با در نظر گرفتن دومین ستون از جدول بالا می‌توانیم به روش استدلال استقرایی به فرمول زیر برای مجموع زاویه‌های داخلی یک $$n$$ ضلعی دست پیدا کنیم:

$$(n-2) times 180 ^circ$$

دقت کنید فرمول به دست آمده برای هر چند ضلعی ساده‌ای چه منتظم یا نامنتظم صادق است، با این شرط که اضلاع آن متقاطع نباشند. با اینکه این جدول فقط چهار مثال را پوشش داده است، اما می‌توان آن را برای چند ضلعی‌هایی با تعداد اضلاع بیشتر نیز گسترش داد. برای مثال، در مورد یک هفت ضلعی طبق فرمول بالا مجموع زاویه‌های داخلی برابر است با

$$(7-2) times 180 ^circ = 5 times 180 ^circ = 900 ^circ$$

مثال ۲

به روش استدلال استقرایی ثابت کنید برای هر عدد طبیعی $$n$$ داریم:

$$1 + 2 + 3 + … + n = frac{n(n+1)}{2}$$

پاسخ

برای اینکه ببینیم در این مسئله روش استفاده از استدلال ریاضی چیست، ابتدا از اولین قدم یعنی مشاهده و محاسبه چند مثال اولیه شروع می‌کنیم:

$$n=1 Rightarrow 1$$

$$n = 2 Rightarrow 1 + 2 = 3$$

$$n = 3 Rightarrow 1 + 2 + 3 = 6$$

$$n = 4 Rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$

$$n = 5 Rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

در مرحله بعد باید با بررسی و دقت در روابط بالا سعی کنیم یک الگوی مشترک بین پاسخ‌ها به دست آوریم که قابل‌تعمیم به یک نتیجه کلی نیز باشد. اگر اعداد به دست آمده در روابط بالا را به شکل زیر بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

$$n = 1 Rightarrow 1 = frac{1 (1+1)}{2}$$

$$n = 2 Rightarrow 3 = frac{2 (1+2)}{2}$$

$$n = 3 Rightarrow 6 = frac{3 (1+3)}{2}$$

$$n = 4 Rightarrow 10 = frac{4 (1+4)}{2}$$

$$n = 5 Rightarrow 15 = frac{5 (1+5)}{2}$$

به این ترتیب الگوی تکرار شونده به شکل بالا است که با تعمیم آن به حالت کلی در مورد هر عدد طبیعی $$n$$ خواهیم داشت:

$$n Rightarrow frac{n (n+1)}{2}$$

استدلال استنتاجی چیست؟

در بخش قبل آموختیم که فرآیند استدلال استقرایی به عنوان نوعی استدلال ریاضی چیست و گفتیم که در این روش ابتدا مشاهده می‌کنیم، سپس الگوی مشترکی را پیدا می‌کنیم و در نهایت به یک قانون کلی می‌رسیم. با توجه به اینکه استدلال استقرایی نوعی کشف است و نه اثبات ریاضیاتی، پس نتیجه آن می‌تواند درست یا نادرست باشد تا زمانی که توسط روش‌های منطقی مانند استدلال استنتاجی یا اصل استقرا اثبات شود.

استدلال استنتاجی روشی است برای اثبات قطعی گزاره‌ها با استفاده از قوانین، تعریف‌ها و قضیه‌‌های شناخته‌ شده در علم ریاضیات و هندسه. در این نوع استدلال بر خلاف استدلال استقرایی مسیر تفکر از کل به جزء است، یعنی ابتدا یک اصل یا قانون کلی را می‌پذیریم، سپس با بکارگیری منطق و قوانین مختلف به یک نتیجه‌گیری خاص و دقیق می‌رسیم.

استنتاج پایه تمام اثبات‌های ریاضیاتی است، به این معنا که هر برهان هندسی، اثبات جبری یا هر نتیجه منطقی در ریاضیات نوعی استدلال استنتاجی به‌ شمار می‌رود. برای مثال، اگر دو گزاره زیر را بدانیم:

• تمام زاویه‌های قائمه $$90$$ درجه‌اند.
• زاویه $$A$$ قائمه است.

