مثلا ۳.۱: پیدا کردن جمله عمومی دنباله درجه دو

جمله nام دنباله $$[5, 12, 23, 28, ldots]$$

برای شروع حل این سوال، ابتدا اختلاف بین جمله‌های متوالی دنباله را به دست می‌آوریم:

$$5 to ^ {+7} 12 to ^ {+11} 23 to ^ {+15} 38$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، اختلاف بین اعداد متوالی، برابر نیست. بنابراین، دنباله مورد سوال، درجه یک محسوب نمی‌شود. اکنون، اختلاف بین اختلاف‌ها را به دست می‌آوریم:

$$7 to ^ { + 4 } 11 to ^ { + 4 } 15$$

در مرحله دوم، اختلاف‌ بین اعداد متوالی، برابر شد. بنابراین، دنباله مورد سوال، یک دنباله درجه دو است. جمله عمومی دنباله‌های درجه دو با فرم کلی زیر نوشته می‌شود:

$$T _ n = a n ^ 2 + b n + c$$

n، شماره جمله مورد نظر از دنباله را نمایش می‌دهد. به عنوان مثال، $$T _ 1$$

$$5, 12, 23, 28, ldots$$

$$7, 11, 15, ldots$$

$$4, 4 , ldots$$

 پس از نوشتن اعداد بالا، اولین جمله در $$4, 4 , ldots$$

$$2 a = 4$$

$$a = 2$$

به ترتیب، ضرب a در جمله عمومی به دست می‌آید. در مرحله بعد، اولین عدد در $$7, 11, 15, ldots$$

$$3 a + b = 7$$

$$3 ( 2 ) + b = 7$$

$$6 + b = 7$$

$$b = 7 – 6$$

$$b = 1$$

پس از تعیین ضریب b، به سراغ محاسبه ضریب c می‌رویم. به این منظور، اولین عدد دنباله را برابر با a+b+c (یعنی عدد ۵) قرار می‌دهیم:

$$a + b + c = 5$$

$$2 + 1 + c = 5$$

$$3 + c = 5$$

$$c = 5 – 3$$

$$c = 2$$

در آخرین مرحله، ضرایب به دست آمده را درون فرمول جمله عمومی دنباله درجه دو جایگذاری می‌کنیم:

$$T _ n = a n ^ 2 + b n + c$$

$$a = 2$$

$$b = 1$$

$$c = 2$$

$$T _ n = 2 n ^ 2 + n + 2$$

برای اطمینان از جمله عمومی به دست آمده، جمله پنجم را به کمک آن محاسبه می‌کنیم:

$$T _ 5 = 2 ( 5 ) ^ 2 + 5 + 2$$

$$T _ 5 = 50 + 5 + 2$$

$$T _ 5 = 57$$

جمله پنجم دنباله برابر با ۵۷ است. اگر این عدد را کنار جمله‌های دیگر قرار دهید و اختلاف‌ها را به دست بیاورید، متوجه صحت رابطه جمله عمومی خواهید شد.

۴.۱. دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی

دنباله‌ها مجموعه‌ای از اعداد هستند که با ترتیب خاصی در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. این مجموعه‌ها به دو دسته اصلی دنباله‌های حسابی و دنباله‌های هندسی تقسیم می‌شوند:

• در دنباله‌های حسابی، هر جمله حاصل‌جمع جمله قبلی با یک عدد ثابت است.
• در دنباله‌های هندسی، هر جمله (به جز جمله اول)، حاصل ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و غیر صفر است.

به عنوان مثال، اگر حقوق فردی در ابتدای هر سال، ۵ میلیون تومان افزایش پیدا کند، مجموعه حقوق‌های دریافتی او در ابتدای هر سال، یک دنباله حسابی خواهد بود. در صورت افزایش ۲۰ درصدی حقوق این شخص در ابتدای هر سال (ضرب حقوق سال قبل در عدد ۱/۲)، مجموعه حقوق‌های دریافتی وی در ابتدای هر سال، به یک دنباله هندسی تبدیل می‌شود. جمله عمومی دنباله هندسی عبارت است از:

$$t _ n = t _ 1 + ( n – 1 ) d$$

• $$t _ n$$
• $$t _ 1$$
• $$n$$: شماره جمله nام
• $$d$$: قدر نسبت دنباله حسابی

جمله nام دنباله هندسی از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$t _ n = t _ 1 r ^ { n – 1 }$$

• $$t _ n$$
• $$t _ 1$$
• $$n$$: شماره جمله nام
• $$r ne 0$$

مثال ۴.۱: تعیین جمله اول دنباله هندسی

جمله سوم و پنجم یک دنباله هندسی به ترتیب برابر با ۹ و ۸۱ است. جمله اول و قدر نسبت این دنباله را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن جمله اول و قدر نسبت یک دنباله هندسی، ابتدا، فرمول جمله عمومی آن را می‌نویسیم:

$$t _ n = t _ 1 r ^ { n – 1 }$$

می‌دانیم جمله سوم دنباله برابر با ۹ است. بنابراین، داریم:

$$t _ 3 = t _ 1 r { 3 – 1 } = 9$$

$$t _ 1 = frac { 9 } { r ^ 2 }$$

همین کار را برای جمله پنجم تکرار می‌کنیم:

$$t _ 5 = t _ 1 r { 5 – 1 } = 81$$

$$t _ 1 = frac { 81 } { r ^ 4 }$$

دو عبارت آمده برای جمله اول را برابر با یکدیگر قرار می‌دهیم:

$$frac { 9 } { r ^ 2 } = frac { 81 } { r ^ 4 }$$

$$frac { r ^ 4 } { r ^ 2 } = frac { 81 } { 9 }$$

$$r ^ 2 = 9$$

$$r = 3$$

بنابراین، قدر نسبت دنباله برابر با ۳ است. این قدر نسبت را درون یکی از رابطه‌های به دست آمده برای جمله اول جایگذاری می‌کنیم:

$$t _ 1 = frac { 9 } { r ^ 2 }$$

$$t _ 1 = frac { 9 } { 3 ^ 2 }$$

$$t _ 1 = frac { 9 } { 9 }$$

$$t _ 1 = 1$$

در نتیجه، جمله اول دنباله برابر با ۱ است. رابطه جمله nام این دنباله هندسی (به غیر از جمله اول) به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$T _ n = r ^ { n – 1 }$$

فرادرس، یک فیلم آموزشی جامع را با عنوان «آموزش ریاضی پایه دهم مخصوص رشته‌های تجربی و ریاضی» تهیه کرده است که می‌تواند مسیر یادگیری فرمول های ریاضی دهم تجربی و تسلط شما بر حل مسائل مرتبط با این فرمول‌ها را هموار کند. لینک مشاهده این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است:

۲. مثلثات: فرمول های فصل دوم ریاضی دهم تجربی

فصل دوم کتاب ریاضی دهم تجربی، طی سه درس با عناوین زیر، به آموزش مبحث مثلثات می‌پردازد:

1. نسبت‌های مثلثاتی
2. دایره مثلثاتی
3. روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

خلاصه‌ای از تعاریف و فرمول های مهم فصل دوم ریاضی دهم تجربی را در جدول زیر مشاهده می‌کنید.

۱.۲. فرمول های نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم تجربی

مثلثات، شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی روابط بین زوایا و اضلاع مثلث می‌پردازد. حوزه‌های مختلفی نظیر مهندسی، نقشه‌برداری، فیزیک و نجوم، از مبانی این علم برای اندازه‌گیری فاصله استفاده می‌کنند. در مثلثات، چهار تابع مهم به نام‌های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت وجود دارند. این توابع مثلثاتی، نسبت ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه به زاویه‌های آن را نمایش می‌دهند.

محاسبه مساحت مثلث با استفاده از سینوس، یکی از کاربردهای علم مثلثات است. فرمول مساحت مثلث با سینوس در ریاضی دهم تجربی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { 1 }{ 2 } times AB times BC times sin { B }$$

• AB: طول یکی از ضلع‌های مثلث
• BC: طول یکی دیگر از ضلع‌های مثلث
• B: زاویه بین دو ضلع AB و BC

در صورت عدم دسترسی به ماشین‌حساب، برای محاسبه سینوس زاویه بین دو ضلع مثلث می‌توانید از جدول سینوس کسینوس کمک بگیرید.

مثال ۱.۲: محاسبه مساحت مثلث با سینوس

اندازه دو ضلع از یک مثلث مختلف‌الاضلاع برابر با ۳ و ۵ سانتی‌متر است. اگر زاویه بین این دو ضلع برابر با ۷۵ درجه باشد، مساحت مثلث چقدر خواهد بود؟ (سینوس زاویه ۷۵ درجه را برابر با ۰/۹۶ در نظر بگیرید.)

