رادیکال چیست؟

به عدد پشت رادیکال، «درجه یا فرجه رادیکال» گفته می‌شود. فرجه رادیکال نشان می‌دهد که یک عدد چند مرتبه در خودش ضرب می‌شود تا عدد زیر رادیکال حاصل شود.

بنابراین رایکال یک عدد معادل است با ریشه nام آن عدد. در حقیقت این ریشه می‌تواند ریشه مربعی، مکعبی یا در حالت کلی، ریشه nام آن عدد باشد. برای مثال ریشه سوم $$125$$ را با $$sqrt[3]{125}$$

قوانین کلی حاکم بر رادیکال ها

بخش مهم دیگری که لازم است در روند ساده کردن رادیکال ها بدانیم، قوانین کلی حاکم بر محاسبات و بررسی رادیکال‌ها است. در ادامه این قوانین بیان شده است:

1. 1. اگر عدد زیر رادیکال مثبت باشد، حاصل رادیکال هم عددی مثبت است ($$sqrt[3]{27} = 3$$
   2. اگر عدد زیر رادیکال منفی و فرجه رادیکال عدد فردی باشد، حاصل رادیکال هم عددی منفی است ($$sqrt[3]{-27} = -3$$
   3. اگر عدد زیر رادیکال منفی و فرجه رادیکال عدد زوجی باشد، حاصل رادیکال یک عدد حقیقی نخواهد بود ($$sqrt[2]{-81}$$
   4. اگر فرجه رادیکال نوشته نشده باشد، منظور ریشه دوم است ($$sqrt{22} = sqrt[2]{22}$$
   5. ضرب دو عدد رادیکالی مجزا با فرجه یکسان معادل است با ضرب آن دو عدد زیر یک رادیکال و با همان فرجه ($$sqrt[3]{12} timessqrt[3]{10} =sqrt[3]{120}$$
   6. تقسیم دو عدد رادیکالی مجزا با فرجه یکسان معادل است با تقسیم دو عدد زیر یک رادیکال و با همان فرجه ($$frac{sqrt{8}}{sqrt{4}} = sqrt{frac{8}{4}}$$
   7. امکان شکستن یک عدد رادیکالی به دو عدد رادیکالی با همان فرجه وجود دارد ($$sqrt{27} = sqrt{9} times sqrt{3}$$
   8. امکان نوشتن یک عدد رادیکالی به فرم توانی در معادلات وجود دارد ($$sqrt{x} = 25 Rightarrow (sqrt{x})^2 = (25)^2$$
   9. هر عدد زیر رادیکال با توان $$m$$ و فرجه $$n$$ معادل است با همان عدد به توان  $$frac{m}{n}$$
   10. قانون نهم را می‌توانیم به شکل $$a^ {frac{m}{n} } = sqrt[n]{a^m} = ( sqrt[n]{a} )^m$$

در ادامه این نوشته خواهید دید که چگونه می‌توانیم از این قوانین در ساده کردن رادیکال‌ ها استفاده کنیم. فرض کنید بخواهیم یک معادله رادیکالی را حل کنیم. عموما اولین کاری که می‌کنیم این است که رادیکال را حذف کنیم تا محاسبات ساده‌تر انجام شود. برای اینکه رادیکال را از یک عبارت رادیکالی با فرجه $$n$$ حذف کنیم، باید طرفین معادله را به توان $$n$$ برسانیم. برای نمونه، معادله ساده زیر را در نظر بگیرید:

$$sqrt[n]{x} = p$$

از آخرین قانونی که گفتیم استفاده می‌کنیم و معادله بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$sqrt[n]{x} = x ^{frac{1}{n}} Rightarrow x ^{frac{1}{n}} = p$$

حالا با به توان $$n$$ رساندن طرفین خواهیم داشت:

$$Rightarrow (x ^{frac{1}{n}})^n = p^n$$

$$Rightarrow x = p^n$$

چگونه ساده کردن رادیکال ها را با فرادرس بهتر بیاموزیم؟

مبحث رادیکال در اغلب کتاب‌های ریاضی متوسطه وجود دارد. در این بخش لیستی از فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را به شما معرفی کرده‌ایم که به ‌ترتیب از پایه هفتم تا پایه دوازدهم به توضیح مطالب کتاب‌های درسی پرداخته‌اند. این دوره‌های آموزشی که بر اساس سرفصل‌های کتاب‌های درسی طراحی شده‌اند، شامل مباحث پایه‌ برای یادگیری مفهوم و قوانین حاکم بر ساده کردن رادیکال ها مانند توان و جذر در ریاضی پایه هفتم تا ساده کردن معادلات رادیکالی در ریاضی پایه یازدهم رشته علوم تجربی است:

1. فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
2. فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
3. فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
4. فیلم آموزش ریاضی پایه دهم فرادرس
5. فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم علوم تجربی فرادرس

ضرب و تقسیم رادیکال‌ها

در ادامه یادگیری نحوه ساده کردن رادیکال ها، در این بخش و بخش بعدی چهار عمل اصلی یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را بررسی می‌کنیم تا ببینیم چگونه می‌توان در حین انجام این عملیات رادیکال‌های داده شده را ساده‌تر کرد. ابتدا ضرب و تقسیم چند عبارت رادیکالی را در این بخش بررسی می‌کنیم و در بخش بعد به جمع و تفریق رادیکال‌ها خواهیم پرداخت. برای شروع، باید ببینیم قاعده ضرب و تقسیم رادیکال‌ها چیست.

$$‌sqrt[n]{ab}= ‌sqrt[n]{a} ‌sqrt[n]{b}$$

در رابطه بالا $$‌n ‌$$ همواره یک عدد صحیح و مثبت به شکل $$‌n geq 2 ‌$$

$$‌sqrt[n]{frac{a}{b}}= ‌frac{sqrt[n]{a}}{ ‌sqrt[n]{b}}$$

در ادامه با حل چند مثال و تمرین این دو قاعده را بهتر متوجه خواهید شد. همچنین در مورد ضرب و تقسیم رادیکال‌ها، خاصیت توزیع‌پذیری برقرار است، به این معنا که اگر یک فاکتور عددی خارج از یک پرانتز حاوی چند عدد رادیکالی داشته باشیم، این فاکتور عددی در تک تک جملات عبارت رادیکالی ضرب می‌شود:

$$a ( sqrt{b}+ sqrt{c}) =a sqrt{b} + a sqrt{c}$$

مثال ۱

حاصل‌ضرب دو عبارت رادیکالی زیر در ساده‌ترین حالت ممکن چقدر می‌شود؟

$$-5sqrt{14} . 4sqrt{6}$$

پاسخ

با توجه به اینکه فرجه هر دو عدد رادیکالی مشابه است، پس می‌توانیم آن‌ها را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$-5 times 4 timessqrt{14 times 6}$$

همچنین می‌دانیم که در ضرب چند عدد، امکان جابجایی اعداد به شکل بالا وجود دارد:

$$-20 sqrt{84}$$

این عدد را می‌توان ساد‌ه‌تر کرد. چون در سوال ساده‌ترین جواب خواسته شده است، پس با شکستن عدد $$84$$ به‌صورت زیر خواهیم داشت:

$$-20 sqrt{84} = -20 sqrt{4 times 21} = -20 sqrt{4 } times sqrt{21} = -40 sqrt{21}$$

مشخص است که جواب نهایی از این ساده‌تر نخواهد شد.