نتیجه می‌گیریم که زاویه $$A$$ نیز یک زاویه $$90$$ درجه‌ است. در اینجا از دو گزاره کلی (تعریف زاویه قائمه و قانون زاویه‌ها) نتیجه‌ای خاص گرفته‌ شد که بر پایه قوانین پذیرفته‌ شده و بدون هیچ حدسی یا گمانی انجام شده است. بنابراین فرآیند نتیجه‌گیری ما بر پایه استدلال استنتاجی بوده است.

در هندسه نیز اغلب اثبات‌ها استنتاجی‌ هستند. برای نمونه، اگر در مثلثی دو زاویه برابر باشند، به روش استدلال استنتاجی و بر اساس تعاریف مربوط به هم‌نهشتی مثلث‌ها و قضیه‌های ثابت‌ شده می‌توانیم به این نتیجه برسیم که ضلع‌های مقابل این دو زاویه نیز با هم برابراند. در این فرآیند هیچ مشاهده یا حدسی نداریم، بلکه هر گام منطقی از گام قبلی ناشی می‌شود.

ساختار استدلال استنتاجی عموما شامل سه مرحله است:

• مقدمات: شامل فرض‌ها یا قوانین شناخته‌ شده است.
• روند منطقی: به معنای استفاده از قواعد استنتاجی است.
• ‌نتیجه‌گیری: رسیدن به گزاره خاصی که از مقدمات به‌ دست آمده است.

برای مثال در مورد برهان‌های هندسی، مقدمات شامل داده‌های مسئله یا قضایای قبلا اثبات‌ شده هستند و با استفاده از منطق ریاضی (مانند هم‌نهشتی، قضیه تالس، قضیه کسینوس‌ها و …) نتیجه خاص حاصل می‌شود.

نکته: فرآیند استدلال استنتاجی مکمل یا اثبات فرآیند استدلال استقرایی است.

استدلال استنتاجی محدودیت‌های زیادی ندارد، اما ذکر چند نکته در مورد این نوع استدلال مهم است:

• وابستگی به مفروضات اولیه: اگر مقدمات مسئله اشتباه باشند، نتیجه استنتاج نیز نادرست خواهد بود. برای مثال، اگر بگوییم «تمام اعداد فرد اول هستند»، نتیجه استنتاج بر پایه این مقدمه اشتباه نیز غلط خواهد بود.
• عدم‌کشف روابط جدید بدون مقدمات: در استدلال استنتاجی نمی‌توانیم بدون داشتن قوانین یا اطلاعات قبلی یک رابطه جدید را کشف کنیم. به همین علت برای کشف الگوهای جدید معمولا از استدلال استقرایی استفاده می‌شود و سپس به کمک استنتاج می‌توان آن‌ها را اثبات کرد.
• نیاز به دقت منطقی: هر خطای منطقی در روند استدلال استنتاجی نتیجه را بی‌اعتبار می‌کند. به همین دلیل در ریاضیات و هندسه هر برهان استنتاجی با دقت زیادی نوشته می‌شود.

در همین راستا چنانچه علاقه‌مند هستید با قضیه استقرا و نحوه اثبات آن از طریق حل مثال‌های کاربردی آشنا شوید، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش رایگان اثبات قضیه استقرا + مثال‌های کاربردی فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن نیز برای دسترسی راحت‌تر شما در ادامه قرار داده شده است:

فرض های اولیه در استدلال استنتاجی

در این بخش توضیح می‌دهیم مفروضات و قوانین اولیه استدلال ریاضی چیست. فرض‌های اولیه یا مقدمات می‌توانند شامل قواعد کلی، تعریف‌ها یا قضایای اثبات شده‌ای باشند که مورد‌قبول‌اند و نتیجه استنتاج ما در یک مسئله همواره بر اساس این مقدمات شکل می‌گیرد. فرض کنید می‌خواهیم نشان دهیم زاویه‌های مقابل اضلاع برابر در یک مثلث متساوی‌الساقین با هم برابراند. در این بررسی مفروضات ما عبارت‌اند از:

• فرض اول: تعریف مثلث متساوی‌الساقین است (مثلثی که دو ضلع آن برابرند).
• فرض دوم: یک قضیه هندسی است با این عنوان که در هر مثلث، زاویه‌های مقابل به اضلاع مساوی با هم برابرند.