برای به دست آوردن مساحت یک مثلث از روی اندازه دو ضلع و زاویه بین آن‌ها، ابتدا فرمول زیر را می‌نویسیم:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { 1 }{ 2 } times AB times BC times sin { B }$$

• $$AB$$: طول یکی از ضلع‌های مثلث برابر با ۳ سانتی‌متر
• $$BC$$: طول یکی دیگر از ضلع‌های مثلث برابر با ۵ سانتی‌متر
• $$B$$: زاویه بین دو ضلع $$AB$$ و $$BC$$ برابر با ۷۵ درجه

مقادیر معلوم را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { 1 }{ 2 } times 3 times 5 times sin { 75 ^ { circ } }$$

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = frac { 1 }{ 2 } times 3 times 5 times 0/96$$

$$stackrel{Delta}{mathrm{ABC}} = 7/2$$

در نتیجه، مساحت مثلث مورد سوال برابر با ۷/۲ سانتی‌متر مربع است.

۲.۲. فرمول های دایره مثلثاتی در ریاضی دهم تجربی

یکی از متداول‌ترین ابزارهای دنیای مثلثات، دایره مثلثاتی است. این دایره، به منظور اندازه‌گیری و نمایش نسبت‌های مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرد. از ویژگی‌های دایره مثلثاتی می‌توان به شعاع واحد و قرارگیری مرکز آن بر روی نقطه (۰ ,۰) در دستگاه مختصات اشاره کرد. محورهای افقی و عمودی دستگاه مختصات، دایره مثلثاتی را به چهار ناحیه برابر یا اصطلاحا ربع تقسیم می‌کنند.

بخش سمت راست در محور افقی، مبدا و زاویه ۰ دایره مثلثاتی است. اندازه‌گیری زاویه‌های مثبت، در جهت پادساعتگرد انجام می‌گیرد. به عنوان مثال، ربع اول دایره مثلثاتی در جهت پادساعتگرد، زاویه ۰ تا ۹۰ درجه را دربرمی‌گیرد. اگر از زاویه ۰ در جهت ساعتگرد حرکت کنیم، اندازه‌گیری زاویه، منفی می‌شود. بنابراین، ربع چهارم دایره مثلثاتی در جهت پادساعتگرد، شامل زاویه‌های ۰ تا ۹۰- درجه است. علامت توابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت)، با توجه به ناحیه قرارگیری آن‌ها مشخص می‌شود. برای حفظ کردن این علامت‌ها، عبارت «هستک» را به خاطر بسپارید:

• ه (همه): در ربع اول، علامت همه توابع مثلثاتی مثبت است.
• س (سینوس): در ربع دوم، علامت سینوس مثبت بوده و علامت دیگر توابع مثلثاتی منفی است.
• ت (تانژانت و کتانژانت): در ربع سوم، علامت تانژانت و کتانژانت مثبت بوده و علامت سینوس و کسینوس منفی است.
• ک (کسینوس): در ربع چهارم، علامت کسینوس مثبت بوده و علامت دیگر توابع مثلثاتی منفی است.

رابطه کلی معادله خط در نظر بگیرید:

$$y = m x + b$$

• $$m$$: شیب خط
• $$b$$: عرض از مبدا خط

از کاربردهای تابع تانژانت، اندازه‌گیری شیب خط است. فرمول شیب خط با استفاده از تانژانت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$m = tan alpha$$

• α: زاویه‌ای که خط با محور افقی دستگاه مختصات می‌سازد.

مثال ۲.۲: تعیین ربع زاویه

هر یک از زاویه‌های زیر، در کدامیک از ربع‌های دایره مثلثاتی قرار می‌گیرند؟

• زاویه ۳۰ درجه
• زاویه ۶۵- درجه
• زاویه ۱۸۲- درجه
• زاویه ۹۵ درجه

برای مشخص کردن ربع قرارگیری هر زاویه، نیمه سمت راست محور x را به عنوان مبدا (زاویه ۰ درجه) در نظر می‌گیریم. جهت ساعتگرد، زاویه‌های مثبت و جهت پادساعتگرد، زاویه‌های منفی را نمایش می‌دهد. زاویه ۳۰ درجه، در ربع اول دایره مثلثاتی قرار دارد؛ زیرا این زاویه بین ۰ تا ۹۰ درجه (در جهت مثبت) است. زاویه ۶۵-، در ربع چهارم دایره مثلثاتی قرار دارد؛ زیرا این زاویه، بین ۰ تا ۹۰- درجه (در جهت منفی) است. بر همین اساس، زاویه‌های ۱۸۲- و ۹۵، هر دو در ربع دوم دایره مثلثاتی قرار می‌گیرند.

۳.۲. فرمول های روابط بین نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم تجربی

از ساده‌‌ترین روابط بین نسبت‌های مثلثاتی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$tan ( alpha ) = frac { sin ( alpha )}{ cos ( alpha )}$$

$$cot ( alpha ) = frac { cos ( alpha )}{ sin ( alpha )}$$

 $$sec ( alpha ) = frac { 1 }{ cos ( alpha )}$$

 $$csc ( alpha ) = frac { 1 }{ sin ( alpha )}$$

روابط بین نسبت‌های مثلثاتی و قوانین مثلثات، با عنوان اتحادهای مثلثاتی شناخته می‌شوند. اتحادهای مثلثاتی مختلفی در کتاب ریاضی دهم تجربی معرفی شده‌اند که یکی از مهم‌ترین آن‌ها عبارت است از:

$$sin ^ 2 ( theta ) + cos ^ 2 ( theta ) = 1$$

این رابطه با عنوان قضیه فیثاغورس در مثلثات شناخته می‌شود و کاربرد بسیار زیادی در حل مسائل مرتبط با توابع مثلثاتی و ساده‌سازی آن‌ها دارد. از دیگر روابط مثلثاتی مهم ریاضی دهم تجربی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$tan ^ 2 { ( alpha ) } + 1 = frac { 1 } { cos ^ 2 { ( alpha ) } }$$

$$1 + cot ^ 2 { ( alpha ) } = frac { 1 } { sin ^ 2 { ( alpha ) } }$$

مثال ۳.۲: اثبات درستی روابط بین نسبت های مثلثاتی

درستی رابطه $$frac { 1 } { cos ( x ) } – tan ( x ) = frac { cos ( x ) } { 1 + sin ( x ) }$$

برای اثبات درستی $$frac { 1 } { cos ( x ) } – tan ( x ) = frac { cos ( x ) } { 1 + sin ( x ) }$$

$$frac { 1 } { cos ( x ) } – tan ( x )$$

در این عبارت مثلثاتی، می‌توانیم تابع تانژانت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$tan ( x ) = frac { sin ( x )}{ cos ( x ) }$$

به این ترتیب، خواهیم داشت:

$$frac { 1 } { cos ( x ) } – frac { sin ( x )}{ cos ( x ) }$$

از دو جمله مخرج مشترک می‌گیریم:

$$frac { 1 – sin ( x ) } { cos ( x ) }$$

صورت و مخرج را در $$1 + sin ( x )$$

$$frac { 1 – sin ( x ) } { cos ( x ) } times frac { 1 + sin ( x ) }{ 1 + sin ( x ) }$$

صورت کسر، یک اتحاد مزدوج را نمایش می‌دهد که جواب آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$frac { 1 – sin ^ 2 ( x ) } { cos ( x ) [ 1 + sin ( x ) ] }$$

می‌دانیم که:

$$sin ^ 2 ( x ) + cos ^ 2 ( x ) = 1$$

$$cos ^ 2 ( x ) = 1 – sin ^ 2 ( x )$$

بنابراین:

$$frac { 1 – sin ^ 2 ( x ) } { cos ( x ) [ 1 + sin ( x ) ] } = frac { cos ^ 2 ( x ) } { cos ( x ) [ 1 + sin ( x ) ] }$$

$$frac { 1 – sin ^ 2 ( x ) } { cos ( x ) [ 1 + sin ( x ) ] } = frac { cos ( x ) } { 1 + sin ( x ) }$$

در نتیجه:

$$frac { 1 } { cos ( x ) } – tan ( x ) = frac { cos ( x ) } { 1 + sin ( x ) }$$

به این ترتیب توانستیم درستی رابطه مورد سوال را اثبات کنیم.

چگونه فرمول های ریاضی دهم تجربی را سریع با فرادرس یاد بگیریم؟

یادگیری و تسلط بر روی فرمول های ریاضی دهم تجربی، نیازمند تقویت پایه و حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع است. برای تقویت پایه، باید به سراغ منابعی بروید که نکات تئوری دروس مختلف را به خوبی توضیح داده باشد. به منظور تسلط بر مهارت حل مسئله نیز باید با مثال‌های متعدد رو به رو شوید و روش‌های حل آن‌ها را به صورت گام به گام و مفهومی یاد بگیرید. راز موفقیت، تکرار و تمرین است. البته اگر تکرار و تمرین همراه با یک راهنمای مناسب باشد، مسیر رسیدن به هدف برایتان هموار می‌شود. فرادرس، یک فیلم آموزشی جامع و بسیار مفید را برای دانش‌آموزان پایه دهم رشته علوم تجربی تهیه کرده است که می‌تواند شما را در یادگیری آسان و سریع نکات تئوری، فرمول های جبری و حل مسائل امتحان‌های نهایی همراهی کند. لینک مشاهده این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است:

در مطلب «فرمول های ریاضی دهم در یک نگاه و با مثال» (+)، مهم‌ترین نکات مورد نیاز برای مرور کتاب ریاضی ۱ را برای دانش‌آموزان رشته‌های ریاضی و تجربی خلاصه کردیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، به جمع‌بندی فرمول های فصل سوم ریاضی دهم تجربی می‌پردازیم.

