفته می‌شود. برای مثال، مربع یک چندضلعی است، چون یک شکل هندسی دو بعدی است، دارای اضلاعی به‌صورت خط راست است و تمام این اضلاع توسط زاویه‌هایی به هم وصل شده‌اند. اما دایره با اینکه یک شکل هندسی دو بعدی است، اما چندضلعی محسوب نمی‌شود، چون خمیده است و ضلع ندارد.

چندضلعی‌ها با توجه به اندازه اضلاع و زاویه‌‌های خود به دو گروه تقسیم می‌شوند:

• چندضلعی منتظم: تمام اضلاع و زاویه‌های آن با هم برابر هستند.
• چندضلعی نامنتظم: اضلاع و زاویه‌های آن با هم برابر نیستند.

به‌علاوه می‌توانیم چندضلعی‌ها را بر اساس اندازه زاویه‌های داخلی آن‌ها نیز تقسیم‌بندی کنیم. بر این اساس، دو نوع چندضلعی خواهیم داشت:

• چندضلعی محدب: چندضلعی که تمام زاویه‌های داخلی آن از $$180$$ درجه کوچکتر باشد.
• چندضلعی مقعر: چندضلعی که حداقل یک زاویه‌ داخلی بزرگتر از $$180$$ درجه داشته باشد.

در چندضلعی محدب تمام قطرهای چندضلعی کاملا داخل آن قرار می‌گیرند. به عبارت دیگر، یکی از راه‌های تشخیص محدب بودن یک چندضلعی این است که خطوط متصل کننده هر دو زاویه در داخل چندضلعی را رسم کنیم. اگر تمام این خطوط داخل چندضلعی قرار گرفتند، در این صورت چندضلعی ما محدب است. اما در چندضلعی مقعر تمام قطرها داخل شکل قرار نمی‌گیرند. برای مثال، تصویر بالا نمونه‌ای از یک پنج‌ضلعی مقعر را نشان می‌دهد که در آن خط متصل کننده دو نقطه $$B$$ و $$D$$ خارج از شکل قرار می‌گیرد.

• نکته ۱: چندضلعی محدب می‌تواند منتظم یا نامنتظم باشد.
• نکته۲: چندضلعی مقعر هیچ‌گاه منتظم نیست.
• نکته ۳: مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی محدب با $$n$$ ضلع توسط فرمول $$180( n -2)$$
• نکته ۴: برای محاسبه مساحت یک چندضلعی محدب می‌توانیم چندضلعی را به چند مثلث تقسیم کنیم و سپس مساحت بخش‌های مختلف را با هم جمع کنیم.

چندضلعی‌ها انواع مختلفی دارند، سه‌ضلعی‌ها یا مثلث‌ها، چهارضلعی‌ها که در بخش بعد توضیح داده می‌شوند، پنج‌ضلعی‌ها، شش‌ضلعی‌ها و به همین ترتیب. در جدول زیر ویژگی‌های چند‌ضلعی‌های مختلف از جمله منتظم یا نامنتظم بودن، تعداد اضلاع و مجموع زاویه‌های داخلی نشان داده شده است:

چهارضلعی ها

یکی از زیرمجموعه‌های چندضلعی‌ها در درس ریاضی، چهارضلعی‌ها هستند. چهارضلعی یک شکل هندسی بسته است که فقط و فقط دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه است. این چهار ضلع چهار نقطه را در این نوع اشکال هندسی به هم متصل می‌کنند. اغلب برای نشان دادن یک چهار ضلعی به شکل زیر می‌توانیم از نام‌هایی به‌صورت $$ABCD$$ یا $$BCDA$$ یا $$ADCB$$ یا $$DCBA$$ استفاده کنیم. اما برای مثال، $$ACBD$$ انتخاب درستی نیست، چون این نوع نام‌گذاری با ترتیب رئوس این چهارضلعی همخوانی ندارد.

نکات مهم در مورد چهارضلعی‌ها شامل موارد زیر هستند:

• مجموع زاویه‌های داخلی این اشکال هندسی برابر با $$360$$ درجه است.
• تمام چهارضلعی‌ها دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه اند.
• تمام چهارضلعی‌ها دارای دو قطر هستند.

در ادامه خلاصه‌ای از خصوصیات معروف‌ترین چهارضلعی‌ها را توضیح خواهیم داد. البته چهارضلعی‌های دیگری مانند لوزی، ذوزنقه و کایت یا شبه‌لوزی نیز وجود دارند که با توجه به گستردگی موضوع این نوشته، می‌توانید مطالب مرتبط در مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید.

مربع

اولین چهارضلعی که در درس ریاضی با ویژگی‌های آن آشنا می‌شویم، مربع است. طبق شکل زیر و خصوصیات کلی که تا اینجا راجع‌به چهارضلعی‌ها گفتیم، در مربع هر چهار ضلع و هر چهار زاویه با هم برابر هستند. همچنین در این شکل هندسی دو جفت ضلع داریم که با هم موازی هستند. دو قطر مربع با هم مساوی و بر هم عمود‌اند که این زاویه قائمه در شکل مشخص شده است.

پس اگر بخواهیم ویژگی‌های مربع را به زبان ریاضی توصیف کنیم، خواهیم داشت:

1. $$AB=BC= CD=DA$$
2. $$angle A =angle B= angle C= angle D = 90^circ$$
3. $$AB || DC$$ و $$AD || BC$$
4. $$AC = BD$$
5. $$AC bot BD$$

مستطیل

ویژگی‌های مستطیل بسیار شبیه ویژگی‌های مربع است. تفاوت مربع و مستطیل در این است که اندازه تمام اضلاع در مستطیل با هم برابر نیست. به‌ عبارت دیگر مستطیل یک چهارضلعی منتظم محسوب نمی‌شود، در حالی که مربع یک چهارضلعی منتظم است. در مستطیل فقط اضلاع روبروی هم با هم مساوی و موازی هستند. تفاوت دیگر مستطیل و مربع که از برابر نبودن تمام اضلاع مستطیل ناشی می‌شود، عمود نبودن قطرهای مستطیل است.