روند منطقی در استدلال استنتاجی

روند منطقی مرحله‌ای است که در آن از مقدمات استفاده می‌کنیم و با قواعد و قوانین ریاضیات یا هندسه به نتیجه نزدیک می‌شویم. این مرحله شامل تحلیل و استنتاج مرحله‌ به‌ مرحله است. برای نمونه در مورد مثال بخش قبل با این فرض که در مثلث متساوی‌الساقین دو ضلع برابر داریم، پس طبق قضیه هندسی گفته شده زاویه‌های مقابل این دو ضلع برابر نیز با هم مساوی هستند.

نتیجه گیری در استدلال استنتاجی

در نهایت پس از بررسی مقدمات و اعمال روند منطقی، نتیجه‌گیری به دست می‌آید. اگر مقدمات و روند منطقی صحیح باشند، نتیجه حاصل از استدلال استنتاجی بر خلاف نتیجه حاصل از استدلال استقرایی کاملا قطعی و معتبر است. در مورد مثال بخش قبل، این نتیجه که «زاویه‌های مقابل دو ضلع برابر در مثلث متساوی‌الساقین برابراند»، برای تمام مثلث‌های متساوی‌الساقین و نه فقط در مورد موارد مشاهده‌ شده همواره درست و معتبر است.

حل مثال از استدلال استنتاجی

تا این قسمت آموختیم که استنتاج در استدلال ریاضی چیست و چگونه به ما کمک می‌کند تا مسائل مختلف ریاضیات و هندسه را اثبات کنیم. در این روش از قواعد، تعاریف و قضایای پذیرفته‌ شده برای رسیدن به یک نتیجه‌گیری استفاده می‌کنیم و مسیر از کل به جزء است. به بیان دیگر، اگر مفروضات و مقدمات درست باشند و استدلال ما کاملا منطقی باشد، نتیجه همیشه درست است. برای مثال، با در نظر گرفتن دو فرض زیر به این نتیجه می‌رسیم که علی فانی است:

• همه انسان‌ها فانی هستند.
• علی یک انسان است.

در ادامه چند نمونه سوال در همین راستا حل می‌کنیم تا بهتر متوجه شوید فرآیند استنتاج در استدلال ریاضی چیست.

مثال ۱

فرض کنید در مثلث $$ABC$$ دو ضلع $$AB$$ و $$AC$$ برابراند، یعنی یک مثلث متساوی‌الساقین داریم با قاعده $$BC$$. اگر از راس $$A$$ یک خط عمودی بر ضلع $$BC$$ رسم کنیم که آن را در نقطه $$D$$ قطع کند (یعنی $$AD perp BC$$

1. $$BD = DC$$
2. $$angle CAD = angle BAD$$

پاسخ

با کمک گرفتن از استدلال استنتاجی، ابتدا دو مثلث $$ABD$$ و $$ACD$$ را در نظر می‌گیریم. طبق صورت سوال سه فرض در مورد این دو مثلث داریم که عبارت‌اند از:

• $$AC = AB$$
• ضلع $$AD$$ بین این دو مثلث مشترک است.
• از $$AD perp BC$$

در مورد دو مثلث‌ قائم‌الزاویه، اگر وتر و یک ساق در دو مثلث با هم برابر باشند، آن دو مثلث هم‌نهشت‌اند. بنابراین در اینجا دو مثلث $$ABD$$ و $$ACD$$ هم‌نهشت هستند. در سومین قدم، از هم‌نهشتی این دو مثلث به این نتیجه می‌رسیم که سایر قسمت‌های متناظر نیز برابر‌اند:

• برابری زاویه‌های متناظر: $$angle CAD = angle BAD$$
• برابری ضلع‌های متناظر: $$BD = DC$$

این عبارت‌‌ها همان گزاره‌هایی هستند که در سوال خواسته شده است.