مثال ۲

جواب نهایی $$2 sqrt[3]{18} . 6 sqrt[3]{15}$$

پاسخ

باز هم فرجه دو عدد رادیکالی مشابه هم است. پس می‌توانیم آن‌ها را زیر یک رادیکال قرار داده و در هم ضرب کنیم. همچنین ضرایب هر دو نیز در هم ضرب خواهند شد:

$$2 sqrt[3]{18} . 6 sqrt[3]{15}= 2times6 times sqrt[3]{18 times15}$$

$$12 sqrt[3]{270}$$

می‌توانیم این عدد را ساده‌تر کنیم. با در نظر گرفتن اینکه فرجه رادیکال $$3$$ است، باید عدد زیر رادیکال را به اعدادی بشکنیم که یکی از آن‌ها ریشه سوم کاملی داشته باشد:

$$12 sqrt[3]{270} = 12 sqrt[3]{27times10} = 12 sqrt[3]{27} timessqrt[3]{10}=36 sqrt[3]{10}$$

مثال ۳

حاصل‌ضرب $$sqrt[5]{8x^2} . sqrt[5]{4x^3}$$

پاسخ

فرجه هر دو رادیکالی که در هم ضرب شده‌اند برابر است با $$‌5$$. پس طبق قاعده ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم عبارت‌های جبری زیر دو رادیکال را در هم ضرب کنیم:

$$sqrt[5]{8x^2} . sqrt[5]{4x^3} = sqrt[5]{8x^2 times 4x^3}$$

حالا با ضرب کردن ضرایب عددی در هم و ضرب کردن دو عبارت جبری بر حسب $$‌x$$ در هم، خواهیم داشت:

$$sqrt[5]{8x^2 times 4x^3} =sqrt[5]{32 x^5 }$$

می‌دانیم در ضرب دو عبارت توانی با پایه‌های مشابه و توان‌های مختلف، حاصل برابر است با پایه مشترک و مجموع توان‌ها. بنابراین توا‌ن‌های $$‌x$$ در محاسبات بالا با هم جمع شده‌اند. با توجه به اینکه توان $$‌x$$ با فرجه رادیکال یکی شده است، می‌توانیم آن را از زیر رادیکال خارج کنیم. همچنین در مورد عدد $$32$$ هم می‌دانیم که $$sqrt[5]{32} =2$$

$$sqrt[5]{32 x^5 } = 2x$$

مثال ۴

با ساده کردن رادیکال $$7sqrt{6} ( 3sqrt{10} – 5sqrt{15})$$

پاسخ

در این سوال باید از خاصیت توزیع‌پذیری در ضرب رادیکال‌ها به گونه‌ای که توضیح دادیم، استفاده کنیم. پس ابتدا عددی که خارج از پرانتز است را در هر کدام از جملات داخل پرانتز ضرب می‌کنیم:

$$7sqrt{6} ( 3sqrt{10} – 5sqrt{15}) = 7sqrt{6} . 3sqrt{10} – 7sqrt{6} . 5sqrt{15}$$

حالا با ضرب کردن اعداد ساده در هم و ضرب کردن اعداد رادیکالی در هم، خواهیم داشت:

$$7sqrt{6} . 3sqrt{10} – 7sqrt{6} . 5sqrt{15} = 21 sqrt{60} – 35 sqrt{90}$$

توجه کنید که عبارت جبری بالا شامل دو جمله است. پس در ضرب کردن مقادیر عددی و رادیکال‌ها باید فقط فاکتورهایی که در همان جمله هستند را در نظر بگیریم. مثلا نمی‌توانیم ضریب عددی $$5$$ را در ضریب عددی $$3$$ ضرب کنیم، چون این دو ضریب برای دو جمله هستند. حاصل عبارت بالا را می‌توانیم با شکستن اعداد زیر رادیکال ساد‌ه‌تر کنیم:

$$21 sqrt{60} – 35 sqrt{90} = 21 sqrt{4times15} – 35 sqrt{9times10}$$

$$21 sqrt{4times15} – 35 sqrt{9times10} = 42 sqrt{15} – 105 sqrt{10}$$

مثال ۵

دو عبارت رادیکالی زیر را که به شکل داده شده بر هم تقسیم شده‌اند، ساده کنید:

$$‌‌ frac{sqrt{44y^6a^4}}{sqrt{9y^2a^8}}$$

پاسخ

از قاعده تقسیم رادیکال‌ها استفاده می‌کنیم و دو رادیکال داده شده که فرجه یکسانی دارند را به یک رادیکال به شکل زیر تبدیل می‌کنیم:

$$‌‌ frac{sqrt{44y^6a^4}}{sqrt{9y^2a^8}} = sqrt frac{44y^6a^4}{9y^2a^8}$$

حالا می‌توانیم با توجه به قواعد تقسیم اعداد توان‌‌دار، کسر زیر رادیکال را ساده کنیم. همچنین با شکستن اعداد زیر رادیکال این امکان وجود دارد که بتوانیم برخی فاکتورها را از زیر رادیکال خارج کنیم:

$$‌‌ sqrt frac{44y^6a^4}{9y^2a^8} = sqrt frac{44y^4}{9a^4} = sqrt frac{4times 11 times y^4}{9a^4}$$

می‌دانیم $$‌‌ sqrt {9a^4} =3a^2$$

$$‌‌sqrt frac{4times 11 times y^4}{9a^4}= frac{2y^2sqrt{11} }{3a^2 }$$

تمرین

جمع و تفریق رادیکال ها

در این بخش می‌خواهیم قواعدی را که مربوط به جمع و تفریق رادیکال‌ها است، معرفی کنیم. در ادامه با حل مثال نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان به ساده کردن رادیکال ها با استفاده از این قوانین پرداخت. اما پیش از اینکه به توضیح این موضوع و یادگیری همراه با حل مثال بپردازیم، پیشنهاد می‌کنیم در همین زمینه فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس را که دارای بخشی با عنوان «توان و جذر» است، مشاهده کنید. لینک این دوره آموزشی در ادامه برای شما قرار داده شده است:

$$asqrt{ x } pm bsqrt{ x } = (a pm b)sqrt{ x }$$

در رابطه بالا $$a$$ و $$b$$ اعداد حقیقی و $$x$$ هم یک عدد حقیقی و همواره مثبت است. می‌دانیم در رابطه بالا رادیکال‌های مشابه ما در حقیقت دارای فرجه $$2$$ هستند. با در نظر گرفتن ریشه nام، می‌توانیم شکل کلی‌تر عبارت بالا را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$asqrt[n]{x} pm bsqrt[n]{x} = (a pm b) sqrt[n]{x}$$

در ادامه با حل مثال این مبحث را بررسی و تمرین می‌کنیم تا ببینیم روند ساده کردن رادیکال ها در موقعیت‌های جمع یا تفریق رادیکال‌ها چگونه است.