۳. توان های گویا و عبارت های جبری: فرمول های فصل سوم ریاضی دهم تجربی

فصل سوم کتاب ریاضی دهم تجربی، طی چهار درس زیر به دانش‌آموزان تدریس می‌شود:

1. ریشه و توان
2. ریشه nام
3. توان‌های گویا
4. عبارت‌های جبری

جدول زیر، مهم‌ترین نکات و فرمول های فصل سوم ریاضی دهم تجربی را نمایش می‌دهد.

۱.۳. فرمول های ریشه و توان در ریاضی دهم تجربی

ریشه و توان، مفاهیمی به هم ‌پیوسته و متقابل هستند که در ارتباطی عمیق با یکدیگر قرار دارند. این دو مفهوم را می‌توان عکس یکدیگر در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر عددی مانند ۳ را به توان ۲ برسانیم، به عدد ۹ می‌رسیم:

$$3 ^ 2 = 9$$

برعکس فرآیند بالا، اگر ریشه دوم عدد ۹ را حساب کنیم، به عدد ۳ می‌رسیم:

$$sqrt { 9 } = 3$$

ریشه دوم یک عدد، با قرار دادن آن عدد زیر رادیکال با فرجه ۲ به دست می‌آید. اگر عدد زیر رادیکال با فرجه ۲، مربع کامل نباشد، خروجی رادیکال یک عدد صحیح نخواهد بود. به عنوان مثال، رادیکال ۳ با فرجه ۲ را در نظر بگیرید:

$$sqrt { 3 }$$

عدد ۳، مربع کامل نیست. بنابراین، جواب صحیحی برای عبارت رادیکالی بالا وجود ندارد. البته خروجی رادیکال در این شرایط، عضوی از مجموعه اعداد گنگ در نظر گرفته می‌شود. اعداد گنگ، یا به صورت رادیکالی یا به صورت عدد اعشاری تقریبی به نمایش درمی‌آیند.

$$sqrt { 3 } = approx 1/73$$

به عنوان یک نکته مهم، به خاطر داشته باشید که هر عدد مثبت، دو ریشه زوج و قرینه دارد و هر عدد منفی یا مثبت، یک ریشه منفی یا مثبت دارد. به عنوان مثال، عدد ۴+ را در نظر بگیرید. ریشه دوم (یک ریشه زوج) این عدد برابر با ۲+ و ۲- است. یعنی اگر ۲+ و ۲- را به توان دو برسانیم، به عدد ۴+ می‌رسیم. در طرف دیگر، عدد ۸- را در نظر بگیرید. ریشه سوم این عدد برابر با ۲- است. به عبارت دیگر، اگر ۲- را به توان سه برسانیم، به عدد ۸- می‌رسیم. بنابراین، عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال با فرجه فرد برود.

مثال ۱.۳: محاسبه عدد توان دار بر اساس ریشه

اگر a برابر با ریشه چهارم عدد ۱۶ باشد، توان سوم a چند خواهد بود؟

ریشه چهارم یک عدد به صورت رادیکال با فرجه ۴ نوشته می‌شود. بنابراین:

$$a = sqrt [ 4 ] { 16 }$$

اگر عدد ۱۶ را به صورت ۲^۴ بنویسیم، می‌توانیم توان و فرجه را با هم ساده کنیم و عدد ۲ را از زیر رادیکال بیرون بکشیم:

$$a = sqrt [ 4 ] { 16 } = sqrt [ 4 ] { 2 ^ 4 } = 2$$

$$a = 2$$

اکنون که توانستیم مقدار a را به دست بیاوریم، می‌توانیم توان سوم آن را به صورت زیر محاسبه کنیم:

$$a ^ 3 = 2 ^ 3 = 2 times 2 times 2 = 8$$

در نتیجه، توان سوم a برابر با ۸ است.

۲.۳. فرمول های ریشه n ام در ریاضی دهم تجربی

ریشه nام یک عدد یا رادیکال یک عدد با فرجه n، عددی است که اگر آن را به توان n برسانیم، به عدد زیر رادیکال برسیم. به عنوان مثال، ریشه پنجم عدد ۳۲ را در نظر بگیرید:

$$sqrt [ 5 ] { 32 } = 2$$

حاصل ریشه ۵ ام ۳۲ برابر با ۲ است. بنابراین، اگر ۲ را به توان ۵ برسانیم، به ۳۲ می‌رسیم. تعریف جبری این نکات به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$a ^ n = b to sqrt [ n ] { b } = a , n ge 2$$

• n: عددی صحیح و بزرگ‌تر از ۲
• b:‌ ریشه nام عدد a

از فرمول های مهم ریاضی دهم تجربی می‌توان به فرمول‌های مربوط به ضرب و تقسیم رادیکال‌ها اشاره کرد. در صورت برابر بودن فرجه دو عبارت رادیکالی، حاصل‌ضرب آن‌ها برابر خواهد بود با:

$$sqrt [ n ] { a } times sqrt [ n ] { b } = sqrt [ n ] { a times b }$$

• n: فرجه رادیکال
• a و b: اعداد غیرمنفی برای nهای زوج و اعداد دلخواه برای nهای فرد

برخی دیگر از قوانین مربوط به رادیکال‌ها عبارت هستند از:

$$sqrt [ k ] { a ^ m } = left ( sqrt [ k ] { a } right ) ^ m$$

• k: فرجه رادیکال
• a: عدد مثبت برای kهای زوج و عدد دلخواه برای kهای فرد

$$sqrt [ n ] { a ^ n } = | a |$$

• n: عددی زوج و غیرصفر
• a: عددی مثبت

مثال ۲.۳: تعیین ریشه فرد عدد منفی زیر رادیکال

حاصل عبارت $$sqrt [ 5 ] {- frac { 1 }{ 32 }}$$

اگر فرجه رادیکال، فرد باشد، منفی بودن عدد زیر رادیکال مانعی ندارد. برای به دست آوردن حاصل $$sqrt [ 5 ] {- frac { 1 }{ 32 }}$$

$$sqrt [ 5 ] {- frac { 1 }{ 32 }} = – sqrt [ 5 ] { frac { 1 }{ 32 }}$$

می‌دانیم:

$$sqrt [ n ] {frac {a }{ b} } = frac { sqrt [ n ] { a } } {sqrt [ n ] { b } }$$

بنابراین:

$$sqrt [ 5 ] { frac { 1 }{ 32 }} = frac { sqrt [ 5 ] { 1 } } { sqrt [ 5 ] { 32 } }$$

رادیکال عدد ۱ با هر فرجه‌ای برابر با ۱ می‌شود. از طرفی، عدد ۳۲ برابر با ۲^۵ است. از این‌رو داریم:

$$sqrt [ 5 ] { frac { 1 }{ 32 }} = frac { 1 } { sqrt [ 5 ] { 2 ^ 5 } }$$

به دلیل برابر بودن توان عدد زیر رادیکال با فرجه (عدد ۵)، پایه (عدد ۲) از زیر رادیکال خارج می‌شود:

$$sqrt [ 5 ] { frac { 1 }{ 32 }} = frac { 1 } { 2 }$$

در نتیجه:

$$sqrt [ 5 ] {- frac { 1 }{ 32 }} = – frac { 1 } { 2 }$$

۳.۳. فرمول های توان های گویا در ریاضی دهم تجربی

به اعدادی که امکان نمایش آن‌ها به صورت یک کسر با صورت و مخرج عدد صحیح وجود داشته باشد، عدد گویا می‌گویند. عددی مانند a را در نظر بگیرید. این عدد را به توان یک عدد گویا مانند $$frac { 1 } { n }$$

$$a ^ { frac { 1 } { n } }$$

این عبارت توان‌دار را می‌توان به صورت یک عبارت رادیکالی نوشت. اگر n، عددی بزرگ‌تر مساوی ۲ باشد، خواهیم داشت:

$$a ^ { frac { 1 } { n } } = sqrt [ n ] { a }$$

دو عدد طبیعی m و n را در نظر بگیرید. از تقسیم این دو عدد، یک عبارت گویا $$( frac { m } { n } )$$

$$a ^ { frac { m } { n } } = sqrt [ n ] { a ^ m }$$

برخی از مهم‌ترین و پرکاربردترین قوانین اعداد دارای توان گویا که در حل مسائل مرتبط با مبحث مورد استفاده قرار می‌گیرند عبارت هستند از:

$$a ^ { frac { m } { n } } = left ( a ^ { frac { ۱ } { n } } right ) ^ m = left ( a ^ { m } right ) ^ { frac { ۱ } { n } }$$

$$a ^ { – frac { m }{ n } } = frac { ۱ } { a ^ { frac { m }{ n } } }$$

$$a ^ r times a ^ s = a ^ { r + s }$$

$$left ( a ^ r right ) ^ s = a ^ { r s }$$

$$( a b ) ^ r = a ^ r times b ^ r$$

متغیرهای توانی را مثبت در نظر بگیرید.