مثال ۲

در مثلث $$ABC$$ نقاط $$D$$ و $$E$$ به ترتیب نقاط وسط اضلاع $$AB$$ و $$AC$$ هستند. با استفاده از استدلال استنتاجی نشان دهید که $$BC || DE$$ و $$frac{1}{2} BC = DE$$

پاسخ

ابتدا مثلث $$ABC$$ را رسم می‌کنیم. سپس نقاط $$D$$ و $$E$$ را روی اضلاع $$AB$$ و $$AC$$ طوری قرار می‌دهیم که هر کدام دقیقا در وسط ضلع باشند:

طبق این فرض که هر کدام از این نقاط در وسط یک ضلع قرار دارد، می‌توانیم بنویسیم:

$$frac{AE}{EC} = 1$$

$$frac{AD}{DB} = 1$$

حالا طبق قضیه تالس می‌توانیم بگوییم اگر نقاط $$A$$ و $$B$$ روی این دو ضلع به گونه‌ای باشند که تساوی $$frac{AE}{AC} = frac{AD}{AB}$$

$$frac{AE}{AC} = frac{AD}{AB} = frac {1}{2}$$

$$Rightarrow BC || DE$$

در مرحله بعد برای استنتاج بخش دوم سوال لازم است از قوانین حاکم بر تشابه مثلث‌‌ها بهره ببریم. ثابت کردیم که $$BC || DE$$ است. مثلث کوچک $$ADE$$ و مثلث بزرگ $$ABC$$ مثلث‌های مشابه هم هستند، چرا که اگر اندازه‌های دو ضلع از مثلثی با اندازه‌های دو ضلع از مثلث دیگر متناسب باشد و زاویه بین آن‌ها نیز برابر باشد، دو مثلث متشابه‌اند. پس طبق قوانین تشابه، سایر زاویه‌‌های متناظر در این دو مثلث نیز با هم برابر خواهند شد. همچنین تمام نسبت‌های بین اضلاع در این دو مثلث نیز با هم برابر هستند، یعنی داریم:

$$frac{AE}{AC} = frac{AD}{AB} = frac{DE}{BC} = frac {1}{2}$$

$$DE = frac {1}{2} BC$$

استدلال ریاضی گسسته دوازدهم

در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس قصد داریم توضیح دهیم در کتاب ریاضیات گسسته دوازدهم روش‌های استدلال ریاضی چیست و شامل چه موضوعاتی می‌شود. در اولین درس از این کتاب به توضیح مفاهیمی مانند گزاره، گزاره باز، ارزش گزاره، نقیض و ترکیب گزاره‌ها و … پرداخته می‌شود که در ادامه به شکلی مختصر هر کدام را معرفی کرده‌ایم:

• گزاره: نوعی جمله خبری است که می‌توان آن را به‌ طور دقیق درست یا نادرست تشخیص داد. برای مثال، عبارت «عدد هفت یک عدد اول است» یک گزاره درست و عبارت «مثلثی با چهار ضلع وجود دارد» نوعی گزاره نادرست است. دقت کنید جملات پرسشی، امری یا مبهم گزاره محسوب نمی‌شوند.
• گزاره باز: جمله‌ای که درستی آن به مقدار یک متغیر بستگی دارد، برای نمونه عبارت «$$x + 2 le 5$$
• ارزش گزاره: همان تعریف دو ارزش درست (True) و نادرست (False) است، در واقع هر گزاره باید یک ارزش مشخص داشته باشد.
• نقیض گزاره: جمله‌ای است که ارزش آن، عکس ارزش گزاره اصلی است.
• ترکیب گزاره‌ها: ترکیب گزاره‌ها را می‌توان به صورت یکی از سه مورد زیر در نظر گرفت:
  • عطف گزاره‌ها: عطف دو گزاره زمانی درست است که هر دو گزاره درست باشند.
  • فصل گزاره‌ها: فصل دو گزاره زمانی اشتباه است که هر دو گزاره اشتباه باشند.
  • گزاره شرطی: عبارت $$P to Q$$

به علاوه سه روش مهم و ساده استدلال ریاضی که از آن‌ها برای نشان دادن درستی یا نادرستی گزاره‌ها استفاده می‌شود، عبارت‌اند از:

• اثبات مستقیم
• مثال نقض
• اثبات غیرمستقیم (برهان خلف)