مثال ۱

حاصل عبارت زیر پس از ساده کردن رادیکال ها چقدر می‌شود؟

$$2sqrt{50} + sqrt{32}$$

پاسخ

دو عدد رادیکالی داریم که فرجه یکسانی برابر با $$2$$ دارند. اما چون اعداد زیر رادیکال مانند هم نیستند، نمی‌توانیم رادیکال‌ها را مشابه هم در نظر بگیریم. بنابراین لازم است اعداد زیر رادیکال را بشکنیم. در مورد $$50$$ می‌توانیم از حاصل‌ضرب $$25 times 2$$

$$2sqrt{50} + sqrt{32} = 2sqrt{25 times 2} + sqrt{16 times 2 }$$

در مرحله بعد کافی است این حاصل‌ضرب‌ها را از هم جدا کنیم و در قالب دو رادیکال مختلف بنویسیم:

$$2sqrt{25 times 2} + sqrt{16 times 2 } = 2sqrt{25} times sqrt{2} + sqrt{16 } times sqrt{2}$$

با توجه به اینکه داریم $$sqrt{25} = 5$$

$$2sqrt{25} times sqrt{2} + sqrt{16 } times sqrt{2} = 10sqrt{2} + 4sqrt{2}$$

حالا به دو رادیکال کاملا مشابه هم رسیدیم که می‌توانیم ضرایب آن‌ها را با هم جمع کنیم:

$$10sqrt{2} + 4sqrt{2} = (10+4) sqrt{2} = 14 sqrt{2}$$

مثال ۲

عبارت عددی $$7sqrt[5]{6} + 4sqrt[5]{3} – 9sqrt[5]{3} +sqrt[5]{6}$$

پاسخ

ابتدا باید رادیکال‌های مشابه را تشخیص دهیم. طبق تعریف باید هم عبارت زیر رادیکال و هم فرجه برای دو یا چند عبارت رادیکالی کاملا یکسان باشد تا بتوانیم آن‌ها را مشابه در نظر بگیریم. در این سوال دو رادیکال مشابه به شکل $$sqrt[5]{6}$$

$$7sqrt[5]{6} + 4sqrt[5]{3} – 9sqrt[5]{3} +sqrt[5]{6} = 7sqrt[5]{6} +sqrt[5]{6} + 4sqrt[5]{3} – 9sqrt[5]{3}$$

حالا دو جمله اول طبق قواعد جمع و تفریق رادیکال‌ها با هم جمع می‌شوند و دو جمله بعدی نیز با هم:

$$7sqrt[5]{6} +sqrt[5]{6} + 4sqrt[5]{3} – 9sqrt[5]{3} = (7+1)sqrt[5]{6} + (4-1)sqrt[5]{3}$$

$$(7+1)sqrt[5]{6} + (4-1)sqrt[5]{3} = 8sqrt[5]{6} + 3sqrt[5]{3}$$

مثال ۳

عبارت $$5sqrt{45} + 6sqrt{18} – 2sqrt{98} +sqrt{20}$$

پاسخ

در این مثال هم ابتدا باید رادیکال‌های مشابه را تشخیص دهیم. اما در نگاه اول هیچ رادیکال مشابهی نداریم، با اینکه فرجه تمام رادیکال‌ها یکسان و مساوی با $$2$$ است، اما اعداد زیر رادیکال‌ها با هم فرق دارد. از بخش‌های قبل به خاطر داریم که بهتر است تا حد امکان اعداد زیر رادیکال را بر حسب حاصل‌ضرب دو عدد که یکی دارای ریشه کامل است، بازنویسی کنیم. این نکته را می‌توانیم برای تمام اعداد زیر رادیکال در این عبارت اعمال کنیم.

بنابراین با شکستن اعداد زیر هر رادیکال خواهیم داشت:

$$5sqrt{9 times 5} + 6sqrt{9 times 2} – 2sqrt{49 times 2} +sqrt{4 times 5}$$

طبق قاعده حاصل‌ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم هر رادیکال را به شکل زیر ساده‌تر کنیم:

$$5sqrt{9 } times sqrt{5 } + 6sqrt{9 } times sqrt{2 } – 2sqrt{49 } times sqrt{2 } +sqrt{4 } times sqrt{5 }$$

در عبارت بالا می‌توانیم خیلی از اعداد را از زیر رادیکال خارج کنیم و به‌صورت عدد صحیح بنویسیم:

$$15 sqrt{5 } + 18 sqrt{2 } – 14 sqrt{2 } +2 sqrt{5 }$$

حالا در عبارت بالا رادیکال‌های مشابه مشخص هستند. با مرتب کردن و قرار دادن جملات با رادیکال مشابه در کنار هم، به‌راحتی می‌توانیم این حاصل‌جمع را پیدا کنیم:

$$15 sqrt{5 } +2 sqrt{5 }+ 18 sqrt{2 } – 14 sqrt{2 } = (15+2) sqrt{5 }+ (18-14) sqrt{2 }$$

$$17 sqrt{5 }+ 4 sqrt{2 }$$

مثال ۴

حاصل‌جمع عبارت $$4sqrt[3]{54} – 9sqrt[3]{16} + 5 sqrt[3]{9}$$

پاسخ

با اینکه فرجه تمام رادیکال‌ها یکسان و مساوی با $$3$$ است، باز هم در نگاه اول هیچ رادیکال مشابهی نداریم. بنابراین با شکستن اعداد زیر هر رادیکال امکان اینکه به رادیکال‌های مشابه برسیم را امتحان می‌کنیم. اما نکته مهمی که باید به آن دقت کنیم این است که بر خلاف مثال قبل، در اینجا فرجه رادیکال‌ها مساوی با $$3$$ است. بنابراین لازم است اعداد زیر رادیکال را به اعدادی تبدیل کنیم که ریشه سوم کاملی داشته باشند.