مثال ۴.۳: تبدیل عدد با توان کسری به عدد رادیکالی و محاسبه آن

عدد توان‌دار $$125 ^ { frac { 2 } { 3 } }$$

برای تبدیل عدد توان‌دار $$125 ^ { frac { 2 } { 3 } }$$

$$125 ^ { frac { 2 } { 3 } } = sqrt [ 3 ] { 125 ^ 2 }$$

عدد ۱۲۵، یک مکعب کامل است. این عدد از سه مرتبه ضرب عدد ۵ در خودش به دست می‌آید. بنابراین می‌توانیم ۱۲۵ را به صورت زیر بنویسیم:

$$125 = 5 ^ 3$$

به این ترتیب، داریم:

$$125 ^ { frac { 2 } { 3 } } = sqrt [ 3 ] { 125 ^ 2 } = sqrt [ 3 ] { ( 5 ^ 3 ) ^ 2 }$$

اگر عددی توان‌دار به توان عدد دیگر برسد، هم می‌توانیم دو عدد را در هم ضرب کنیم و به صورت یک توان نمایش دهیم و هم می‌توانیم جای دو عدد را عوض کنیم. با عوض کردن جای دو توان در عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$125 ^ { frac { 2 } { 3 } } = sqrt [ 3 ] { ( 5 ^ 2 ) ^ 3 }$$

توان ۳ با فرجه ۳ ساده می‌شود و عبارت توان‌دار از زیر رادیکال بیرون می‌آید:

$$125 ^ { frac { 2 } { 3 } } = 5 ^ 2$$

$$125 ^ { frac { 2 } { 3 } } = 25$$

در نتیجه، $$125 ^ { frac { 2 } { 3 } }$$

۴.۳. فرمول های عبارت های جبری در ریاضی دهم تجربی

عبارات جبری، نوعی از عبارات ریاضی هستند که برای نمایش روابط بین متغیرها و اعداد به کار می‌روند. در بین انواع مختلف عبارت‌های جبری، اتحادهای ریاضی از جایگاه ویژه‌ای برخوردارند. کتاب ریاضی نهم و دهم، دانش‌آموزان را با برخی از فرمول‌های بنیادی و مهم اتحادها آشنا می‌کند که مهم‌ترین و پرکاربردترین آن‌ها عبارت هستند از:

$$( a pm ) ^ 2 = a ^ 2 pm 2 a b + b ^ 2$$

$$( a – b ) ( a + b ) = a ^ 2 – b ^ 2$$

$$( a + b + c ) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c$$

$$( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b$$

$$( a + b ) ^ 3 = a ^ 3 + 3 a ^ 2 b + 3 a b ^ 2 + b ^ 3$$

$$( a + b ) ( a ^ 2 – a b + b ^ 2 ) = a ^ 3 + b ^ 3$$

$$( a – b ) ( a ^ 2 + a b + b ^ 2 ) = a ^ 3 – b ^ 3$$

بسیاری از مسائل علمی و مهندسی، با معادلات و روابطی سر و کار دارند که شامل کسرها هستند. در برخی از مواقع، عبارت‌های رادیکالی در مخرج این کسرها ظاهر می‌شوند. از این‌رو، برای ساده‌سازی محاسبات، نمایش واضح‌تر نسبت‌ها و غیره، مخرج کسرها را به عددی گویا تبدیل می‌کنند. گویا کردن مخرج کسرها، یکی از مباحث مهم در کتاب ریاضی دهم تجربی است که در حل مسائل مربوط به آن از اتحادهای ریاضی نیز کمک گرفته می‌شود. به عنوان مثال، عبارت کسری $$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4}$$

$$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} = frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} times frac { 3 sqrt { 2 } – 4 }{ 3 sqrt { 2 } – 4}$$

$$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} = frac { 24 sqrt { 2 } – 32 }{ left ( 3 sqrt { 2 } right ) ^ 2 – 4 ^ 2}$$

$$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} = frac { 24 sqrt { 2 } – 32 }{ 18 – 16}$$

$$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} = frac { 24 sqrt { 2 } – 32 }{ 2 }$$

$$frac { 8 }{ 3 sqrt { 2 } + 4} = 12 sqrt { 2 } – 16$$

مثال ۴.۳: ساده سازی عبارت های جبری کسری

حاصل $$frac { 1 } { sqrt { x } – 1 } + frac { 2 } { sqrt { x } + 1} – frac{ 5 x } { x – 1 }$$

برای به دست آوردن حاصل عبارت مورد سوال، از کسرها مخرج مشترک می‌گیریم. برای شروع، به سراغ دو جمله اول می‌رویم:

$$frac { 1 } { sqrt { x } – 1 } + frac { 2 } { sqrt { x } + 1} = frac{ ( 1 ) ( sqrt { x } – 1 ) + ( 2 ) ( sqrt { x } – 1 )} { ( sqrt { x } – 1 ) ( sqrt { x } + 1 ) }$$

مخرج کسر، یک اتحاد مزدوج را نمایش می‌دهد. بر اساس این اتحاد داریم:

$$( a – b ) ( a + b ) = a ^ 2 – b ^ 2$$

بنابراین:

$$( sqrt { x } – 1 ) ( sqrt { x } + 1 ) = x – 1$$

$$frac { 1 } { sqrt { x } – 1 } + frac { 2 } { sqrt { x } + 1} = frac{ sqrt { x } + 1 + 2 sqrt { x } – 2 } { x – 1 }$$

$$frac { 1 } { sqrt { x } – 1 } + frac { 2 } { sqrt { x } + 1} = frac{ 3 sqrt { x } – 1 } { x – 1 }$$

به این ترتیب:

$$frac { 1 } { sqrt { x } – 1 } + frac { 2 } { sqrt { x } + 1} – frac{ 5 x } { x – 1 } = frac{ 3 sqrt { x } – 1 } { x – 1 } – frac{ 5 x } { x – 1 }$$

در نهایت، از دو جمله کسری باقیمانده مخرج مشترک می‌گیریم:

$$frac{ 3 sqrt { x } – 1 } { x – 1 } – frac{ 5 x } { x – 1 } = frac{ 3 sqrt { x } – 1 – 5 x } { x – 1 }$$

$$frac{ 3 sqrt { x } – 1 } { x – 1 } – frac{ 5 x } { x – 1 } = frac{ 3 sqrt { x } – 1 – 5 x } { x – 1 }$$

۴. معادله ها و نامعادله ها: فرمول های فصل چهارم ریاضی دهم تجربی

فصل چهارم کتاب ریاضی دهم تجربی، سه درس دارد که عنوان هر یک از آن‌ها در ادامه آورده شده است:

1. معادله درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن
2. سهمی
3. تعیین علامت

برای مرور مهم‌ترین نکات و فرمول های فصل چهارم ریاضی دهم تجربی می‌توانید نگاهی به جدول زیر بیاندازید.

۱.۴. فرمول های حل معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن در ریاضی دهم تجربی

معادله درجه ۲، معادله‌ای به فرم زیر است:

$$a x ^ 2 + b x + c = 0 ، ( a ne 0 )$$

همان‌طور که از عنوان آن پیداست، بزرگ‌ترین توان در معادله درجه دوم برابر با ۲ است. در معادله ارائه شده، ضرایب ثابت اعداد حقیقی هستند. حل معادله درجه دوم، روش‌های مختلفی دارد که در ساده‌ترین حالت، با حل یک رادیکال انجام می‌گیرد:

$$x ^ 2 = a to x = pm sqrt { a }$$

یکی دیگر از روش‌های حل معادله درجه ۲، تجزیه با استفاده از فاکتورگیری یا اتحادهای جبری است. در فرآیند حل معادله درجه دوم با روش فاکتورگیری، به فرمی مشابه عبارت زیر می‌رسیم:

$$a x ^ 2 + b x = x ( a x + b )$$

اتحاد مزدوج و اتحاد جمله مشترک، از پرکاربردترین اتحادهای جبری برای حل معادلات درجه ۲ هستند. روابط زیر، فرم کلی این اتحادها را نمایش می‌دهند:

$$x ^ 2 – a ^ 2 = ( x – a ) ( x + a )$$

$$x ^ 2 + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) ( x + b )$$

 در روش مربع کامل، با اضافه کردن یک جمله مناسب به دو طرف معادله و تبدیل طرف سمت چپ به مربع کامل یک معادله خطی، می‌توان ریشه‌ها را به دست آورد. اگر در سوالات امتحانی، روش حل به شما گفته نشده باشد، می‌توانید هر یک از روش‌های دلخواه را برای به دست آوردن ریشه معادله درجه دوم مورد استفاده قرار دهید. توجه داشته باشید که علاوه بر روش‌های معرفی شده، همواره می‌توانید از فرمول کلی حل معادله درجه دو به روش دلتا کمک بگیرید. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$a x ^ 2 + b x + c = 0$$

$$x = frac { – b pm sqrt { b ^ 2 – 4 a c } }{ 2 a }$$

$$Delta = b ^ 2 – 4 a c$$

پارامتر دلتا $$( Delta )$$، امکان پیش‌بینی تعداد ریشه‌های معادله درجه ۲ را فراهم می‌کند. در صورت مثبت بودن دلتا، دو ریشه و در صورت صفر بودن دلتا، یک ریشه برای معادله وجود خواهد داشت. منفی شدن دلتا، به معنای عدم وجود ریشه حقیقی برای معادله است.