اولین روشی که در این بخش از ریاضیات گسسته با آن آشنا می‌شوید، روش «اثبات مستقیم» است. در این نوع اثبات از فرض‌ها یا مقدمات شروع می‌کنیم و با استفاده از قواعد منطقی، تعاریف و قضیه‌های شناخته‌ شده قدم به قدم به نتیجه می‌رسیم، یعنی با پیروی کردن از $$P to Q$$

همچنین اگر بخواهیم ثابت کنیم یک گزاره کلی نادرست است، لازم نیست تمام حالت‌ها را بررسی کنیم. بلکه تنها کافی است یک مثال پیدا کنیم که آن گزاره را نقض کند. به این شیوه اثبات، «مثال نقض» گفته می‌شود. برای مثال، فرض کنید گزاره‌ای داریم به این صورت که «مجموع دو عدد اول همیشه اول است». برای اثبات نادرستی آن، کافی است یک مورد مثال نقض پیدا کنیم:

$$3 + 5 = 8$$

در مطلب زیر از مجله فرادرس مفهوم و کاربرد برهان خلف را توضیح داده‌ایم.

نمونه سوال استدلال ریاضی گسسته دوازدهم

در این بخش با حل چند نمونه مثال بهتر متوجه خواهید شد که چگونه با روش‌هایی مانند اثبات مستقیم یا مثال نقض می‌توانیم برخی گزاره‌ها را اثبات کنیم و سایر روش‌های استدلال ریاضی چیست.

مثال ۱

به روش اثبات مستقیم نشان دهید که اگر $$n$$ عددی زوج باشد، $$n^2$$ نیز زوج است.

پاسخ

در روش اثبات مستقیم با در نظر گرفتن فرض داده شده در صورت سوال خواهیم داشت:

$$Rightarrow n = 2k$$

بنابراین برای $$n^2$$ خواهیم داشت:

$$Rightarrow n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 (2k^2)$$

عبارت بالا نشان می‌دهد که $$n^2$$ بر $$‌2$$ بخش‌پذیر است، پس زوج است.

مثال ۲

با استفاده از برهان خلف ثابت کنید در یک مثلث حاصل جمع دو ضلع همیشه از ضلع سوم بزرگتر است.

پاسخ

اگر اضلاع یک مثلث را به شکل $$a,b ,c$$

$$c ≥ a+b$$

در این صورت با چیدن دو ضلع $$a$$ و $$b$$ در کنار هم، طول آن‌ها از $$c$$ کمتر یا مساوی است. اما این سه نقطه نمی‌توانند یک مثلث تشکیل دهند، زیرا شرط تشکیل مثلث نقض شده است. پس به تناقض رسیدیم، چون فرض کرده بودیم شکل ما یک مثلث است. چون فرض نادرست شد، پس نقیض آن یعنی $$c < a+b$$

مثال ۳

به روش برهان خلف ثابت کنید اگر $$n$$ یک عدد صحیح و $$n^2$$ زوج باشد، آنگاه $$n$$ نیز زوج است.

پاسخ

برای اثبات به روش برهان خلف، ابتدا فرضی مخالف با آنچه داریم را در نظر می‌گیریم، یعنی اگر $$n^2$$ زوج باشد، آنگاه $$n$$ فرد است. بنابراین اگر $$n$$ فرد باشد، می‌توان آن را به شکل زیر نوشت:

$$n = 2k + 1$$

حالا $$n^2$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$n^2= (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+ k) + 1$$

حاصل محاسبه بالا برابر شد با دو برابر یک عدد صحیح دیگر به اضافه یک. پس $$n^2$$ فرد است. اما طبق فرض سوال $$n^2$$ زوج است. اینجا به تناقض می‌رسیم. به این ترتیب فرض خلاف ما اشتباه و گزاره همواره درست است.

مثال ۴

اگر برای هر عدد حقیقی $$x$$ داشته باشیم $$x^ 2 > x$$

پاسخ

برای اثبات درستی یا نادرستی عبارت داده شده می‌توانیم دنبال مثال نقض باشیم. اگر مثال نقضی پیدا شد، گزاره $$x> 1$$

$$(-1)^ 2 = +1 > -1$$

پس برای $$x= -1$$