مثلا اگر $$54$$ را به شکل $$9 times 6$$

$$4sqrt[3]{27times 2} – 9sqrt[3]{8times2} + 5 sqrt[3]{9}$$

دقت کنید $$sqrt[3]{9}$$

$$4sqrt[3]{27}timessqrt[3]{2} – 9sqrt[3]{8}timessqrt[3]{2} + 5 sqrt[3]{9}$$

با توجه به اینکه $$sqrt[3]{27}=3$$

$$12sqrt[3]{2} – 18sqrt[3]{2} + 5 sqrt[3]{9}$$

حالا در رابطه ساده شده بالا دو رادیکال کاملا مشابه هم داریم. پس می‌توانیم ضرایب این دو را با هم جمع کنیم:

$$(12 – 18)sqrt[3]{2} + 5 sqrt[3]{9} =-6sqrt[3]{2} + 5 sqrt[3]{9}$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

ساده کردن رادیکال‌ به توان دو

یکی دیگر از نمونه سوالاتی که ممکن است در فرآیند ساده کردن رادیکال ها با آن مواجه شویم، رادیکال به توان دو است. در این نمونه سوالات عموما لازم است از قواعد جمع و تفریق به همراه ضرب و تقسیم رادیکال‌ها با در نظر گرفتن خاصیت توزیع‌پذیری و تمام نکاتی که تا اینجا گفتیم، استفاده کنیم.

اما تکنیک جدیدی که گاهی نیاز داریم برای حل آسان‌تر این نوع مسائل بکار ببریم، استفاده از فرمول‌های اتحاد در ریاضی است. اگر تمایل دارید مرور مختصری به انواع اتحاد داشته باشید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «فرمول اتحاد در ریاضی – همه اتحاد ها + مثال و حل تمرین» از مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید.

مثال ۱

مجذور عبارت $$‌‌5sqrt{7} + sqrt{2}$$

پاسخ

می‌دانیم مجذور به معنای توان دو است. پس در حقیقت می‌خواهیم حاصل $$‌‌(5sqrt{7} + sqrt{2})^2$$

$$‌‌(5sqrt{7} + sqrt{2})^2=(5sqrt{7} + sqrt{2}) . (5sqrt{7} + sqrt{2})$$

$$‌‌(5sqrt{7}. + sqrt{2}) . (5sqrt{7} + sqrt{2}) = 5sqrt{7}.5sqrt{7} + 5sqrt{7}.sqrt{2} + sqrt{2}. 5sqrt{7} + sqrt{2}.sqrt{2}$$

در رابطه بالا اولین جمله از اولین پرانتز به‌ ترتیب در دو جمله پرانتز دوم ضرب شده است. همچنین دومین جمله از پرانتز اول هم در دو جمله پرانتز دوم ضرب شده است. در نهایت تمام این حاصل‌ضرب‌ها با هم جمع شده‌اند. با توجه به قاعدع ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم تمام اعداد زیر رادیکال‌ها را در هر جمله با هم ضرب کنیم. همچنین اعداد ساده هم در هر جمله با هم ضرب می‌شوند:

$$‌‌5sqrt{7}.5sqrt{7} + 5sqrt{7}.sqrt{2} + sqrt{2}. 5sqrt{7} + sqrt{2}.sqrt{2}= 25sqrt{49} + 5sqrt{14}+5sqrt{14} + sqrt{4}$$

اعداد زیر رادیکال در جمله اول و آخر مجذور کامل هستند و از زیر رادیکال خارج می‌شوند. همچنین دو جمله وسط با داشتن فاکتور رادیکالی کاملا مشابه، طبق قاعده جمع رادیکال‌ها با هم جمع می‌شوند:

$$‌‌ 25sqrt{49} + 5sqrt{14}+5sqrt{14} + sqrt{4} = 175 + (5+5) sqrt{14}+ 2= 177 +10 sqrt{14}$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید این روش زمان‌بر است و به همین علت احتمال خطای بالاتری هم دارد. راه‌‌حل مناسب‌تر این است که از فرمول اتحاد مربع کامل به شکل زیر استفاده کنیم که در آن $$‌‌ a$$ معادل با $$‌‌5sqrt{7}$$

$$‌‌ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$‌‌ (5sqrt{7} + sqrt{2})^2=(5sqrt{7})^2+2 times 5sqrt{7} timessqrt{2}+( sqrt{2})^2$$

$$‌‌(5sqrt{7})^2+2 times 5sqrt{7} timessqrt{2}+( sqrt{2})^2 = 25times7+10sqrt{7times2 }+ 2$$

$$‌‌ 25times7+10sqrt{7times2 }+ 2 = 177+10sqrt{14 }$$

در ساده‌سازی بالا می‌دانیم که برای مثال حاصل $$‌‌(sqrt{7} )^2$$

مثال ۲

ساده کردن رادیکال های ضرب شده زیر به چه عددی منجر می‌شود؟

$$‌‌ (8 – sqrt{5})(8 + sqrt{5})$$

پاسخ

برای پاسخ دادن به سوال بالا، اگر دقت کنیم می‌توانیم از فرمول اتحاد مزدوج استفاده کنیم که به شکل زیر است:

$$‌‌ (a+b) (a-b)=a^2-b^2$$

با در نظر گرفتن $$‌‌ 8$$ به‌عنوان $$‌‌ a$$ و $$‌‌ sqrt{5}$$

$$‌‌ (8 – sqrt{5})(8 + sqrt{5}) = 8^2 – ( sqrt{5})^2 = 64 – 5=59$$

ساده کردن رادیکال‌ های کسری

پس از اینکه آموختیم چگونه با کاربرد قواعد مربوط به چهار عمل اصلی و یا استفاده از اتحادها می‌توان فرآیند ساده کردن رادیکال ها را انجام داد، در این بخش چند نمونه سوال شامل عبارت‌های رادیکالی در قالب کسر را با هم حل می‌کنیم. به‌ویژه کاربرد قاعده تقسیم رادیکال‌ها در این بخش مهم است. ساده‌سازی چنین عباراتی با ساده کردن صورت و مخرج به‌صورت مجزا انجام می‌شود. در مرحله بعد کافی است جملات مشترک در صورت و مخرج را حذف کنیم تا پاسخ به‌دست آید.