مثال ۱.۴: حل معادله درجه دو

معادله درجه دو $$6 x ^ 2 + 11 x – 35$$

• الف) این معادله چند ریشه حقیقی دارد؟
• ب) ریشه معادله چند است؟

برای حل معادله درجه دو، روش‌های مختلفی وجود دارد. یکی از ساده‌ترین روش‌ها، استفاده از فرمول کلی است. در این روش، ابتدا پارامتر دلتا به کمک ضرایب معادله به دست می‌آیند. با توجه به فرم عمومی معادله درجه دو، این ضرایب برابرند با:

$$a x ^ 2 + b x + c = 0$$

$$6 x ^ 2 + 11 x – 35$$

$$a = 6$$

$$b = 11$$

$$c = – 35$$

فرمول دلتا به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$Delta = b ^ 2 – 4 a c$$

$$Delta = 11 ^ 2 – 4 ( 6 ) ( – 35 )$$

$$Delta = 961$$

دلتا، بزرگ‌تر از صفر است. بنابراین، معادله درجه دو دارای دو ریشه حقیقی خواهد بود. اکنون به سراغ پاسخگویی به سوال ب می‌رویم. فرمول کلی ریشه‌گیری از معادله‌های درجه عبارت است از:

$$x _ { 1 , 2 } = frac { – b pm sqrt { Delta } }{ 2 a }$$

$$x _ { 1 } = frac { – 11 + sqrt { 961 } }{ 2 ( 6 ) }$$

$$x _ { 1 } = frac { – 11 + 31 }{ 12 }$$

$$x _ { 1 } = frac { 20 }{ 12 }$$

$$x _ { 1 } = frac { 5 }{ 3 }$$

$$x _ { 2 } = frac { – 11 – sqrt { 961 } }{ 2 ( 6 ) }$$

$$x _ { 2 } = frac { – 11 – 31 }{ 12 }$$

$$x _ { 2 } = frac { – 42 }{ 12 }$$

$$x _ { 2 } = – frac { 7 }{ 2 }$$

به این ترتیب، هر دو ریشه معادله درجه دو را به دست آوردیم.

۲.۴. فرمول های سهمی در ریاضی دهم تجربی

نمودار حاصل از رسم معادله درجه دوم ، سهمی نام دارد. به پایین‌ترین یا بالاترین نقطه سهمی (نقطه عطف منحنی)، راس گفته می‌شود. تمام سهمی‌ها دارای تقارن محوری هستند. خطی که به صورت عمود از راس سهمی عبور کرده و آن را به قسمت مساوی تقسیم می‌کند، محور تقارن سهمی است.

اگر ضریب متغیر درجه ۲ سهمی (a در ax^۲) مثبت باشد، راس سهمی در پایین‌ترین نقطه آن قرار می‌گیرد. در صورت منفی بودن ضریب متغیر درجه ۲، راس سهمی در بالاترین نقطه آن جای می‌گیرد. مختصات راس سهمی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$left ( – frac { b } { 2 a } , frac {4 ac – b ^ 2}{4 a} right )$$

به دلیل عمود بودن راستای محور تقارن بر راس سهمی، معادله این محور برابر خواهد بود:

$$x = – frac { b } { 2 a }$$

هنگام محاسبه محور تقارن سهمی‌ها، به علامت منفی در رابطه x دقت کنید. این اشتباه، بین دانش‌آموزان بسیار رایج است و عدم توجه به آن باعث به دست آوردن جواب نادرست می‌شود. در صورت مواجهه با معادله‌ای به فرم $$y = a ( x – h ) ^ 2 + k$$

مثال ۲.۴: پیدا کردن معادله خط تقارن سهمی

سهمی $$y = 2 x ^ 2 – 6 x + 4$$

معادله خط تقارن سهمی $$y = a x ^ 2 + b x + c$$

$$x = – frac { b } { 2 a }$$

با توجه به ضرایب سهمی مورد سوال، داریم:

$$y = 2 x ^ 2 – 6 x + 4$$

$$a = 2$$

$$b = – 6$$

به این ترتیب، معادله خط تقارن سهمی برابر است با:

$$x = – frac { – 6 } { 2 ( 2 ) }$$

$$x = frac { 6 } { 4 }$$

$$x = 1/5$$

بنابراین، خط x=۱/۵ به عنوان محور تقارن سهمی $$y = 2 x ^ 2 – 6 x + 4$$

۳.۴. فرمول های تعیین علامت در ریاضی دهم تجربی

هنگام بحث راجع به اعداد و ارقام در دنیای واقعی، علامت آن‌ها اهمیت بالایی دارد. مثبت یا منفی بودن یک عدد، هم می‌تواند مطلوب و هم نامطلوب باشد. به عنوان مثال، برای یک فروشنده، مثبت بودن درآمد (سود)، نشان‌دهنده عملکرد مطلوب بوده و منفی بودن درآمد (ضرر)، یک نشانه از عملکرد نامطلوب است. در طرف مقابل، برای یک کارخانه، مثبت شدن نرخ مصرف انرژی (افزایش هزینه)، مطلوب بوده و منفی شدن نرخ مصرف انرژی (کاهش هزینه)، نامطلوب است.

تحلیل بسیاری از مسائل دنیای واقعی، با بیان این مسائل به زبان ریاضی انجام می‌گیرد. هدف برخی از مسائل، رسیدن به مقادیر مثبت و هدف برخی دیگر، رسیدن به مقادیر منفی است. همین موضوع، باعث اهمیت مبحث تعیین علامت در ریاضی می‌شود. نحوه تعیین علامت یک نامعادله را با حل مثال توضیح خواهیم داد. البته پیش از آن، برخی از خواص مهم نامعادله‌ها را در ادامه به شما معرفی می‌کنیم:

$$A lt B to A + C lt B + C$$

$$C gt 0 , A gt B to A C gt B C$$

$$C lt 0 , A gt B to A C lt B C$$

$$| u | le a to – a le u le a$$

$$| u | ge a to u ge a or u le – a$$

مثال ۳.۴: حل نامعادله

جواب نامعادله $$frac { x ^ 3 – x } { x ^ 2 – 2 x + 2 } le 0$$

برای به دست آوردن جواب نامعادله، ابتدا باید ریشه‌های صورت و مخرج را به دست بیاوریم. صورت کسر عبارت است از:

$$x ^ 3 – x$$

به منظور تعیین ریشه این عبارت درجه سه، آن را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$x ^ 3 – x = 0$$

سپس، از x فاکتور می‌گیریم:

$$x ( x ^ 2 – 1 ) = 0$$

عبارت درجه دو درون پرانتز را می‌توانیم با استفاده از اتحاد مزدوج باز کنیم:

$$x ( x + 1 ) ( x – 1 ) = 0$$

برای اینکه ضرب چند عبارت برابر با ۰ شود، حداقل یکی آن‌ها باید صفر باشد. بنابراین:

$$x = 0$$

$$x + 1 = 0 to x = – 1$$

$$x – 1 = 0 to x = 1$$

اگر مقدار x برابر با ۰، ۱ یا ۱- شود، صورت کسر برابر با ۰ می‌شود. اکنون به سراغ ریشه‌های مخرج می‌رویم. با توجه به فرمول دلتا، داریم:

$$Delta = b ^ 2 – 4 a c$$

$$x ^ 2 – 2 x + 2 = 0$$

$$a = 1$$

$$b = – 2$$

$$c = 2$$

$$Delta = ( – 2 ) ^ 2 – 4 ( 1 ) ( 2 )$$

$$Delta = 4 – 8$$

$$Delta = – 4$$

دلتا، یک عدد منفی است. بنابراین، $$x ^ 2 – 2 x + 2$$

$$x ^ 2 – 2 x + 2 = ( x – 1 ) ^ 2 + 1$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، عبارت $$( x – 1 ) ^ 2$$

در مراحل قبل دیدیم که برای تمام مقادیر x، مخرج کسر مثبت خواهد بود. بنابراین، مخرج کسر در تعیین علامت آن تاثیری ندارد. در نتیجه، تنها زمانی $$frac { x ^ 3 – x } { x ^ 2 – 2 x + 2 }$$

جدول بالا را با امتحان کردن ریشه‌ها و مقادیر مجاور آن‌ها تکمیل می‌کنیم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در بازه بسته ۰ تا ۱، علامت $$x ^ 3 – x$$

$$0 le x le 1$$

$$x le – 1$$

۵. تابع: فرمول های فصل پنجم ریاضی دهم تجربی

مباحث مربوط به تابع در فصل پنجم از کتاب ریاضی دهم تجربی، در سه درس زیر ارائه می‌شوند:

1. مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن
2. دامنه و برد تابع
3. انواع تابع

فصل پنجم ریاضی دهم تجربی، فرمول‌های زیادی ندارد. در این فصل، بیشتر با تعاریف جدیدی آشنا می‌شوید که برخی از آن‌ها را به طور خلاصه در ادامه آورده‌ایم:

• زوج‌مرتب: دو مقدار یا متغیر مرتبط به یکدیگر که با یک ترتیب مشخص (مولفه اول و مولفه دوم) کنار هم نوشته می‌شوند.
• تابع: رابطه بین دو مجموعه یا مجموعه‌ای از زوج‌مرتب‌ها که هر عضو ورودی (مولفه‌های اول)، تنها به یک عضو خروجی (مولفه‌های دوم) وصل می‌شود.
• دامنه تابع: مجموعه ورودی‌های قابل قبول یا مولفه‌های اول یک تابع
• برد تابع: مجموعه خروجی‌های حاصل از ورودی‌های قابل قبول

معادله عمومی توابع فصل پنجم ریاضی دهم تجربی در جدول زیر خلاصه شده‌اند.