پس اگر بخواهیم ویژگی‌های مستطیل را به زبان ریاضی توصیف کنیم، خواهیم داشت:

1. $$AB = DC$$
2. $$angle A =angle B= angle C= angle D = 90^circ$$
3. $$AB || DC$$ و $$AD || BC$$
4. $$AC = BD$$

متوازی الاضلاع

چهارضلعی بعدی که در درس ریاضی به بیان خصوصیات آن پرداخته می‌شود، متوازی‌الاضلاع است. این چهارضلعی بسیار شبیه مستطیل است، با این تفاوت که هیچ‌کدام از زاویه‌های آن قائمه نیستند. با این حال، زاویه‌های روبروی هم در یک متوزای‌الاضلاع همواره با هم برابر هستند. همچنین قطرهای متوازی‌الاضلاع با اینکه یکدیگر را قطع می‌کنند، اما بر هم عمود نبوده و با هم برابر نیستند.

خصوصیات مهم یک متوازی‌الاضلاع به‌صورت زیر خلاصه می‌شوند:

1. $$PQ = RT$$
2. $$angle P=angle T$$
3. $$PQ || RT$$ و $$PR || QT$$

زاویه داخلی و خارجی

• نکته ۱: مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی همواره برابر است با $$360$$ درجه.
• نکته ۲: زاویه داخلی زاویه‌ای است که بین دو ضلع یک شکل هندسی ایجاد می‌شود، در حالی که زاویه خارجی زاویه‌ای است که بین امتداد یکی از اضلاع و ضلع دیگر ایجاد می‌شود.

قضیه زاویه خارجی

قضیه زاویه خارجی بیان می‌کند اندازه هز زاویه خارجی در یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور به آن زاویه خارجی. با توجه به اینکه می‌دانیم هر مثلث دارای سه زاویه داخلی است که مجموع این زوایا برابر است با $$180$$ درجه، در نتیجه شش زاویه خارجی برای هر مثلث خواهیم داشت که از امتداد هر کدام از اضلاع در هر راس ناشی می‌شوند. این قضیه برای هر کدام از این شش زاویه خارجی صادق است:

سطح و حجم

پیش از اینکه فرمول‌‌های محاسبه محیط، مساحت و حجم در درس ریاضی را برای شکل‌های هندسی مختلف بیان کنیم، ابتدا باید ببینیم تفاوت محیط، مساحت و حجم چیست. همچنین مفاهیم دیگری به نام «مساحت جانبی» و «مساحت کل» در مورد حجم‌های هندسی مطرح می‌شوند که باید تفاوت آن‌ها را نیز با مساحت بدانیم:

• محیط: مجموع اضلاع یک شکل هندسی.
• مساحت: ناحیه‌ای که یک شکل هندسی دو بعدی مانند مربع، مستطیل، مثلث یا دایره در یک فضای دو بعدی اشغال می‌کند.
• مساحت جانبی: مساحت وجه‌های جانبی (که شامل قاعده‌ها نمی‌شود) برای یک شکل هندسی سه بعدی یا یک چندوجهی مانند مکعب یا کره.
• مساحت کل: کل مساحت وجه‌های خارجی یک شکل هندسی سه بعدی یا یک چندوجهی (مجموع مساحت جانبی و مساحت قاعده‌ها).
• حجم: کل فضایی که توسط یک شکل هندسی سه بعدی در فضا اشغال می‌شود. حرکت سطح در فضا حجم را می‌سازد.

اصلی‌ترین تفاوت مساحت و محیط با حجم، مساحت جانبی یا مساحت کل، ابعاد شکل هندسی موردنظر است. به‌طور کلی، محیط و مساحت برای چندضلعی‌ها یا شکل‌های هندسی دو بعدی محاسبه می‌شوند، اما مساحت جانبی، مساحت کل و حجم را برای یک شکل هندسی سه بعدی یا یک چندوجهی حساب می‌کنیم. شکل زیر تفاوت مساحت، مساحت کل و مساحت جانبی را نشان می‌دهد:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، برای مربع فقط مساحت محاسبه می‌شود. در واقع مربع حجم ندارد. اما برای شکل‌های هندسی سه بعدی یا احجام هندسی مانند مکعب، مخروط یا استوانه‌ می‌توانیم مساحت کل یا مساحت جانبی را در کنار حجم پیدا کنیم. در شکل مساحت کل مکعب و مساحت جانبی مخروط و استوانه با رنگ آبی نشان داده شده‌اند.

حجم‌های هندسی در درس ریاضی دارای شکل هندسی مشخصی هستند، به این معنا که یا در گروه حجم‌های کروی، هرمی یا منشوری قرار می‌گیرند و یا با ترکیبی از این حجم‌ها ساخته شده‌اند. تشخیص یک حجم کروی مانند کره آسان است. حجم‌های منشوری مانند استوانه، مکعب مستطیل یا منشور شش پهلو همواره از دو صفحه موازی به نام قاعده تشکیل می‌شوند. در حجم‌های هرمی مانند مخروط، به‌جای یکی از صفحات موازی در منشور، نقطه‌ای داریم که تمام اضلاع به آن می‌رسند. به این نقطه، راس هرم گفته می‌شود. بنابراین حجم‌های هروی یک قاعده دارند. در بخش‌های بعد با این احجام بیشتر آشنا خواهید شد.

مساحت اشکال هندسی دو بعدی

مساحت برای اشکال هندسی دو بعدی و سه بعدی محاسبه می‌شود، اما با تغییر ابعاد، فرمول‌های مساحت نیز تغییر می‌کنند. فرمول محاسبه مساحت برای شکل‌های دو بعدی به‌صورت زیر است:

به این ترتیب، نکات مهم در محاسبه مساحت شکل‌های دو بعدی به‌صورت زیر است:

مساحت اشکال هندسی سه بعدی

اغلب شکل‌های هندسی سه بعدی با اضافه کردن یک بعد به اشکال هندسی دو بعدی ساخته می‌شوند. برای مثال، کره شکل سه بعدی دایره است. مکعب شکل سه بعدی مربع و مکعب مستطیل شکل سه‌بعدی مستطیل است. سایر احجام هندسی عبارت‌اند از مخروط، هرم و استوانه. همان‌طور که در بخش‌های قبل گفتیم، مساحت کل یک شکل هندسی سه بعدی همواره برابر است با مجموع مساحت جانبی و مساحت قاعده‌های آن شکل.

برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم مساحت کل مخروطی به شکل زیر را پیدا کنیم. مخروط یک شکل هندسی سه بعدی است که قاعده‌ای به شکل دایره دارد و همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، سطح جانبی آن در نقطه‌ای به نام راس مخروط باریک می‌شود. فاصله راس مخروط تا قاعده آن را ارتفاع مخروط می‌نامیم که در شکل برابر است با $$h$$. در حقیقت مخروط نوعی هرم است که قاعده آن دایره‌ای شکل است.

مساحت کل این شکل هندسی را می‌توانیم با باز کردن آن به شکل سمت راست در تصویر بالا درآوریم. این بخش را گسترده مخروط می‌نامیم. در حقیقت دو شکل بالا با هم معادل هستند. پس اگر مجموع مساحت دایره زرد رنگ و قطاع دایره‌ای صورتی رنگ را پیدا کنیم، کل مساحت این مخروط به‌دست آمده است. به‌علاوه مساحت قطاع صورتی رنگ همان مساحت جانبی برای این مخروط محسوب می‌شود. اولین بخش نامعلوم در این محاسبه این است که قطاع چیست و مساحت آن چگونه به‌دست می‌آید.

با توجه به شکل زیر می‌توانیم مساحت قطاع را $$pi rl$$ در نظر بگیریم. بنابراین مساحت کل مخروط بالا برابر است با:

$$pi rl +pi r^2$$

در حالی که $$pi rl$$ معادل است با مساحت جانبی آن.

به همین شکل می‌توانیم مساحت جانبی منشور، مساحت جانبی استوانه و مساحت جانبی هرم را محاسبه کنیم. همان‌طور که گفتیم، کلیه حجم‌های منشوری همواره بین دو قاعده قرار می‌گیرند و بخش‌های جانبی یا وجه جانبی در منشور، همان سطح جانبی است. انواع مختلف منشور چند پهلو هستند، یعنی منشور شش پهلو، سه پهلو یا چهار پهلو داریم. با توجه به این تعریف، مساحت کل یک منشور چهار پهلو به شکل زیر است:

$$2(hw+wD+hD)$$

حجم اشکال هندسی

پس از اینکه با مهم‌ترین حجم‌های هندسی در درس ریاضی آشنا شدیم، در این بخش می‌خواهیم فرمو‌ل‌های حجم را برای این اشکال معرفی کنیم:

• حجم مکعبی به ضلع $$a$$ برابر است با $$a^3$$.
• حجم مکعب مستطیلی با اضلاع $$l,b,h$$
• حجم کره‌ای با شعاع $$r$$ برابر است با $$frac{4}{3}pi r^3$$
• حجم مخروطی با شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ برابر است با $$frac{1}{3}pi r^2h$$
• حجم استوانه‌ای با شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ برابر است با $$pi r^2h$$.
• حجم منشور با توجه به نوع منشور همواره برابر است با مساحت قاعده در ارتفاع.
• حجم هرم با توجه به نوع هرم همواره برابر است با یک سوم مساحت قاعده در ارتفاع.

انواع تبدیلات هندسی و تقارن

از تبدیلات هندسی در درس ریاضی و به‌خصوص در هندسه زیاد استفاده می‌شود. انواع تبدیلات هندسی عبارت‌اند از:

• انتقال: در انتقال شکل هندسی نسبت به یک پیکان (خطی با جهت مشخص) منتقل می‌شود.
• تقارن: در تقارن، شکل هندسی نسبت به یک خط یا محور و به‌صورت آینه‌ای تبدیل می‌شود.
• دوران: در دوران شکل هندسی نسبت به نقطه‌ای به نام مرکز تقارن چرخانده می‌شود.

برای مثال، در تصویر زیر خط نقطه‌چین نشان‌دهنده خط تقارن یا محور تقارن شکل است، به این معنا که اگر شکل را در راستای این خط به دو قسمت تقسیم کنیم، تمام اجزای شکل اول تصویر آینه‌ای از اجزای متناظر در شکل دوم هستند. اگر جسمی به این شکل تبدیل شود، می‌گوییم این جسم متقارن است. به این ترتیب ممکن نیست بتوانیم اجسام نامتقارن را با این روش به اجزایی تبدیل کنیم که با هم شباهت دارند.

محور تقارن همیشه عمودی نیست، بلکه می‌تواند افقی یا قطری هم باشد. در واقع، اشکال هندسی مختلف دارای محور تقارن‌های مختلفی هستند. برای مثال، مربع هر سه نوع محور تقارن یعنی محور تقارن عمودی، افقی و قطری را دارد. اما یک مثلث که طول اضلاع آن با هم متفاوت است، هیچ محور تقارنی ندارد. این در حالی است که مثلث‌های متساوی‌الاضلاع و متساوی‌الساقین به‌ترتیب سه و یک محور تقارن دارند.

تصویر زیر نشان‌دهنده نوع دیگری از یک تبدیل هندسی به نام انتقال است. یک شش ضلعی منتظم در این تصویر در راستای برداری که مشاهده می‌کنید، منتقل شده است. در انتقال، کل یک شکل هندسی از یک موقعیت مکانی به موقعیت مکانی دیگر منتقل می‌شود. بنابراین جهت‌گیری شکل، زاویه‌ها و اندازه اضلاع و … تغییری نمی‌کند.

اگر هر نقطه از یک شکل هندسی به اندازه زاویه $$180$$ درجه منتقل شود، در این صورت می‌گوییم این شکل دوران داده شده است. نقطه‌ای که دوران حول آن رخ می‌دهد و در نتیجه، شکل روی خودش منطبق می‌شود مرکز تقارن نام دارد. به شکل زیر در رابطه با مرکز تقارن دقت کنید:

شکل های همنهشت

هم‌نهشتی به این معنا است که بتوانیم یک شکل هندسی را کاملا بر شکل دیگر منطبق کنیم. این فرآیند را می‌توانیم با کمک گرفتن از انواع تبدیلات هندسی در درس ریاضی که در بخش قبل معرفی شدند، انجام دهیم. برای مثال، اگر بخواهیم هم‌نهشتی دو مثلث را بررسی کنیم، باید علاوه‌بر اضلاع، زاویه‌های این دو را نیز با هم مقایسه کنیم.