مثال ۱

عبارت کسری $$‌‌ frac{-3+ sqrt{27}}{3}$$

پاسخ

در این مثال یک عبارت کسری داریم که مخرج آن نیاز به ساده کردن ندارد. در صورت کسر می‌توانیم با تجزیه عدد زیر رادیکال داشته باشیم:

$$‌‌ frac{-3+ sqrt{27}}{3} = frac{-3+ sqrt{9times3}}{3} = frac{-3+ 3sqrt{3}}{3}$$

حالا با فاکتورگیری از عدد $$‌‌ 3$$ در صورت و سپس ساده کردن صورت و مخرج با هم خواهیم داشت:

$$‌‌ frac{-3+ 3sqrt{3}}{3} = frac{3(-1 +sqrt{3})}{3}=sqrt{3} -1$$

مثال ۲

عبارت زیر را ساده کنید:

$$‌‌ frac{15 sqrt[3]{108}}{20 sqrt[3]{2}}$$

پاسخ

با توجه به اینکه ضرایب عددی در صورت و مخرج با هم ساده می‌شوند و اینکه می‌توانیم اعداد زیر رادیکال را طبق قاعده تقسیم رادیکال‌ها، زیر یک رادیکال ببریم، خواهیم داشت:

$$‌‌ frac{15 sqrt[3]{108}}{20 sqrt[3]{2}} = frac{3 }{4 } sqrt[3]{frac{108}{ 2}}$$

$$‌‌ frac{3 }{4 } sqrt[3]{frac{108}{ 2}} = frac{3 }{4 } sqrt[3]{54}=frac{3 }{4 } sqrt[3]{27times2}$$

می‌دانیم $$‌‌ sqrt[3]{27} = 3$$

$$‌‌frac{3 }{4 } sqrt[3]{27times2} = frac{9 }{4 } sqrt[3]{2}$$

تمرین

گویا کردن مخرج رادیکالی

یکی دیگر از مهم‌ترین بخش‌هایی که در ساده‌ کردن رادیکال ها اغلب استفاده می‌شود، گویا کردن مخرج رادیکالی است. با این روش در مخرج کسر اولیه دیگر رادیکال نخواهیم داشت. در این گونه مسائل باید عبارت رادیکالی را در کسری ضرب کنیم که صورت و مخرج آن یکسان و برابر با مخرج رادیکالی در صورت سوال است. برای مثال اگر عبارت رادیکالی ما به شکل $$frac{1}{sqrt{ 2} }$$

$$frac{1}{sqrt2 }= frac{1}{sqrt2 } times frac{sqrt2 }{sqrt2 }$$

که حاصل آن خواهد شد:

$$frac{1}{sqrt2 } times frac{sqrt2 }{sqrt2 }=frac{sqrt2 }{2 }$$

همچنین ممکن است با مسائلی به فرم زیر مواجه شویم که در مخرج جمع یا تفریق دو رادیکال را داریم. در این شرایط گویا کردن عبارت کسری رادیکالی با ضرب کردن صورت و مخرج در مزدوج مخرج به‌دست می‌آید:

$$frac{1}{sqrt2+sqrt3 }= frac{1}{sqrt2+sqrt3} times frac{sqrt2-sqrt3 }{sqrt2-sqrt3}$$

مزدوج مجموع دو رادیکال معادل است با اختلاف آن‌ها و مزدوج اختلاف دو رادیکال با مجموع آن‌ها برابر است. با حل مثال‌ها و تمرین‌های زیر، نکات این بخش را بهتر می‌آموزید.

مثال ۱

پاسخ ساده شده عبارت رادیکالی $$frac{6sqrt14}{12sqrt22 }$$

پاسخ

اعداد زیر رادیکال قابل تجزیه به اعدادی که بتوانیم آن‌ها را از زیر رادیکال خارج کنیم، نیستند. در نگاه اول با توجه به اینکه هر دو عدد زیر رادیکال دارای فرجه مشابهی هستند، پس می‌توانیم طبق قاعده هر دو را به زیر یک رادیکال ببریم. همچنین ضرایب عددی را می‌توانیم جداگانه با هم ساده کنیم:

$$frac{6sqrt14}{12sqrt22 } =frac{6}{12} timessqrt {frac{14}{22 }}$$

$$frac{6}{12} timessqrt {frac{14}{22 }} = frac{1}{2} timessqrt {frac{7}{11 }}$$

از اینجا به بعد اگر بخواهیم این کسر را ساده‌تر کنیم، می‌توانیم آن را گویا کنیم. با توجه به اینکه در مخرج $$sqrt{11 }$$

$$frac{1}{2}sqrt {frac{7}{11 }} = frac{1}{2}sqrt {frac{7}{11 }} times frac{ sqrt{11 } }{ sqrt{11 } }$$

با توجه به اینکه $$sqrt{11 } . sqrt{11 } = sqrt {11times11} = sqrt {121} =11$$

$$frac{1}{2}sqrt {frac{7}{11 }} . frac{ sqrt{11 } }{ sqrt{11 } }=frac{1}{2}frac{ sqrt{77 } }{ 11 }=frac{ sqrt{77 } }{ 22}$$

مثال ۲

مقدار نهایی عبارت $$frac{4 sqrt[3]{2}}{7 sqrt[3]{25}}$$

پاسخ

در این رابطه هیچ گونه ساده‌سازی دیگری نمی‌توان انجام داد. بنابراین در اولین مرحله می‌رویم سراغ گویا کردن عبارت کسری با مخرج رادیکالی. اما نکته مهم در اینجا این است که ضرب کردن عبارت بالا در کسر $$frac{sqrt[3]{25}}{ sqrt[3]{25}}$$

$$frac{4 sqrt[3]{2}}{7 sqrt[3]{25}} = frac{4 sqrt[3]{2}}{7 sqrt[3]{25}} times frac{sqrt[3]{5}}{ sqrt[3]{5}}$$

$$frac{4 sqrt[3]{2}}{7 sqrt[3]{25}} times frac{sqrt[3]{5}}{ sqrt[3]{5}} = frac{4}{ 7} frac{sqrt[3]{10}}{ sqrt[3]{125}}$$

پس عبارت $$5^3=25 Rightarrow sqrt[3]{125} =5$$

$$frac{4}{ 7} frac{sqrt[3]{10}}{ sqrt[3]{125}} = frac{4}{ 7} frac{sqrt[3]{10}}{5}= frac{4sqrt[3]{10}}{ 35}$$

مثال ۳

عبارت کسری رادیکالی زیر را به ساد‌ه‌ترین حالت ممکن بنویسید:

$$frac{2 sqrt{5}-3 sqrt{7}}{5 sqrt{6} + 4 sqrt{2}}$$

پاسخ

در این سوال مخرج کسر به‌صورت مجموع دو عبارت رادیکالی است. برای ساده کردن رادیکال های این سوال، می‌توانیم عبارت کسری داده شده را گویا کنیم. برای این کار، لازم است صورت و مخرج این کسر در مزدوج مخرج ضرب شود. مزدوج $$5 sqrt{6} + 4 sqrt{2}$$

$$frac{2 sqrt{5}-3 sqrt{7}}{5 sqrt{6} + 4 sqrt{2}} times frac{5 sqrt{6} – 4 sqrt{2}}{5 sqrt{6} – 4 sqrt{2}}$$