۱.۵. مفهوم تابع و بازنمایی های آن در ریاضی دهم تجربی

تابع در ریاضیات، به عنوان رابطه‌ای بین دو مجموعه در نظر گرفته می‌شود که هر عضو از مجموعه اول (دامنه) را به دقیقاً یک عضو از مجموعه دوم (برد) مرتبط می‌کند. به عبارت دیگر، برای هر ورودی در دامنه، فقط یک خروجی مجاز در برد وجود دارد.

فرض کنید مجموعه A شامل دانش‌آموزان یک کلاس و مجموعه B شامل نمرات آنها باشد. در این مثال، می‌توانیم رابطه‌ای بین دو مجموعه تعریف کنیم که به هر دانش‌آموز در مجموعه A، دقیقاً یک نمره در مجموعه B را نسبت دهد. این رابطه، یک تابع نامیده می‌شود؛ زیرا هر دانش‌آموز فقط یک نمره دارد و هیچ دانش‌آموزی دو نمره متفاوت دریافت نمی‌کند. اگر به هر دانش‌آموز، بازه‌ای از نمرات اختصاص می‌یافت، دیگر نمی‌توانستیم رابطه بین A و B را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم.

برای اینکه یک مجموعه از زوج‌های مرتب، تابع باشد، هیچ دو زوج مرتب متمایز در آن نباید مولفه اول یکسانی داشته باشند. به عبارت دیگر، باید برای هر مولفه اول، فقط یک مولفه دوم وجود داشته باشد. توابع ریاضی، معمولا با حرف f، ابتدای کلمه «function» نشان داده می‌شوند.

مثال ۱.۵: ساخت روابط تابع و غیرتابع بین مجموعه ها

دو مجموعه $$A = {a, b, c }$$

اگر در یک رابطه، هیچ دو زوج‌مرتبی دارای مولفه‌های اول یکسان نباشند، به آن رابطه یک تابع می‌گوییم. بنابراین، رابطه‌‌های زیر را می‌توان به عنوان تابع در نظر گرفت:

$${ ( a, 1), ( b , 2 ) }$$

$${ ( a, 1 ) , ( b, 1 ) }$$

دقت داشته باشید که در یک تابع، برابر بودن مولفه‌های دوم یا همان خروجی‌های تابع، مانعی ندارد. بر اساس تعریف تابع، رابطه‌‌های زیر را نمی‌توان به عنوان تابع در نظر گرفت:

$${ ( a, 1), ( a , 2 ) }$$

$${ ( b, 1), ( b , 2 ) }$$

در یک تابع، مولفه اول (ورودی) نمی‌تواند به طور همزمان مولفه‌های دوم (خروجی) متفاوت داشته باشد.

۲.۵. دامنه و برد توابع در ریاضی دهم تجربی

دامنه و برد، دو مفهوم کلیدی در مبحث تابع هستند. این مفاهیم به صورت زیر تعریف می‌شوند:

• دامنه: مجموعه تمام مقادیر معتبری است که می‌توان به عنوان ورودی در تابع جایگذاری کرد تا یک خروجی معتبر به دست آید. در زوج‌مرتب‌های تابع، دامنه به عنوان مولفه اول در نظر گرفته می‌شود.
• برد: مجموعه تمام مقادیر ممکنی است که به عنوان خروجی تابع به دست می‌آید. در زوج‌مرتب‌های تابع، دامنه به عنوان مولفه دوم در نظر گرفته می‌شود.

جدول زیر را در نظر بگیرید.

جدول بالا، یک تابع را نمایش می‌دهد. بر اساس این تابع، دمای سنگ‌های اعماق زمین، به عمق آن‌ها بستگی دارد. با افزایش عمق، دمای سنگ‌ها نیز افزایش می‌یابد. بر اساس داده‌های موجود، دامنه و برد تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

{(۲۳۰ ,۶) ,(۱۹۵ ,۵) ,(۱۶۰ ,۴) ,(۱۲۵ ,۳) ,(۹۰ ,۲) ,(۵۵ ,۱)} = مجموعه زوج‌مرتب‌های تابع

{۶ ,۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱} = دامنه (مقادیر ورودی)

{۲۳۰ ,۱۹۵ ,۱۶۰ ,۱۲۵ ,۹۰ ,۵۵} = برد (مقادیر خروجی)

در ادامه، با حل یک مثال، نحوه به دست آوردن معادله ریاضی تابع بالا را آموزش خواهیم داد. به عنوان نکات تکمیلی این درس، به خاطر داشته باشید که:

• تابع خطی، یک معادله درجه یک با فرم کلی $$y = a x + b$$
• هر خط موازی با محور عرض‌ها در دستگاه مختصات، تابع را در حداکثر یک نقطه قطع می‌کند.

مثال ۲.۵: نوشتن معادله تابع

جدول زیر، دمای سنگ‌ها در عمق‌های متفاوت زیر سطح زمین را نشان می‌دهد.

با توجه به جدول بالا، به سوالات زیر پاسخ دهید:

• الف) آیا رابطه بین داده‌های جدول، یک تابع را نمایش می‌دهد؟ چرا؟
• ب) در صورت مثبت بودن جواب الف، معادله این تابع چیست؟
• ج) دمای یک سنگ در عمق ۱۰ کیلومتری چقدر است؟

رابطه بین عمق و دما در جدول بالا، یک تابع را نمایش می‌دهد. زیرا هیچکدام از مولفه‌‌های دوم (دماها) به بیش از یک مولفه اول (عمق‌ها) ارتباط ندارد. به زبان ساده‌تر، هر عمقی، فقط یک دمای مشخص دارد و برای یک عمق نمی‌توان دو دمای متفاوت را به طور همزمان در نظر گرفت. اگر به مقادیر عمق و دما دقت کنید، متوجه خواهید شد که به ازای هر ۱ کیلومتر افزایش عمق، ۳۵ درجه به دمای سنگ‌ها افزوده می‌شود. به دلیل ثابت ماندن این افزایش در جدول، می‌توانیم نتیجه بگیریم که عمق و دما، رابطه خطی دارند. بنابراین، معادله تابع مورد نظر، معادله همین خط است. برای نوشتن معادله خط، فرم کلی آن را می‌نویسیم:

$$y = m x + b$$

• m: شیب خط
• b: عرض از مبدا

شیب خط از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$m = frac { y _ 2 – y _ 1 } { x _ 2 – x _ 1 }$$

برای مقادیر x و y، از داده‌های جدول استفاده می‌کنیم. به این منظور، دو زوج‌مرتب دلخواه مانند زوج‌مرتب‌های زیر را در نظر می‌گیریم:

$${ ( 1, 55) , ( 2 , 90 ) }$$

$$x _ 1 = 1$$

$$y _ 1 = 55$$

$$x _ 2 = 2$$

$$y _ 2 = 90$$

$$m = frac { 90 – 55 } { 2 – 1 } = frac { 35 } { 1 } = 35$$

برای پیدا کردن عرض از مبدا، یکی از زوج‌مرتب‌ها را درون معادله خط قرار می‌دهیم:

$$y = m x + b$$

$$55 = 35 ( 1 ) + b$$

$$b = 55 – 35$$

$$b = 20$$

با توجه به پارامترهای به دست آمده، معادله تابع نمایش‌دهنده رابطه بین عمق و دمای سنگ‌ها را می‌نویسیم:

$$y = 35 x + 20$$

اکنون می‌توانیم با استفاده از تابع بالا، دما در هر عمق دلخواهی را به دست بیاوریم. به عنوان مثال، دمای یک سنگ در عمق ۱۰ کیلومتری از سطح زمین برابر می‌شود با:

$$y = 35 ( 10 ) + 20$$

$$y = 350 + 20$$

$$y = 375$$

دمای یک سنگ در عمق ۱۰ کیلومتری برابر با ۳۷۵ درجه است. البته توجه داشته باشید که در دنیای واقعی، روابط و توابع، کاملا خطی نیستند. به عنوان مثال، در واقعیت، دمای سنگ‌ها در عمق ۱۰ کیلومتری، بین ۲۵۰ تا ۳۰۰ درجه سانتی‌گراد است که به مقدار به دست‌آمده از تابع خطی نزدیک است.