به‌طور کلی در هر کدام از سه حالت زیر می‌توانیم بگوییم دو مثلث هم‌نهشت محسوب می‌شوند:

• سه ضلع دو مثلث با هم برابر باشند (ض ض ض).
• دو ضلع مجاور و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث با هم برابر باشند (ض ز ض).
• دو زاویه و ضلع بین از هر دو مثلث با هم برابر باشند (ز ض ز).

پس از اینکه توانستیم ثابت کنیم دو مثلث هم‌نهشت‌اند، این امکان وجود دارد تا بتوانیم سایر بخش‌های نامعلوم در مثلث‌ها را به‌دست آوریم. در مورد مثلث قائم‌الزاویه می‌توانیم دو حالت دیگر به سه حالت بالا اضافه کنیم:

• وتر و یک ضلع از یک مثلث با وتر و یک ضلع از مثلث دیگر برابر است.
• وتر و یک زاویه تند از یک مثلث با وتر و یک زاویه تند از مثلث دیگر برابر است.

دایره

دایره یکی از اشکال هندسی است که مهم‌ترین مشخصه آن شعاع است. فاصله مرکز دایره از هر نقطه روی محیط آن، شعاع نامیده می‌شود. دو برابر شعاع دایره قطر دایره است. در مورد این شکل دو بعدی چند نکته مهم وجود دارد که در انتهای کتاب ریاضی هشتم مطرح شده‌اند:

1. اگر بین یک خط و دایره تنها یک نقطه مشترک وجود داشته باشد، در این صورت می‌گوییم این خط بر دایره مماس است.
2. شعاع دایره همواره به محیط داخلی آن عمود است.
3. اگر دو کمان از یک دایره با هم برابر باشند،ِ وترهای نظیر آن‌ها هم با هم برابر هستند و برعکس.
4. زاویه مرکزی در دایره به زاویه‌ای گفته می‌شود که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.
5. زاویه محاطی در دایره به زاویه‌ای گفته می‌شود که راس آن روی محیط دایره قرار دارد.

شمارند‌ه ها و اعداد اول

برای اینکه با مفاهیم این بخش از درس ریاضی بهتر آشنا شویم، ابتدا باید ببینیم منظور ما از مفاهیمی مانند شمارنده و بخش‌پذیری چیست. شمارنده‌های یک عدد مجموعه‌ای از اعداد هستند که با ضرب برخی از آن‌ها در یکدیگر، عدد موردنظر به‌دست می‌آید. برای مثال تنها شمارنده‌های عدد $$7$$ عبارت‌‌اند از $$1$$ و $$7$$، چون داریم $$1times7 = 7$$

بنابراین می‌توانیم بگوییم اگر شمارنده‌های یک عدد را تعیین کرده باشیم، آن عدد حتما بر تک تک این شمارنده‌ها بخش‌پذیر است. تعیین تمام شمارنده‌های یک عدد را تجزیه کردن عدد می‌نامند. برای مثال، $$5$$ یکی از شمارنده‌های $$25$$ است، در نتیجه $$25$$ بر $$5$$ بخش‌پذیر است. بخش‌پذیری به این معنا است که باقی‌مانده تقسیم عدد مورد‌نظر به هر کدام از شمارند‌ه‌های آن برابر است با صفر. پس در واقع ما عدد موردنظر خود را بر شمارنده تقسیم می‌کنیم و شمارنده همان مقسوم علیه در این تقسیم است.

عدد اول چیست؟

بزرگترین شمارنده مشترک یا ب. م. م.

گفتیم شمارنده‌های یک عدد همان مقسوم علیه‌های آن عدد هستند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد $$a,b$$ همان بزرگترین شمارنده مشترک بین این دو عدد است که به اختصار با ب. م. م. یا $$(a,b)$$ نشان داده می‌شود. برای مثال، فرض کنید دو عدد $$15$$ و $$18$$ را در نظر داریم و می‌خواهیم ب. م. م. این دو عدد را تعیین کنیم. شمارنده‌ها یا مقسوم علیه‌های $$15$$ عبارت‌اند از:

$$1,3,5,15$$

در حالی که مجموعه تمام شمارنده‌ها یا مقسوم علیه‌های $$18$$ به‌صورت زیر است:

$$1,2,3,6,9,18$$

حالا باید ابتدا شمارنده‌های مشترک این دو عدد را مشخص کنیم که برابر است با $$1,3$$. پس ب. م. م. این دو عدد یا بزرگترین عدد بین این دو عدد می‌شود $$(15,18)=3$$

کوچکترین مضرب مشترک یا ک. م. م.

برای تعیین ک. م. م. دو عدد، ابتدا باید ببینیم مفهوم مضرب در درس ریاضی چیست. از ضرب هر عدد در یک عدد غیر صفر مضرب‌های آن عدد به‌دست می‌آید. برای نمونه، اگر بخواهیم مضارب عدد $$15$$ را تعیین کنیم، این عدد را در $$1,2,3,4,…$$

$$15,30,45,60,…$$

حالا اگر بخواهیم کوچکترین مضرب مشترک دو عدد را پیدا کنیم، کافی است تمام مضارب این دو عدد را بنویسیم. اولین مضرب مشترک معادل است با ک. م. م.. برای مثال، کوچترین مضرب مشترک دو عدد $$4$$ و $$6$$ به شکل زیر مشخص می‌شود:

$$4,8,12,16,…$$

$$6,12,18,24,…$$

$$[4,6]=12$$

عدد مرکب چیست؟

تمام اعداد مرکب در این تصویر را می‌توان حاصل‌ضربی از اعداد اول در نظر گرفت.

نکته: عدد $$1$$ نه عدد اول است و نه عدد مرکب.