حالا مخرج دو کسر بالا می‌تواند با کاربرد اتجاد مزدوج ساده شود. صورت دو کسر نیز در هم ضرب می‌شوند. برای ضرب صورت‌ها، باید جملات صورت اولین کسر را به‌ترتیب در جملات صورت کسر دوم ضرب کنیم. محاسبات به شکل زیر خواهد بود:

$$frac{(2 sqrt{5}-3 sqrt{7})(5 sqrt{6} – 4 sqrt{2})}{(5 sqrt{6})^2 – (4 sqrt{2})^2 }$$

$$frac{(2 sqrt{5})(5 sqrt{6} )- (2 sqrt{5})(4 sqrt{2})-(3 sqrt{7})(5 sqrt{6})+(3 sqrt{7})(4 sqrt{2})}{(25 times 6) – (16times2) }$$

$$frac{10sqrt{30}- 8sqrt{10}-15sqrt{42}+12sqrt{14}}{(25 times 6) – (16times2) }$$

$$frac{10sqrt{30}- 8sqrt{10}-15sqrt{42}+12sqrt{14}}{118 }$$

ساده کردن رادیکال با تغییر فرجه آن

یکی دیگر از روش‌های ساده کردن رادیکال، تغییر دادن فرجه آن است. در برخی از سوالات نکته کاربردی برای به‌دست آوردن جواب در ساده‌ترین حالت ممکن این است که فرجه رادیکال را به طریقی تغییر دهیم. معمولا لازم است در اولین مرحله عبارت زیر رادیکال را از رادیکال خارج کرده و به شکل یک عبارت توانی آن را بازنویسی کنیم. قاعده‌ای که به ما چنین امکانی را می‌دهد، به‌صورت زیر است:

$$sqrt[n]{a^m} = a^ {frac{m}{n} } = ( sqrt[n]{a} )^m$$

سپس اگر امکان ساده‌سازی توان‌ها با ضرب کردن وجود داشته باشد، می‌توانیم عبارت اولیه را به شکل یک عبارت رادیکالی کاهش یافته بنویسیم. این فرآیند معادل این است که فرجه و توان عبارت زیر رادیکال را به شکل زیر در نظر بگیریم. در این صورت با حذف فاکتور مشابه $$m$$، می‌توانیم فرجه رادیکال را تغییر دهیم. با حل مثال‌های زیر بهتر متوجه خواهید شد که چگونه می‌توان این تکنیک‌ را استفاده کرد.

$$sqrt[mn]{a^{mp}} = sqrt[n]{a^{p}}$$

مثال ۱

عبارت رادیکالی زیر را به‌صورت یک رادیکال کاهش یافته با ریشه $$4$$ بازنویسی کنید:

$$sqrt[8]{x^6y^2}$$

پاسخ

در این مدل از سوالات، ابتدا باید رادیکال داده شده را به شکل توانی آن بازنویسی کنیم. بنابراین لازم است از قاعده زیر استفاده شود:

$$sqrt[n]{a^m} = a^ {frac{m}{n} } = ( sqrt[n]{a} )^m$$

در اینجا به‌جای $$a$$، عبارت جبری $$x^6y^2$$

$$sqrt[8]{x^6y^2} = (x^6y^2)^ {frac{1}{8}}$$

در مرحله بعد، می‌توانیم توان هر کدام از متغیرهای $$x$$ و $$y$$ را در $$frac{1}{8}$$

$$(x^6y^2)^ {frac{1}{8}} = x^{frac{6}{8}} y^{frac{2}{8}} = x^{frac{3}{4}} y^{frac{1}{4}}$$

با استفاده معکوس از قاعده‌ای که در اولین مرحله بکار بردیم، عبارت صورت سوال با ریشه $$4$$ بازنویسی شده است:

$$x^{frac{3}{4}} y^{frac{1}{4}} = (x^3y)^{frac{1}{4}} = sqrt[4]{x^3y}$$

مثال ۲

عبارت رادیکالی $$sqrt[24]{a^6b^9c^{15}}$$

پاسخ

ساده‌سازی این عبارت هم مانند مثال قبل انجام می‌شود. اما در این سوال از روش دوم استفاده می‌کنیم که راحت‌تر است. با تفکیک فرجه به دو عدد $$3 times 8$$

$$sqrt[24]{a^6b^9c^{15}} = sqrt[3.8]{a^{3.2}b^{3.3}c^{3.5}}$$

با حذف فاکتورهای مشترک $$3$$ خواهیم داشت:

$$sqrt[8]{a^{2}b^{3}c^{5}}$$

مثال ۳

کاهش یافته عبارت $$sqrt[9]{8m^{6}n^{3}}$$

پاسخ

باز هم با پیدا کردن یک عامل مشترک بین توان‌ متغیرها و فرجه رادیکال، می‌توانیم ساده شده یا کاهش یافته عبارت بالا را محاسبه کنیم. فقط در این سوال یک عدد هم زیر رادیکال داریم که لازم است آن را هم به شکل توانی بنویسیم. با توجه به اینکه می‌دانیم $$2^3 = 8$$

$$sqrt[9]{8m^{6}n^{3}} = sqrt[9]{2^3m^{6}n^{3}} = sqrt[3.3]{2^{3.1}m^{3.2}n^{3.1}}$$

با حذف فاکتورهای مشترک کاهش یافته عبارت رادیکالی در سوال پیدا می‌شود:

$$sqrt[3]{2^{1}m^{2}n^{1}}= sqrt[3]{2m^{2}n}$$

مثال ۴

عبارتی معادل با $$sqrt[3]{ab^2}. sqrt[4]{a^2b}$$

پاسخ

دقت کنید در این سوال چون دو عبارت رادیکالی با فرجه‌های مختلف در هم ضرب شده‌اند، پس نمی‌توانیم عبارت‌های زیر دو رادیکال را در هم ضرب کرده و از یک رادیکال برای همه استفاده کنیم. به‌عبارت دیگر، قاعده ضرب رادیکال‌ها در اینجا قابل استفاده نیست. اگر بخواهیم با توجه به روش‌های گفته شده در این بخش پیش برویم، بهتر است ابتدا فرم توانی هر کدام از عبارت‌های زیر رادیکال را بنویسیم:

$$sqrt[3]{ab^2}. sqrt[4]{a^2b} = (ab^2)^{frac{1}{3}} . (a^2b)^{frac{1}{4}}$$

حالا با ضرب کردن هر کدام از متغیرها در توان مشخص شده، خواهیم داشت:

$$(ab^2)^{frac{1}{3}} . (a^2b)^{frac{1}{4}} = a^{frac{1}{3}} b^{frac{2}{3}} a^{frac{2}{4}} b^{frac{1}{4}}$$

$$a^{frac{1}{3}} b^{frac{2}{3}} a^{frac{2}{4}} b^{frac{1}{4}} = a^{frac{4}{12}} b^{frac{8}{12}} a^{frac{6}{12}} b^{frac{3}{12}}$$