۳.۵. فرمول های انواع تابع در ریاضی دهم تجربی

از مهم‌ترین توابع معرفی شده در کتاب ریاضی دهم تجربی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• تابع چندجمله‌ای: این نوع تابع، به صورت چندجمله‌ای نمایش داده می‌شود. بنابراین، معادله توابع چندجمله‌ای، شامل متغیر، ضرایب عددی و عملیات‌های ریاضی (جمع، تفریق، ضرب و توان) است. مثال: $$f(x) = 3x^2 + 2x – 1$$
• تابع همانی: در این تابع، دامنه و برد با هم برابرند و هر عضو از دامنه، دقیقاً به همان عضو در برد نظیر می‌شود. به عبارت دیگر، در تابع همانی، ورودی و خروجی یا مولفه‌های اول و دوم در هر زوج‌مرتب، یکسان است. معادله عمومی: $$y = x$$
• تابع ثابت: تابعی که برد آن، شامل یک عضو است. به عبارت دیگر، فارغ از مقدار ورودی، خروجی تابع همواره برابر با یک مقدار ثابت می‌شود. معادله عمومی: $$f ( x ) = k$$
• تابع قدر مطلق: تابعی که خروجی آن، قدر مطلق ورودی است. به عبارت دیگر، تابع قدر مطلق، علامت ورودی را مثبت می‌کند. معادله عمومی: $$y = | x |$$

توابع مختلف، کاربردهای زیادی در حل مسائل واقعی دارند. به عنوان مثال، توابع چندجمله‌ای برای محاسبات مربوط به حرکت شتاب‌دار، مدل‌سازی روابط اقتصادی و غیره، توابع همانی در اثبات قضایا و هویت‌های ریاضی، تعریف توابع ترکیبی و غیره، توابع ثابت به منظور مدل‌سازی سناریوهای خاص فیزیکی، محاسبات مربوط به ولتاژ ثابت و غیره و توابع قدر مطلق برای محاسبات مسافت، یافتن ریشه معادلات، شبیه‌سازی رفتار مواد و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرند. یکی از رایج‌ترین ابزارهای مناسب برای درک توابع و به کارگیری آن در حوزه‌های مختلف، رسم نمودار است.

در درس سوم از فصل چهارم ریاضی دهم، روش‌های مختلف رسم نمودار توابع، آموزش داده می‌شود. یکی از روش‌های توضیح داد شده در این درس، روش انتقال است. در رسم تابع به روش انتقال، فرض می‌کنیم که نمودار تابعی به نام $$f ( x )$$ را در اختیار داریم. برای رسم نمودار تابع $$f ( x ) + k$$

• اگر k مثبت باشد، نمودار در جهت مثبت (بالا) جابجا می‌شود.
• اگر k منفی باشد، نمودار در جهت منفی (پایین) جابجا می‌شود.

رسم نمودار $$f ( x + k )$$

• اگر k مثبت باشد، نمودار در جهت منفی (چپ) جابجا می‌شود.
• اگر k منفی باشد، نمودار در جهت مثبت (راست) جابجا می‌شود.

مثال ۳.۵: تشخیص تابع

کدامیک از رابطه‌های زیر، یک تابع را نمایش می‌دهد؟

$$f ( x ) = begin {cases} x & x > 0 \ x + 2 & x leq 2 end {cases}$$

$$g ( x ) = begin {cases} 2 x & x lt 0 \ x + 1 & x ge 0 end {cases}$$

بر اساس تعریف تابع، با قرار دادن یک مقدار دلخواه به عنوان ورودی، باید تنها به یک خروجی برسیم. به عبارت دیگر، به ازای یک x مشخص، نمی‌توانیم دو یا چند f(x) یا g(x) متفاوت داشته باشیم. این شرط، در تابع g(x) رعایت شده است. با قرار دادن هر x دلخواه، به یک g(x) منحصر به فرد می‌رسیم. در طرف مقابل، شرط تابع بودن در f(x) رعایت نشده است. بازه‌های این رابطه با یکدیگر در تناقض هستند. به عنوان مثال، اگر عددی مانند ۱ را به عنوان ورودی x انتخاب کنیم، رابطه دو خروجی ۱ و ۳ را به ما می‌دهد. بنابراین، f(x)، تابع نیست. نمودارهای این دو رابطه را رسم کنید تا بهتر به وضعیت تابع بودن یا نبودن آن‌ها پی ببرید.

۶. شمارش، بدون شمردن: فرمول های فصل ششم ریاضی دهم تجربی

درس‌های فصل ششم کتاب ریاضی دهم تجربی عبارت هستند از:

1. شمارش
2. جایگشت
3. ترکیب

مجموعه‌ای از فرمول های مهم فصل ششم ریاضی دهم تجربی را در جدول زیر خلاصه کرده‌ایم.

۱.۶. فرمول های شمارش در ریاضی دهم تجربی

درس اول کتاب ریاضی دهم تجربی، راجع به مجموعه‌های متناهی و نامتناهی صحبت می‌کند. مجموعه‌های متناهی، قابل شمارش و مجموعه‌های نامتناهی غیرقابل شمارش هستند. در درس اول فصل ششم کتاب ریاضی ۱، به مفهوم شمارش و فرمول‌های ریاضی مربوط به آن پرداخته می‌شود. شمارش، فرآیندی است که به ما امکان می‌دهد تا تعداد اعضای یک مجموعه متناهی را به دست بیاوریم. به عنوان مثال، فرض کنید چهار عدد ۳، ۶، ۸ و ۹ را در اختیار داریم. به نظر شما، با این دو عدد، چند عدد سه‌رقمی می‌توان ساخت؟ ابزارهای علم شمارش و اصول آن، امکان‌ پاسخ‌گویی به این سوال را فراهم می‌کنند. از مهم‌ترین و پایه‌ای‌ترین اصول شمارش می‌توان به اصل جمع و اصل ضرب اشاره کرد.

برای درک اصل جمع، به ارائه یک مثال می‌پردازیم. فرض کنید به یک رستوران رفته‌اید و می‌خواهید یک غذا سفارش دهید. رستوران، هم غذای سنتی و هم فست‌فود را در منوی خود دارد. در این منو، ۵ نوع غذای سنتی و ۱۰ نوع فست‌فود دیده می‌شود. در اینجا، شما ابتدا باید از بین غذای سنتی و فست‌فود، یکی را انتخاب کرده و از بین گزینه‌های موجود، تصمیم‌گیری کنید. در واقع، شما دو روش مختلف برای انجام این تصمیم‌گیری دارید. تعداد روش‌ها را برابر با k در نظر می‌گیرم. در روش اول (خوردن غذای سنتی)، ۵ انتخاب پیش راه شما قرار دارد. تعداد این انتخاب‌ها را با متغیر m_۱ مشخص می‌کنیم. در روش دوم (خوردن فست‌فود)، ۱۰ انتخاب دارید که تعداد آن‌ها را با متغیر m_۲ نمایش می‌دهیم. هرگاه امکان انجام کاری به k روش وجود داشته باشد که بتوان در روش اول، m_۱ انتخاب، در روش دوم، m_۲ انتخاب و به همین ترتیب در روش kام، m_k انتخاب کرد، تعداد انتخاب‌های موجود از رابطه $$m _ 1 + m _ 2 + {ldots} + m _ k$$

• تعریف اصل جمع در کتاب ریاضی دهم تجربی: اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد، به طوری که در روش اول، $$m$$ انتخاب و در روش دوم، $$n$$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار مورد نظر، $$m + n$$

برای درک اصل ضرب، مثال رستوران را در نظر بگیرید. این بار می‌خواهیم دو غذا از منوی رستوران را به گونه‌ای انتخاب کنیم که یکی از آن‌ها سنتی و دیگری فست‌فود باشد. در این مثال، انتخاب غذای سنتی در مرحله اول و سپس انتخاب فست‌فود یا انتخاب فست‌فود در مرحله اول و سپس انتخاب غذای سنتی، اهمیتی ندارد. به هر حال، فرآیند انتخاب، در دو مرحله مجزا انجام می‌شود. تعداد این مراحل را برابر با K قرار می‌دهیم. در مرحله انتخاب غذای سنتی، ۵ گزینه داریم که تعداد آن‌ها را برابر با m_۱ قرار می‌هیم. در مرحله انتخاب فست‌فود، ۱۰ گزینه داریم که تعداد آن‌ها را برابر با m_۲ قرار می‌هیم. هرگاه امکان انجام کاری در k مرحله مجزا وجود داشته باشد که بتوان در مرحله اول، m_۱ انتخاب، در مرحله دوم، m_۲ انتخاب و به همین ترتیب در مرحله kام، m_k انتخاب کرد، تعداد انتخاب‌های موجود از رابطه $$m _ ۱ times m _ ۲ times {ldots} times m _ k$$

• تعریف اصل ضرب در کتاب ریاضی دهم تجربی: اگر انجام یه کار، دومرحله‌ای باشد، به طوری که برای انجام مرحله اول، $$m$$ روش و برای مرحله دوم (هر کدام از این $$m$$ روش)، $$n$$ روش وجود داشته باشد، مجموع کل روش‌های انجام کار برابر با $$m times n$$

با درک مفهوم اصل جمع و اصل ضرب، قادر به حل تمام مسائل مرتبط با شمارش خواهید بود. مهم‌ترین نکته در اینجا، تمرکز بر روی درک چندروشی بودن انتخاب‌ها، چندمرحله‌ای بودن انتخاب‌ها و یا ترکیبی بودن انتخاب‌‌ها است.