چه اعدادی نسبت به هم اول هستند؟

اگر دو عدد مرکب هیچ فاکتور مشترکی جز عدد $$1$$ نداشته باشند، در این صورت می‌گوییم این دو عدد نسبت به هم اول هستند. دقت کنید اینکه دو عدد مرکب نسبت به هم اول هستند به این معنا نیست که این دو عدد اول هستند. هر دو عددی که نسبت به هم اول‌اند، تنها به یک عدد مشترک بخش‌پذیر هستند و آن عدد $$1$$ است. به این اعداد، اعداد اول متباین یا اعداد اول متقابل هم گفته می‌شود. اگر بخواهیم سریع متوجه شویم آیا دو عدد داده شده نسبت به هم اول هستند یا نه، کافی است ب. م. م آن‌ها را پیدا کنیم. اگر ب. م. م. دو عدد برابر با $$1$$ شد، در این صورت این دو عدد حتما نسبت به هم اول هستند. برای مثال، تمام شمارنده‌های اعداد $$15$$ و $$16$$ را در نظر بگیرید:

$$15: 1,3,5,15$$

$$16: 1,2,4,8,16$$

بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد $$1$$ است. پس می‌توانیم بگوییم با اینکه $$15$$ و $$16$$ اول نیستند، اما نسبت به هم اول‌اند.

روش غربال اعداد اول

آخرین مبحث مرتبط با اعداد اول در درس ریاضی، توضیح روشی به نام غربال کردن اعداد اول است. از آنجا که تشخیص اعداد اول راحت نیست، اگر بخواهیم بدانیم از $$1$$ تا یک عدد مشخص مانند $$100$$ چند عدد اول داریم، می‌توانیم از این روش استفاده کنیم. کافی است مراحل زیر را یکی پس از دیگری مطابق شکل زیر انجام دهیم:

1. تمام اعداد طبیعی از $$1$$ تا $$100$$ را یکبار در یک سطر و یکبار در یک ستون می‌نویسیم.
2. ابتدا عدد $$1$$ را خط می‌زنیم، چون می‌دانیم این عدد نه اول است و نه مرکب.
3. دور عدد $$2$$ دایره می‌کشیم چون می‌دانیم عدد اول است.
4. تمام مضرب‌های $$2$$ را خط می‌زنیم، چون تمام این اعداد مرکب محسوب می‌شوند.
5. دور عدد $$3$$ دایره می‌کشیم چون می‌دانیم عدد اول است.
6. تمام مضرب‌های $$3$$ را خط می‌زنیم، چون تمام این اعداد مرکب محسوب می‌شوند.
7. دور عدد $$5$$ دایره می‌کشیم چون می‌دانیم عدد اول است.
8. تمام مضرب‌های $$5$$ را خط می‌زنیم، چون تمام این اعداد مرکب محسوب می‌شوند.
9. مراحل بالا را برای اعداد $$7$$ و $$11$$ تکرار می‌کنیم.
10. اعداد باقی‌مانده اول هستند.

توان و جذر

اگر عددی چند بار در خودش ضرب شود، می‌توانیم آن را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسم. برای مثال، فرض کنید داریم $$10times10times10times10times10times10times10$$

$$10times10times10times10times10times10times10=10^7$$

قواعد محاسبات اعداد توان دار

برای اینکه در محاسبات اعداد توان‌دار به‌درستی عمل کنیم، چند قاعده کوتاه در این بخش معرفی می‌شود که بهتر است آن‌ها را به‌خاطر بسپارید:

• عدد به توان صفر: $$a^0= 1$$
• عدد به توان یک: $$a^1= a$$
• به توان رسیدن یک عدد توان‌دار: $$(a^m)^n= a^{mn}$$
• عدد توان‌دار با توان منفی: $$a^{-m} = frac{1}{a^m}$$
• به توان رسیدن ضرب دو عدد: $$(ab)^{m} =a^mb^m$$
• به توان رسیدن تقسیم دو عدد: $$(frac{a}{b})^{m} =frac{a^m}{b^m}$$

ضرب اعداد توان دار

عملیاتی مانند ضرب را می‌توان روی اعداد توانی یا توان‌دار انجام داد. فرض کنید می‌خواهیم حاصل‌ضرب اعداد توان‌داری مانند $$5^3$$ و $$5^1$$ را پیدا کنیم. یک راه‌حل این است که عدد $$5^3$$ را سه بار در خودش ضرب کرده و حاصل را در $$5^1$$ که همان $$5$$ است، ضرب کنیم. اگر دقت کنید، در این روش $$1$$ و $$3$$ با هم جمع شده‌اند و در حقیقت عدد $$5$$ به تعداد $$4$$ بار در خودش ضرب شده است. پس می‌توانیم به‌جای این کار، از همان ابتدا نماها یا توان‌های دو عدد را با هم جمع کنیم و با در نظر گرفتن پایه $$5$$، حاصل را به‌صورت $$5^4$$ بنویسیم. به این ترتیب اگر دو عدد توانی با پایه مشترک (پایه‌های مشابه هم) داشته باشیم، ضرب این دو عدد به شکل زیر انجام می‌شود:

جذر تقریبی

گاهی محاسبه جذر یک عدد راحت نیست. اگر مجذور ده عدد اول را بدانیم، می‌توانیم به‌صورت تقریبی حاصل یک رادیکال را حدس بزنیم. به این روش محاسبه جذر، جذر تقریبی می‌گویند. برای مثال، $$sqrt{34}$$

اعداد توان‌ دار با توان کسری (اعداد رادیکالی)

اگر عدد توان‌داری دارای توان کسری باشد، عدد توان‌دار ما معادل خواهد شد با یک عدد رادیکالی:

$$a^{frac{m}{n}} =sqrt[n]{a^m}$$

به این ترتیب برای مثال داریم $$a^{frac{1}{n}} =sqrt[n]{a}$$

بردار و مختصات

یکی از بخش‌های انتهایی درس ریاضی پایه هفتم مبحث بردارها است. بردار پاره‌خط جهت‌داری است که علاوه بر اندازه، دارای جهت مشخصی است. بنابراین زمانی از بردار استفاده می‌کنیم که علاوه‌بر اندازه یا فاصله، جهت هم برای ما مهم است. برداری که نقطه $$A$$ را به نقطه $$B$$ وصل می‌کند، بردار $$vec{AB}$$