پس از اینکه مخرج همه توان‌ها برابر با عدد $$12$$ شد، می‌توانیم از این عامل فاکتور بگیریم و با درج آن در فرجه، شکل رادیکالی عبارت بالا را بنویسیم:

$$a^{frac{4}{12}} b^{frac{8}{12}} a^{frac{6}{13}} b^{frac{3}{12}} = (a^4 b^8 a^6 b^3)^{frac{1}{12}}$$

همچنین طبق قواعد ضرب اعداد توان‌دار، پایه‌های مشابه با توان متفاوت اگر در هم ضرب شوند، حاصل برابر است با پایه مشترکی با مجموع توان‌ها. پس خواهیم داشت:

$$(a^4 b^8 a^6 b^3)^{frac{1}{12}} = sqrt[12]{a^4 b^8 a^6 b^3} = sqrt[12]{a^{10} b^{11}}$$

بنابراین در اینجا می‌توانیم به این نتیجه برسیم که اگر خواستیم دو عبارت رادیکالی با فرجه‌های مختلف را در هم ضرب کنیم، می‌توانیم با پیدا کردن یک عامل مشترک و یکسان کردن فرجه‌ها طبق قاعده ضرب رادیکال‌ها پیش برویم. برای مثال فرض کنید در حالت کلی با ضرب دو رادیکال به شکل زیر روبرو هستید:

$$sqrt[n]{a} . sqrt[p]{b}$$

در این صورت با پیدا کردن عامل مشترکی به‌ نام $$m$$ که برای آن همواره $$m = nr$$

$$sqrt[n]{a} . sqrt[p]{b} = sqrt[m]{a^r} . sqrt[m]{b^t}$$

ملاحظه می‌کنید که حالا برای دو رادیکال فرجه یکسانی داریم. پس می‌توانیم آن‌ها طبق قاعده ضرب رادیکال‌ها را در هم ضرب کنیم:

$$sqrt[n]{a} . sqrt[p]{b} = sqrt[m]{a^r} . sqrt[m]{b^t} = sqrt[m]{a^rb^t}$$

مثال ۵

ساده شده عبارت کسری زیر را به‌دست آورید:

$$frac{sqrt[6]{x^{4} y^{3} z^{2}} }{sqrt[8]{x^{7} y^{2} z}}$$

پاسخ

در این سوال با یک عبارت کسری رادیکالی روبرو هستیم که باز هم امکان ساده‌سازی و قرار دادن کل این عبارت زیر یک رادیکال وجود ندارد، چون فرجه‌ها یکسان نیستند. پس اولین قدم یکی کردن فرجه‌ها با پیدا کردن یک عامل مشترک بین دو فرجه $$6$$ و $$8$$ است. این عامل مشترک عدد $$24$$ است. بنابراین فرجه و توان‌های صورت را در عدد $$4$$ و فرجه و توان‌های مخرج را در عدد $$3$$ ضرب می‌کنیم:

$$frac{sqrt[6.4]{x^{4.4} y^{3.4} z^{2.4}} }{sqrt[8.3]{x^{7.3} y^{2.3} z^{1.3}}}$$

$$frac{sqrt[24]{x^{16} y^{12} z^{8}} }{sqrt[24]{x^{21} y^{6} z^{3}}}$$

حالا می‌توانیم کل عبارت را زیر یک رادیکال قرار دهیم و ساده‌سازی را با استفاده از قواعد تقسیم اعداد توان‌دار انجام دهیم. می‌دانیم اگر دو عدد توان‌دار با پایه‌های مشترک به هم تقسیم شوند، حاصل برابر است با پایه مشترک با توانی برابر با اختلاف توان‌ها:

$$sqrt[24] {frac{x^{16} y^{12} z^{8} }{x^{21} y^{6} z^{3}}} = sqrt[24] {frac{x^{16} y^{12} z^{8} }{x^{21} y^{6} z^{3}}}$$

تمرین ۱

تمرین ۲

حل مثال و تمرین از ساده کردن رادیکال ها

در این بخش به آسان‌ترین مثال‌هایی که در زمینه ساده کردن رادیکال ها وجود دارند، خواهیم پرداخت.

مثال ۱

عبارت $$sqrt{75}$$

پاسخ

برای ساده‌ کردن رادیکال در این سوال می‌توانیم در اولین گام از قانون شکستن عدد زیر رادیکال به دو عدد با همان فرجه شروع کنیم. بهتر است تا حد امکان عدد $$75$$ را به دو عددی که یکی ریشه کامل دارد، تجزیه کنیم. برای مثال $$75 = 25 times 3$$

$$sqrt{75} = sqrt{25} times sqrt{3}= 5 sqrt{3}$$

این عبارت ساده‌ترین حالتی است که می‌توانیم برای $$sqrt{75}$$

مثال ۲

عبارت $$5sqrt{63}$$

پاسخ

در این مثال یک عدد دیگر هم در عدد رادیکالی ضرب شده است. بدون توجه به این عدد، باز هم سعی می‌کنیم عدد زیر رادیکال را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم که یکی حتما ریشه کامل دارد:

$$5sqrt{63} = 5 sqrt{9times7} = 5 sqrt{9}times sqrt{7}= 15sqrt{7}=$$

مثال ۳

عبارت $$frac{1}{ (sqrt[3]{xy^3})^2 }$$

پاسخ

در این سوال عبارت زیر رادیکال بر حسب متغیرهای نامعلوم است. اما باز هم امکان ساده‌سازی وجود دارد. اولین نکته‌ای که بلافاصله به ذهن می‌رسد، ساده کردن توان و ریشه سوم در مورد متغیر $$y$$ است. بدون در نظر گرفتن سایر عوامل مانند در مخرج بودن این عبارت یا توان دوم آن، با در نظر گرفتن بخش زیر و استفاده از قاعده حاصل‌ضرب خواهیم داشت:

$$sqrt[3]{xy^3} = sqrt[3]{x} times sqrt[3]{y^3}$$

حالا با استفاده از قانون نهم، خواهیم داشت:

$$sqrt[3]{x} times sqrt[3]{y^3} =x^{frac{1}{3}} times y ^{frac{3}{3}} = yx^{frac{1}{3}}$$

پس این عبارت ساده شده را در عبارت اصلی جایگزین می‌کنیم:

$$frac{1}{ (yx^{frac{1}{3}})^2 }$$

باز هم امکان ساده‌سازی بیشتر وجود دارد، اگر اثر توان دوم و مخرج بودن را در عبارت جبری اعمال کنیم:

$$frac{1}{ (yx^{frac{1}{3}})^2 } =(yx^{frac{1}{3}})^{-2} =y^{-2} x^{frac{-2}{3}}$$

می‌دانیم که اگر عبارت توان‌داری در مخرج یک کسر به صورت آن منتقل شود، باید توان آن منفی شود.