مثال ۱.۶: محاسبه حالت های ترکیب رنگ پیراهن و شلوار

شخصی قصد دارد برای رفتن به یک مهمانی، لباس و شلوار مناسب انتخاب کند. او سه پیراهن با رنگ‌های مختلف و چهار شلوار با رنگ‌های مختلف دارد. این شخص، به چند حالت می‌تواند پیراهن و شلوار خود را انتخاب کند؟

برای پاسخ دادن به این سوال، توجه داشته باشید که ترتیب انتخاب پیراهن یا شلوار اهمیتی ندارد. فرض کنید شخص مورد سوال، اول پیراهن خود را انتخاب می‌کند. برای این کار، او سه گزینه پیش روی خود می‌بیند. انتخاب لباس را به عنوان مرحله اول و تعداد گزینه‌ها را برابر با m در نظر می‌گیریم:

$$m = 3$$

در مرحله دوم، نوبت به انتخاب شلوار می‌رسد. شخص مورد سوال، باید از بین چهار گزینه پیش رو، یکی را انتخاب کند. تعداد گزینه‌ها را برابر با n در نظر می‌گیریم:

$$n = 4$$

انتخاب پیراهن و شلوار، یک فرآیند دومرحله‌ای است. بنابراین، از اصل ضرب برای محاسبه تعداد حالت‌های ممکن استفاده می‌کنیم:

$$m times n = 3 times 4 = 12$$

در نتیجه، ۱۲ حالت برای ست کردن پیراهن و شلوار وجود دارد.

۲.۶. فرمول های جایگشت در ریاضی دهم تجربی

به چیدمان‌های منحصربه‌فرد اشیا، جایگشت می‌گویند. بنابراین، اگر تعدادی شی مجزا داشته باشیم، هر حالت چیدن این اشیا در کنار یکدیگر، یک جایگشت محسوب می‌شود. به عنوان مثال، یک نیمکت‌های چسبیده به دیوار کلاس را در نظر بگیرید. شما و دوستتان می‌خواهید بر روی یکی از این نیمکت‌ها بنشینید. به این ترتیب، دو حالت به وجود می‌آید. در حالت اول، شما در قسمت سمت دیوار نیمکت می‌نشینید و دوستتان در قسمت آزاد نیمکت می‌نشیند. در حالت دوم، دوستتان در قسمت سمت دیوار نیمکت می‌نشیند و شما در قسمت آزاد نیمکت می‌نشینید. به حالت‌های نشستن شما و دوستتان بر روی نیمکت، جایگشت می‌گویند. در این مثال، دو جایگشت داریم. در جایگشت، ترتیب چیدمان اشیاء مهم است. به عبارت دیگر، دو چیدمان با اشیاء یکسان اما با ترتیب متفاوت، دو جایگشت مجزا محسوب می‌شوند.

یکی از مهم‌ترین علامت‌هایی که در این درس از کتاب ریاضی دهم با آن رو به رو می‌شوید، فاکتوریل است. علامت فاکتوریل به علامت تعجب (!) شباهت دارد. این علامت در کنار اعداد قرار می‌گیرد. فاکتوریل یک عدد، به صورت ضرب متوالی آن عدد در تمام اعداد صحیح کوچک‌تر از خود تعریف می‌شود. بر اساس این تعریف، فاکتوریل ۱۰ برابر است با:

۱ × ۲ × ۳ × ۴ × ۵ × ۶ × ۷ × ۸ × ۹ × ۱۰ = ! ۱۰

فاکتوریل ۰ و فاکتوریل ۱ برابر با ۱ است. مفهوم فاکتوریل در محاسبه جایگشت مورد استفاده قرار می‌گیرد. مسائل مربوط به جایگشت در کتاب ریاضی دهم تجربی، معمولا معمولا شامل محاسبه تعداد چیدمان‌های rتایی از n شی متمایز هستند. به عنوان مثال، باید جایگشت اعداد سه‌رقمی قابل نوشتن با چهار عدد ۳، ۶، ۸ و ۹ را به دست بیاورید. برای این کار، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$P ( n , r ) = frac { n ! } { ( n – r ) ! }$$

• P (n, r): جایگشت rتایی از n شی متمایز
• n: تعداد اشیا موجود
• r: تعداد جایگاه‌ها

در مثال نوشتن جایگشت اعداد سه‌رقمی با چهار عدد ۳، ۶، ۸ و ۹، r برابر با ۳ (تعداد رقم‌ها) و n برابر با ۴ (تعداد اعداد موجود) است. بنابراین، برای این مثال، داریم:

$$P ( 4 , 3 ) = frac { 4 ! } { ( 4 – 3 ) ! }$$

$$P ( 4 , 3 ) = frac { 4 times 3 times 2 times 1} { 1 ! }$$

$$P ( 4 , 3 ) = frac { 24 } { 1 }$$

در نتیجه، ۲۴ عدد سه‌رقمی را می‌توانیم با استفاده از چهار عدد موجود بنویسیم.

مثال ۲.۶: محاسبه جایگشت اشیا متمایز

کیسه‌ای حاوی ۱۰ سنگ رنگی را در نظر بگیرید. تمام سنگ‌های موجود در کیسه، دارای رنگ‌های متفاوت هستند. می‌خواهیم ۴ سنگ را به طور تصادفی از درون کیسه بیرون بکشیم. اگر پس از بیرون کشیدن هر سنگ از کیسه، آن را به داخل کیسه برنگردانیم، چند حالت برای انتخاب ۴ سنگ به وجود می‌آید؟

این مثال، جایگشت n شی متمایز را نمایش می‌دهد. در ابتدا، ۱۰ حالت برای بیرون کشیدن سنگ‌ها وجود دارد:

۱۰

پس از بیرون کشیدن سنگ اول و کنار گذاشتن آن، ۹ سنگ درون کیسه باقی می‌ماند. بنابراین، هنگام انتخاب سنگ دوم، ۹ حالت وجود دارد که به دلیل مرحله‌ای بودن فرآیند، در ۱۰ حالت قبلی ضرب می‌شود:

۹ × ۱۰

پس از بیرون کشیدن سنگ دوم و کنار گذاشتن آن، ۸ سنگ درون کیسه باقی می‌ماند. بنابراین، برای مرحله سوم، داریم:

۸ × ۹ × ۱۰

برای مرحله آخر، ۷ سنگ درون کیسه باقی می‌ماند. در نتیجه، حالت‌های مختلف انتخاب ۴ سنگ از ۱۰ سنگ موجود برابر می‌شود با:

۵۰۴۰ = ۷ × ۸ × ۹ × ۱۰

با قرار دادن اطلاعات مسئله در فرمول زیر نیز به همین جواب می‌رسیدیم:

$$P ( n , r ) = frac { n ! } { ( n – r ) ! }$$

• $$P ( n , r )$$: تعداد جایگشت‌های rتایی از n شی متمایز
• n: تعداد اشیا برابر با ۱۰
• r: تعداد انتخاب‌ها برابر با ۴

$$P ( 10 , 4 ) = frac { 10 ! } { ( 10 – 4 ) ! }$$

$$P ( 10 , 4 ) = frac { 10 times 9 times 8 times 7 times 6! } { 6 ! }$$

$$P ( 10 , 4 ) = 10 times 9 times 8 times 7 = 5040$$

۳.۶. فرمول های ترکیب در ریاضی دهم تجربی

ترکیب در ریاضی، به چیدمان اشیا متمایز در کنار یکدیگر و بدون در نظر گرفتن ترتیب آن‌ها اشاره می‌کند. به عبارت دیگر، در ترکیب، انتخاب شدن اشیا برای قرارگیری در جایگشت اهمیت دارد و جایگاه آن‌ها مهم نیست. به عنوان مثال، چهار مداد رنگی سبز، قرمز، آبی و زرد را در نظر بگیرد. می‌خواهیم سه مداد رنگی را از میان این مدادهای رنگی انتخاب کنیم. حالت‌های مختلف در این مثال، با مثال اعداد تفاوت خواهد داشت؛ زیرا:

• تمام اشیا متمایز هستند و امکان انتخاب یک شی برای دومین بار وجود ندارد. در مثال اعداد، انتخاب دوباره یک عدد مجاز بود اما در مثال مداد رنگی، نمی‌توان دو بار یک مداد را انتخاب کرد.
• اگر ترتیب اشیا را تغییر دهیم، حالت جدیدی به وجود نمی‌آید. در مثال اعداد، عددی مانند ۳۳۸ با عدد ۳۸۳ تفاوت داشت اما در مثال مداد رنگی، انتخاب مداد زرد به عنوان اولین مداد با انتخاب آن به عنوان سومین مداد تفاوتی ندارد.

در این شرایط، از مفهوم ترکیب و رابطه زیر برای محاسبه حالت‌های موجود استفاده می‌کنیم:

$$C ( n , r ) = binom { n } { r } = frac { n ! } { ( n – r ) ! r ! }$$

$$۰ le r le n$$

بر اساس فرمول بالا، در صورت انتخاب سه مداد رنگی از چهار مداد موجود، تعداد حالت‌های ممکن برابر است با:

$$binom { 4 } { 3 } = frac { 4 ! } { ( 4 – 3 ) ! 3 ! }$$

$$binom { 4 } { 3 } = frac { 4 ! } { 1 ! 3 ! }$$

$$4 ! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24$$

$$3 ! = 3 times 2 times 1 = 6$$

$$1 ! = 1$$

$$binom { 4 } { 3 } = frac { 24 } { 6 }$$