1. ابتدای بردار
2. اندازه بردار
3. انتها یا جهت بردار

محورهای مختصات

از مباحث گذشته در درس ریاضی می‌دانیم محورهای مختصات محورهایی هستند که یک صفحه را به چهار ناحیه مساوی تقسیم می‌کنند. این محورها متشکل‌اند از محور افقی (محور $$x$$) و محور قائم (محور $$y$$) که با زاویه قائمه یکدیگر را در نقطه‌ای به نام مبدا مختصات قطع کرده‌اند. تصویر زیر بخش‌های مختلف یک صفحه مختصات و چهار ناحیه آن را نشان می‌دهد:

به این ترتیب هر نقطه در این صفحه دارای یک مختصات مشخص است که برای نشان دادن آن از نمادی به‌صورت $$begin{bmatrix} a \ bend{bmatrix}$$

1. ناحیه اول: هم مقادیر $$x$$ و هم مقادیر$$y$$ مثبت‌اند.
2. ناحیه دوم: مقادیر $$x$$ منفی و مقادیر$$y$$ مثبت‌اند.
3. ناحیه سوم: هم مقادیر $$x$$ و هم مقادیر$$y$$ منفی‌اند.
4. ناحیه چهارم: مقادیر $$x$$ مثبت و مقادیر$$y$$ منفی‌اند.

اگر صفحه مختصات را مانند شکل بالا، به‌صورت یک صفحه شطرنجی در نظر بگیریم که هر خانه مربعی شکل کوچک آن دارای اضلاعی با اندازه واحد است، در این صورت می‌توانیم با شمارش این واحدها به‌راحتی مقادیر $$x$$ و $$y$$ را برای هر نقطه فرضی پیدا کنیم. برای مثال، نقاط مشخص شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید:

در مورد نقطه $$F$$ که در ناحیه یا ربع دوم صفحه مختصات قرار دارد، مختصات افقی این نقطه توسط برداری مشخص می‌شود که از مبدا مختصات و موازی با محور افقی تا این نقطه رسم می‌شود. اما مختصات قائم متناظر با این نقطه، برداری است که از مبدا و موازی با محور قائم تا این نقطه رسم می‌شود. پس مختصات نقطه $$F$$ برابر است با $$begin{bmatrix} -3 \ 1.5end{bmatrix}$$

جمع بردارها

$$vec{A} + vec{B}= begin{bmatrix} a \ bend{bmatrix}+ begin{bmatrix} c \ dend{bmatrix} =begin{bmatrix} a+c \ b+dend{bmatrix}$$

همچنین اگر عدد صحیحی مانند $$k$$ در بردار $$begin{bmatrix} a \ bend{bmatrix}$$

$$k begin{bmatrix} a \ bend{bmatrix}= begin{bmatrix} ka \ kbend{bmatrix}$$

بردار واحد

یکی از بهترین روش‌های نمایش مختصات بردارها این است که از بردارهای یکه یا بردارهای واحد استفاده کنیم. بردار یکه برداری است با اندازه‌ای برابر با یک یا واحد و همواره دارای جهت مشخصی در راستای یکی از محورهای مختصات است. برای اینکه بین بردار معمولی و بردار یکه تمایز قائل شویم، بردار یکه $$a$$ را با نماد $$hat{a}$$

کاربرد بردار واحد فقط برای مشخص کردن جهت یک بردار معمولی است، به این صورت که با ضرب این بردار در یک مقدار عددی بردار جدیدی ساخته می‌شود که اندازه آن برابر است با اندازه آن مقدار عددی و جهت آن برابر است با جهت بردار یکه‌اش. برای مثال برداری مانند $$vec{a}$$

نکته: اندازه بردار $$vec{a}$$

برای اینکه نمایش بردارها با استفاده از بردارهای یکه راحت‌تر شود، بهتر است برای هر محور مختصات در صفحه یک بردار یکه تعریف کنیم. اگر فضای مختصات را یک فضای سه بعدی در نظر بگیریم، در این صورت هر بردار حداکثر دارای سه مولفه یا مختصه می‌تواند باشد که هر کدام در راستای یکی از سه محور مختصات قرار دارند. قبلا با دو محور مختصات یعنی محور $$x$$ و $$y$$ آشنا شدیم. در این بخش محور سومی به نام محور $$z$$ را نیز در نظر می‌گیریم تا یک فضای سه بعدی به شکل بالا داشته باشیم. جدول زیر ویژگی‌های بردارهای یکه را برای محورهای مختصات نشان می‌دهد:

به این ترتیب بردار $$vec{A} = begin{bmatrix} a \ b \ cend{bmatrix}$$

$$vec{A} = a hat i + bhat j + c hat k$$

آمار و احتمال

آخرین مبحثی که در درس ریاضی پایه هفتم مطرح می‌شود، آمار و احتمال است. آمار فرآیند جمع‌آوری اطلاعات از نمونه‌های مختلف با هدف سازمان‌دهی، بررسی، مقایسه و انجام تحلیل یا محاسبات آماری مختلف روی آن‌ها است تا بتوان پیش‌بینی یا تخمین مناسبی در مورد یک موضوع خاص ارائه کرد. اطلاعات اولیه‌ای که در این فرآیند جمع‌آوری شده‌اند، داده‌های آماری نام دارند.

در بخش جمع‌آوری اطلاعات، می‌توانیم از روش‌های مختلفی مانند جدول یا نمودارهای مناسب برای نشان دادن داده‌ها استفاده کنیم. به‌ویژه کاربرد نمودار، در مقایسه اولیه داده‌ها بسیار کمک کننده است. اگر می‌خواهید در زمینه آمار و احتمال یادگیری خود را تکمیل کنید، پیشنهاد ما مشاهده فیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم فرادرس است که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است:

انواع نمودارهای آماری

در این بخش چند نمودار آماری مهم معرفی می‌شود:

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم ببینیم دانش‌آموزان یک کلاس به کدام ورزش بیشتر علاقه‌مند هستند. اگر پس از نظرسنجی، داده‌های جمع‌آوری شده را توسط یک نمودار نشان دهیم، مقایسه خیلی راحتی خواهیم داشت. یکی از بهترین نمودارهایی که برای نشان دادن داده‌های آماری می‌توان بکار برد، نمودار میله‌ای است. در این نوع نمودار، داده‌های هر بخش در قالب یک میله مستطیل شکل نشان داده می‌شوند. طبق نمودار میله‌ای رسم شده برای این پژوهش، واضح است که فوتبال با تعداد هشت رای، ورزش موردعلاقه دانش‌آموزان این کلاس است.