مثال ۴

عبارت عددی $${27}^{frac{-4}{3}}$$

پاسخ

در سوال بالا رادیکال نداریم. اما اگر بخواهیم آن را ساده کنیم، باید آن را به شکل رادیکالی بنویسیم. ابتدا علامت منفی در توان را اثر می‌دهیم:

$${27}^{frac{-4}{3}} = frac{1}{{27}^{frac{4}{3}}}$$

در مرحله بعدی توانی که به شکل کسر است را در قالب توان عدد زیر رادیکال و فرجه می‌نویسیم (عکس قانون نهم):

$$frac{1}{{27}^{frac{4}{3}}} = frac{1}{sqrt[3]{27^4}}$$

در این قسمت می‌توانیم از قانون دهم استفاده کنیم:

$$frac{1}{sqrt[3]{27^4}} = frac{1}{(sqrt[3]{27})^4}$$

حالا عدد زیر رادیکال با فرجه سه یک ریشه کامل دارد و می‌توانیم این رادیکال را حذف کنیم:

$$sqrt[3]{27} = 3 Rightarrow frac{1}{(sqrt[3]{27})^4} = frac{1}{3^4} = frac{1}{81}$$

مثال ۵

اگر بخواهیم به ساده کردن رادیکال $$-5 sqrt{18x^4y^6z^{10}}$$

پاسخ

در این سوال عبارتی شامل حاصل‌ضرب اعداد در سه متغیر مختلف داریم. با تجزیه عدد زیر رادیکال به دو مولفه که یکی ریشه کامل دارد و سپس استفاده از قاعده حاصل‌ضرب خواهیم داشت:

$$-5 sqrt{18x^4y^6z^{10}} = -5 timessqrt{9times2 } times sqrt{x^4} times sqrt{y^6} times sqrt{z^{10}}$$

$$-5 timessqrt{9 }times sqrt{2 } times sqrt{x^4} times sqrt{y^6} times sqrt{z^{10}}$$

پس بخش اول این عبارت از زیر رادیکال خارج شد. در ادامه با کاربرد قانون نهم می‌توانیم عبارت بالا را ساده‌تر کنیم:

$$-15 sqrt{2 } times x^{frac{4}{2}} times y^{frac{6}{2} } times z^{frac{10}{2}}$$

$$-15 sqrt{2 } x^{2} y^{3 } z^{5}$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

یادگیری ریاضی عمومی با فرادرس

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس و پس از اینکه کاملا با روند ساده کردن رادیکال ها آشنا شدید، قصد داریم چند فیلم آموزشی در زمینه ریاضیات عمومی دانشگاهی به شما معرفی کنیم. در این دور‌ه‌های آموزشی فرادرس نیز مباحث مرتبط با ساده‌سازی یا انجام عملیات مختلف روی عبارت‌های رادیکالی وجود دارد. بنابراین اگر تمایل دارید این مبحث را در حد سطوح دانشگاهی ادامه دهید، پیشنهاد می‌کنیم فیلم‌های زیر را مشاهده کنید:

1. فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد فرادرس
3. فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ فرادرس

رادیکال زیر رادیکال

در ادامه یادگیری مبحث ساده کردن رادیکال ها، ممکن است با مسائلی روبرو شویم که در آن‌ها یک رادیکال زیر رادیکال دیگری قرار گرفته است. برای اینکه روش ساده کردن چنین عبارت‌هایی را بیازموزید، به مثال‌ زیر توجه کنید:

مثال

عبارت رادیکالی زیر را ساده کنید:

$$‌‌ frac{sqrt{sqrt[3]{2}}}{sqrt[4]{sqrt{5}} – sqrt[4]{sqrt{3}}}$$

پاسخ

در این سوال هم در صورت کسر و هم در مخرج آن، یک رادیکال زیر رادیکال دیگر داریم. بهترین راه برای ساده کردن رادیکال های این چنین این است که عدد زیر دو رادیکال را به‌صورت یک عدد توان‌دار بازنویسی کنیم:

$$‌‌ frac{(2^{frac{1}{3}})^{frac{1}{2}}}{ (5^{frac{1}{4}})^{frac{1}{2}}- (3^{frac{1}{4}})^{frac{1}{2}}}$$

با ضرب کردن توان‌ها در هم، خواهیم داشت:

$$‌‌ frac{2^{frac{1}{6}}}{ 5^{frac{1}{8}}- 3^{frac{1}{8}}}$$

عبارت بالا را می‌توانیم بیشتر ساده کنیم. مزدوج عبارتی که در مخرج کسر بالا وجود دارد، برابر است با:

$$‌‌ 5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}$$

پس اگر صورت و مخرج کسر بالا را در این عبارت مزدوج ضرب کنیم، خواهیم داشت:

$$frac{2^{frac{1}{6}}}{ 5^{frac{1}{8}}- 3^{frac{1}{8}}} times frac{5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}}{ 5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}}$$

حاصل‌ضرب مخرج دو کسر بالا را می‌توانیم با بکارگیری اتحاد مزدوج محاسبه کنیم:

$$frac{2^{frac{1}{6}} (5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}})}{ 5^{frac{1}{4}}- 3^{frac{1}{4}}}$$

بار دیگر کسر بالا را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم. در حقیقت این کار را تا جایی تکرار می‌کنیم که مخرج به‌صورت یک عدد توانی نباشد:

$$frac{2^{frac{1}{6}} (5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}})}{ 5^{frac{1}{4}}- 3^{frac{1}{4}}} times frac{5^{frac{1}{4}} + 3^{frac{1}{4}}}{ 5^{frac{1}{4}} + 3^{frac{1}{4}}}$$

$$frac{2^{frac{1}{6}} (5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}) (5^{frac{1}{4}} + 3^{frac{1}{4}})}{ 5^{frac{1}{2}}- 3^{frac{1}{2}}}$$

$$frac{2^{frac{1}{6}} (5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}) (5^{frac{1}{4}} + 3^{frac{1}{4}})}{ 5^{frac{1}{2}}- 3^{frac{1}{2}}} times frac{5^{frac{1}{2}} + 3^{frac{1}{2}}}{ 5^{frac{1}{2}} + 3^{frac{1}{2}}}$$

$$frac{2^{frac{1}{6}} (5^{frac{1}{8}} + 3^{frac{1}{8}}) (5^{frac{1}{4}} + 3^{frac{1}{4}})(5^{frac{1}{2}} + 3^{frac{1}{2}})}{ 2}$$