مجموع فراوانی داده‌ها در دومین ستون باید با تعداد کل داده‌ها برابر شود که همین‌طور هم هست:

$$3+4+2+1=10$$

احتمال

در نظریه احتمال شانس وقوع یک پدیده، اتفاق یا پیشامد اندازه‌گیری می‌شود. برای مثال، پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. در این آزمایش دو پیشامد یا حالت ممکن است داشته باشیم، یا سکه رو می‌آید و یا زیر. رو یا زیر آمدن سکه در این آزمایش با شانس کاملا برابری اتفاق می‌افتد. بنابراین می‌توانیم بگوییم احتمال رو آمدن سکه برابر است با یک از دو یا $$frac{1}{2}$$

یک آزمایش معروف دیگر در بررسی احتمال، پرتاب یک تاس است. می‌دانیم یک تاس شش وجه مختلف با شش عدد دارد و در هر بار پرتاب، یکی از این اعداد ظاهر می‌شود. بنابراین اگر بخواهیم بدانیم احتمال اینکه تاس دو بیاید، چقدر است، باید یک حالت از شش حالت را در نظر بگیریم که می‌شود $$frac{1}{6}$$

پس برای اینکه بتوانیم احتمال را محاسبه کنیم، ابتدا لازم است تمام حالت‌های ممکن را بشماریم. سپس تعداد حالت‌های موردنظر یا مطلوب را از بین این حالت‌ها تعیین می‌کنیم. تقسیم این دو عدد به ما احتمال را می‌دهد. احتمال همیشه عددی بین صفر و یک است. اگر احتمال وقوع رخدادی برابر با یک شود، یعنی قطعیت کامل داریم در حالی که اگر احتمال صفر به‌دست آوریم، با قطعیت می‌توانیم از عدم پیشامد آن اتفاق صحبت کنیم.

مباحث درس ریاضی پایه نهم و دهم

درس ریاضی پایه نهم شامل مباحث زیر است:

• مجموعه‌ها
• اعداد حقیقی
• استدلال و اثبات در هندسه
• توان و ریشه
• عبارت‌های جبری
• خط و معادله‌های خطی
• عبارت‌های گویا
• حجم و مساحت

همچنین ریاضی پایه دهم موضوعات زیر را پوشش می‌دهد:

• مجموعه، الگو و دنباله
• مثلثات
• توان‌های گویا و عبارت‌های جبری
• معادله‌ها و نامعادله‌ها
• تابع
• شمارش
• آمار و احتمال

برخی از این مباحث در بخش‌های قبل توضیح داده ‌شده‌اند. بنابراین در ادامه این بخش تنها به توضیح موضوعات جدید درس ریاضی مانند مفهوم مجموعه اعداد، اتحادها، معادله خط، مثلثات و تابع خواهیم پرداخت. همچنین برای مطالعه کامل مباحث مربوط به شاخه ریاضیات گسسته مانند مفهوم فاکتوریل، ترکیب و جایگشت یا آشنایی با انواع گراف‌ها می‌توانید به مطلب «ریاضیات گسسته – مفاهیم پایه به زبان ساده با مثال» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

مجموعه ها

کتاب‌های ریاضی هفتم و هشتم هر دو با معرفی یک مجموعه‌ اعداد یعنی مجموعه اعداد صحیح و سپس مجموعه اعداد گویا آغاز شدند. در این کتاب هم با مجموعه دیگری از اعداد یعنی مجموعه اعداد حقیقی آشنا خواهیم شد. اما پیش از آن، ابتدا یاد می‌گیریم یک مجموعه چیست و چه ویژگی‌هایی دارد.

به مجموعه‌ای از اشیا، اجزا یا اعداد مشخص و غیرتکراری که یک گروه تشکیل می‌دهند، مجموعه گفته می‌شود. هر کدام از این اشیا، اجزا یا اعداد یک عضو مجموعه نام دارند. اعضای یک مجموعه ممکن است متناهی یا نامتناهی باشند، اگر مجموعه‌ای دارای بی‌‌نهایت عضو باشد، می‌گوییم این مجموعه بی‌نهایت است. برای مثال، مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد صحیح و مجموعه اعداد گویا همگی دارای بی‌نهایت عضو هستند. دقت کنید، روزهای هفته یا نوع خاصی از اتومبیل هم می‌توانند یک مجموعه بسازند. بنابراین لازم نیست اعضای مجموعه حتما اعداد باشند.

برای نشان دادن یک مجموعه از آکولادهای باز و بسته به‌صورت $$left{right}$$ استفاده می‌شود. تمام اعضای مجموعه داخل این دو آکولاد قرار می‌گیرند. هر مجموعه دارای یک اسم است که عموما با یک حرف انگلیسی بزرگ نشان داده می‌شود. برای مثال داریم:

$$N=left{ 1,2,3,…right}$$

$$W=left{ 0,1,2,3,…right}$$

$$Z=left{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…right}$$

همچنین برای نمایش مجموعه اعداد گویا می‌توانیم از $$Q=left{frac{p}{q} | qin Z , qneq 0right}$$

• نکته ۱: ترتیب اعضا در یک مجموعه مهم نیست. بنابراین با جابجایی اعضا، مجموعه جدیدی ساخته نمی‌شود.
• نکته ۲: تکرار اعضای یک مجموعه باعث ایجاد مجموعه جدیدی نمی‌شود.
• نکته ۳: $$ain A$$
• نکته ۴: اگر در مجموعه‌ای هیچ عضوی وجود نداشته باشد، مجموعه تهی یا $$phi$$ داریم.
• نکته ۵: برای نشان دادن تعداد اعضای مجموعه $$A$$ از $$n(A)$$ استفاده می‌کنیم.

نمودار ون

یکی از روش‌های نمایش مجموعه‌ها، استفاده از نموداری به نام نمودار وِن است. در این نمودار هر مجموعه را با یک دایره نشان می‌دهیم و تمام اعضای آن در داخل این دایره قرار می‌گیرند. رسم نمودار ون از این جهت مفید است که با نگاه به آن می‌توانیم به آسانی تشخیص دهیم بین دو یا چند مجموعه چه رابطه‌ای برقرار است. برای مثال، به تصویر زیر دقت کنید:

این نمودار ون نشان دهنده دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ است و اطلاعات زیر را به ما می‌دهد:

$$A = left{1,2,3right}$$

$$B = left{3,5,7right}$$

به‌علاوه مشخص است که $$3$$ عضو مشترک بین دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ است.

زیرمجموعه چیست؟

$$N subseteq Z$$

• نکته ۱: هر مجموعه‌ای همواره زیرمجموعه‌ای از خودش است.
• نکته ۲: مجموعه تهی همواره زیرمجموعه تمام مجموعه‌ها محسوب می‌شود.

تصویر بالا نمودار ونی است که نشان می‌دهد $$B subseteq A$$

اجتماع و اشتراک مجموعه ها

$$A cap B = left{3right}$$

پس اشتراک دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه‌ جدیدی است که شامل تمام عضوهای مشترک بین این دو مجموعه است. نمودار ون برای اشتراک دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ به‌صورت تصویر سمت چپ در شکل زیر نمایش داده می‌شود:

اما در سمت راست این تصویر، اجتماع $$A$$ و $$B$$ نمایش داده شده است. اجتماع دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه جدیدی است که اعضای آن شامل تمام اعضای دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ است. اجتماع $$A$$ و $$B$$ را با $$B cup A$$

سایر مباحث مرتبط با مجموعه‌ها به همراه معرفی انواع دنباله‌های عددی و حسابی در مطالب زیر توضیح داده شده‌اند:

1. مجموعه متناهی و نامتناهی – تعاریف و خصوصیات
2. الگوها و دنباله های متداول عددی – به زبان ساده
3. دنباله هندسی و مجموع آن – به زبان ساده
4. تصاعد حسابی – به زبان ساده
5. فرمول الگویابی | فرمول الگوی عددی – با مثال و به زبان ساده

مجموعه اعداد حقیقی

$$3,0,1.5,frac{3}{2}, sqrt{5}$$

تمام مجموعه اعداد نشان داده شده زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد حقیقی محسوب می‌شوند. دو زیرمجموعه اصلی اعداد حقیقی، مجموعه اعداد گویا ($$Q$$)‌ و مجموعه اعداد گنگ ($$Q^c$$) هستند. اعداد گنگ اعدادی‌اند که دارای ارقام اعشاری بی‌نهایت و بدون تکرار هستند. بنابراین می‌توانیم بگوییم مجموعه اعداد حقیقی اجتماع دو مجموعه اعداد گویا و اصم است یا $$R= Q^c cup Q$$

قدر مطلق

قدر مطلق عدد یا متغیری مانند $$x$$ در حالت کلی با $$|x|$$ نمایش داده می‌شود و به معنای اندازه یا مقدار عدد بدون در نظر گرفتن هر گونه علامت مثبت یا منفی است. برای مثال، قدر مطلق $$+5$$ با قدر مطلق $$-5$$ برابر است:

$$|+5|=|-5|=5$$

• نکته ۱: قدر مطلق صفر برابر است با صفر.
• نکته ۲: قدر مطلق هر عدد مثبت برابر است با خودش.
• نکته ۳: قدر مطلق هر عدد منفی برابر است با قرینه‌اش.
• نکته ۴: $$sqrt{a^2}=|a|$$

تشابه در هندسه

در بخش‌های قبل با حالت‌های هم‌نهشتی در مثلث‌ها آشنا شدیم. در این بخش از درس ریاضی به مبحث تشابه در هندسه خواهیم پرداخت. تشابه به معنای تساوی و معادل بودن نیست، بلکه در این حالت یک چند‌ضلعی دارای اضلاعی است که با نسبت مشخصی در چندضلعی دیگر کوچک یا بزرگ شده‌‌اند. همچنین شرط دیگر برای برقراری تشابه این است که زاویه‌ها در دو چندضلعی کاملا باید با هم برابر باشند. بنابراین در حالت کلی تشابه با همنهشتی معادل نیست.

با توجه به تعریف بالا، اگر فرض کنیم دو مثلث متشابه داریم، این دو مثلث با اینکه زاویه‌های متناظر برابری دارند، اما قطعا هم‌اندازه نخواهند بود. با این حال بین اضلاع متناظر در این دو مثلث، نسبت یکسانی برقرار است، یعنی اضلاع متناظر به یک اندازه کوچک یا بزرگ می‌شوند. برای مثال، دو مثلث بالا مشابه هم هستند و روابط تشابه آن‌ها یا $$triangle QPR sim triangle XYZ$$

$$angle A = angle E , angle B = angle F , angle C = angle G$$

$$frac{AB}{EF} = frac{BC}{FG}=frac{AC}{EG}$$

به نسبت مساوی بین اضلاع، زمانی که دو چندضلعی با هم متشابه‌اند، نسبت تشابه گفته می‌شود. همچنین روابطی که در بالا بیان شد، برای تمام چندضلعی‌ها از جمله مثلث برقرار است.

توان و نماد علمی

نماد علمی روشی سودمند برای نمایش اعداد خیلی خیلی بزرگ یا خیلی خیلی کوچک است که در آن عدد داده شده را به‌شکل $$Atimes10^n$$

1. $$A$$ همواره بزرگتر مساوی $$1$$ و کوچکتر از $$10$$ است.
2. $$n$$ یک عدد صحیح است.

برای مثال، نماد علمی $$700$$ برابر است با:

$$7times10^2$$

یا نماد علمی $$5326.6$$ می‌شود: