$$S_ n = a frac{1- q^n}{1-q}$$

معادلات درجه دوم

دومین بخش از فصل اول آموزش حسابان یازدهم اختصاص دارد به بررسی روابط بین ریشه‌های معادلات درجه دو و ضرایب این معادلات. می‌‌دانیم یک معادله درجه دو به شکل زیر است:

$$ax^2+ bx+ c = 0$$

$$x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

علت اینکه می‌گوییم ریشه‌های معادله درجه دوم این است که به دلیل وجود علامت $$pm$$ در فرمول بالا دو ریشه داریم. فرض کنید معادله‌ای به شکل زیر داریم:

$$x^2 – 7x +10 = 0$$

طبق فرمول دلتا ریشه‌های این معادله برابر‌اند با:

$$x = frac{7 pm sqrt{49- 40}}{2} = frac{7 pm 3}{2} = begin{cases}5 \2end{cases}$$

مجموع و حاصل‌ضرب این دو ریشه نیز عبارت‌اند از:

$$S = 2+5 = 7$$

$$P = 2 times 5 =10$$

اما نکته جالب این است که می‌توانیم بدون حل معادله $$S$$ و $$P$$ را تعیین کنیم. در بخش‌های بعد به این موضوع خواهیم پرداخت.

فرمول مجموع ریشه ها

اگر ریشه اول و دوم یک معادله درجه دو را به ترتیب $$x_1$$

$$S = x_1 + x_2 = frac{-b }{2a} +frac{ sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} + frac{-b }{2a} -frac{ sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = frac{-b }{a}$$

بنابراین برای معادله درجه دوم $$ax^2+ bx+ c = 0$$

فرمول حاصل‌ ضرب ریشه ها

اگر ریشه‌‌های اول و دوم یک معادله درجه دو را به ترتیب $$x_1$$

$$P = x_1 x_2 = (frac{-b }{2a} +frac{ sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} )( frac{-b }{2a} -frac{ sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} )$$

رابطه بالا را می‌توانیم به نوعی یک اتحاد مزدوج در نظر بگیریم. بنابراین بدون اینکه دو پرانتز را در هم ضرب کنیم، حاصل آن ساده می‌شود:

$$P = x_1 x_2 = frac{b^2 }{4a^2} -frac{ b^2 – 4ac}{4a^2} =frac{ c}{a}$$

بنابراین برای معادله درجه دوم $$ax^2+ bx+ c = 0$$

صفرهای تابع و روش هندسی حل معادلات

می‌‌دانیم هر تابع را می‌توان توسط یک رابطه (ضابطه) مانند $$f(x)$$ توصیف کرد. اگر این رابطه را برابر با صفر قرار دهیم، جواب‌های حاصل همان صفرهای معادله هستند:

$$f(x) = 0$$

در واقع اگر نمودار تابع را رسم کنیم، صفرهای تابع همان مولفه‌های x نقاطی هستند که از تلاقی نمودار تابع با محور xها حاصل می‌شوند. از این نکته می‌توانیم برای حل معادلات به روش هندسی استفاده کنیم. در این روش اگر معادله‌ای به شکل $$f(x) = g(x)$$

معادلات گویا و گنگ

منظور از معادلات گویا و گنگ معادلاتی است که به شکل کسری نوشته شده‌اند و شامل رادیکال نیز می‌شوند. حل این معادلات مستلزم ساده کردن جملات است که می‌توان به روش‌های مختلفی این فرآیند را انجام داد. تسلط به ساده‌سازی کسرها، انواع اتحادها، کوچکترین مضرب مشترک، نحوه به توان رساندن عبارت‌های رادیکالی، ساده کردن رادیکال‌ها و مفهوم دامنه و برد توابع گویا و چندجمله‌ای است. نکته مهم در حل معادلات گنگ و گویا این است که دقت کنیم پاسخ‌های به‌ دست آمده موجب صفر شدن مخرج کسرها یا منفی شدن عبارت‌های جبری زیر رادیکال نشوند.

قدر مطلق و ویژگی های آن

آخرین بخش از فصل اول آموزش حسابان اختصاص دارد به مفهوم قدر مطلق. می‌دانیم قدر مطلق هر عدد حقیقی $$a$$ به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$|a| = begin{cases} a & a geq 0\ -a & a < 0end{cases}$$

اگر به جای عدد مشخص $$a$$ متغیر $$x$$ داخل قدر مطلق قرار بگیرد، تابع قدر مطلق را به شکل $$y = |x|$$

برخی از مهم‌ترین ویژگی‌های قدر مطلق را در ادامه فهرست کرده‌ایم:

• $$|x| = a Rightarrow begin{cases} x =a & x geq a \ x= -a & x < a end{cases}$$
• $$|x|$$ همواره بزرگتر یا مساوی صفر است.
• $$|x| = |-x |$$
• $$sqrt{x^2} = |x|$$
• $$|x|^2 = x^2$$

آشنایی با هندسه تحلیلی

$$AB =sqrt {(x_2 -x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$$

همچنین در این بخش تعاریف زیر مهم است:

• عمود منصف یک پاره‌خط به تمام نقاطی گفته می‌شود که فاصله آن‌ها از دو سر پاره‌خط به یک اندازه است.
• اگر دو خط عمود بر هم با شیب‌های $$m_1$$
• اگر نقطه $$M$$ در وسط پاره‌خط $$AB$$ قرار گرفته باشد، مختصات آن برابر است با $$x_M = frac{x_A + x_B}{2}$$
• فاصله عمودی نقطه $$A = left(begin{array}{c}x_0\ y_0end{array}right)$$

حل مثال و تمرین از جبر و معادله

در این بخش چند نمونه مثال و تمرین از موضوعات این بخش خواهیم داشت تا آموزش حسابان یازدهم در این بخش تکمیل شود.

مثال ۱

هزینه یک تاکسی زمانی که مسافت اولیه‌ای به اندازه یک کیلومتر را می‌پیماید، برابر است با دو دلار. اگر به ازای هر یک کیلومتر بعدی به این مبلغ یک و نیم دلار اضافه شود، برای پیمودن بیست کیلومتر چه مبلغی نیاز است؟

پاسخ

ابتدا باید تشخیص دهیم دنباله ما هندسی است یا حسابی. چون در صورت سوال از عبارت «اضافه شود» استفاده شده است، پس نتیجه می‌گیریم جمله اول ما با یک و نیم دلار جمع می‌شود و به همین ترتیب. بنابراین یک دنباله حسابی داریم و برای پیدا کردن مبلغ معادل برای پیمودن بیست کیلومتر کافی است جمله بیستم در این دنباله را پیدا کنیم. با توجه به اینکه جمله اول $$2$$ و اختلاف مشترک $$1.5$$ است، جمله بیستم به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$a_ n = a_1 + (n-1) d$$

$$a_ {20} = 2 + (20-1) times 1.5 = 30.5$$

مثال ۲

اگر $$alpha$$ و $$beta$$ ریشه‌های معادله $$x^2 + 4x + 6 = 0$$

پاسخ

طبق فرمول‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها، برای معادله داده شده خواهیم داشت:

$$S = alpha + beta= frac{-b }{a}$$

$$$ P = alpha beta = frac{ c}{a} $$

$$S = frac{-4 }{1} = -4$$

$$P =frac{ 6}{1} = 6$$

حالا مجموع دو ریشه موردنظر یعنی $$frac{1}{alpha}$$

$$S = frac{1}{alpha} + frac{1}{beta} = frac{alpha +beta}{alpha beta}$$

ملاحظه می‌کنید که صورت و مخرج رابطه بالا معادل شد با مقادیری که به دست آوردیم. پس داریم:

$$S = frac{alpha +beta}{alpha beta} = frac{S}{P} = frac{-4}{6}= frac{-2}{3}$$

به همین شکل برای حاصل‌ضرب $$frac{1}{alpha}$$

$$P= frac{1}{alpha } times frac{1}{beta} = frac{1}{alpha beta} = frac{1}{P} = frac{1}{6}$$

می‌دانیم اگر $$alpha$$ و $$beta$$ دو عدد دلخواه باشند به شکلی که $$S = alpha + beta$$

$$x^2 – (frac{-2}{3})x + frac{1}{6} = 0$$

$$x^2 + frac{2}{3}x + frac{1}{6} = 0$$

اگر تمام جملات این معادله را در کسر یک ششم ضرب کنیم، خواهیم داشت:

$$6x^2 + 4x + 1 = 0$$

پس معادله به دست آمد.

مثال ۳

معادله $$|x| = x^2 – 2x$$

پاسخ

ملاحظه می‌کنید که این دو تابع در دو نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند:

$$x = 0$$

$$x =3$$

این دو نقطه همان جواب‌های معادله $$|x| = x^2 – 2x$$

مثال ۴

نمودار تابع $$y = – |x| + 5$$

پاسخ

برای رسم چنین نموداری طبق مراحل زیر پیش می‌رویم:

1. ابتدا نمودار $$y = |x|$$
2. آن را نسبت به محور x قرینه می‌کنیم.
3. نمودار نهایی را به اندازه پنج واحد در جهت مثبت محور y جابجا می‌کنیم.

حاصل به شکل زیر خواهد شد:

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

یادگیری حسابان با فرادرس

در این بخش چند فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس به شما معرفی می‌شود که با هدف آموزش حسابان یازدهم و دوازدهم تهیه شده‌اند:

تابع

در بخش بعدی از آموزش حسابان یازدهم با مفهوم تابع، انواع تابع، نحوه پیدا کردن وارون یا معکوس یک تابع و چگونگی انجام اعمال گوناگون روی یک تابع آشنا خواهید شد.

تعریف تابع چیست؟

$$f = left{ (a,b) | a in A , b in Bright}$$

در این رابطه $$f$$ نماد تابع، $$a in A$$

• یک تابع زمانی مشخص می‌شود که دامنه، هم‌دامنه و دستور یا ضابطه‌ای که نحوه ارتباط بین اعضای دامنه و هم‌دامنه را نشان می‌دهد، مشخص باشند.
• هم‌دامنه مجموعه‌ای از اعداد یا اعضا است که خروجی تابع می‌تواند جزئی از آن باشد. به هم‌دامنه، دامنه مشترک نیز گفته می‌شود.
• تابع رابطه‌‌ای است که در آن هر عضو از مجموعه‌ای مانند $$A$$ فقط و فقط به یک عضو از مجموعه‌ای مانند $$B$$ مرتبط می‌‌شود.
• برد یک تابع زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه آن است.
• دو تابع $$f$$ و $$g$$ زمانی با هم برابر‌اند که دو شرط برقرار بماند، اول اینکه دامنه هر دو یکسان باشد و سپس به ازای هر $$x$$ از این دامنه، همواره داشته باشیم $$f(x) = g(x)$$
• اگر دو تابع $$f$$ و $$g$$ به شکل $$f: Arightarrow B$$

دو مجموعه بالای تصویر زیر یک تابع را نشان می‌دهند، در حالی که ارتباط بین اعضای دو مجموعه پایین‌تر نشان دهنده یک تابع نیست. با توجه به اینکه عدد $$2$$ به دو عضو از برد تابع مرتبط شده است، بنابراین نمی‌توانیم ارتباط این دو مجموعه را یک تابع در نظر بگیریم. این تابع را می‌توانیم به شکل نیز نشان دهیم که در آن مجموعه دامنه عبارت است از $$D = left{ 1,2,3right}$$

$$f = left{ (1,p) , (2,q), (3,q) right}$$

برای اینکه مفهوم هم‌دامنه را در مقایسه با برد بهتر متوجه شوید، به تصویر زیر دقت کنید. طبق این تصویر که نشان‌ دهنده تابعی با ضابطه $$x^2$$ است، برد شامل اعدادی مانند $$1, 4,9, 16$$

رابطه یا فرمول ریاضیاتی توصیف کننده توابع می‌توانند با هم جمع شوند یا در هم ضرب شوند و …. برای دو تابع $$f$$ و $$g$$  روابط زیر را داریم:

• $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$
• $$(f-g)(x) = f(x) – g(x)$$
• $$(f.g)(x) = f(x) .g(x)$$
• $$(kf(x))= k.f(x)$$
• $$frac{f}{g}(x) = frac{f(x) }{g(x)}$$

روش تشخیص تابع

یکی از ساده‌ترین روش‌ها برای تشخیص تابع این است که ابتدا نمودار آن را رسم کنیم. سپس با رسم خطوط عمودی یا خطوطی موازی با محور y در نقاط مختلف، بینیم آیا این خطوط نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می‌کنند یا خیر. اگر فقط برای یکی از این خطوط بیش از دو نقطه تقاطع وجود داشت، این نمودار نشان دهنده یک تابع نیست.

دقت کنید برای رسم نمودار یک تابع کافی است ابتدا ضابطه یا رابطه آن تابع را پیدا کنیم. سپس با مقداردهی به جای $$x$$ و با در نظر گرفتن دامنه تابع، مقادیر $$f(x)$$ یا $$y$$ را به‌دست آوریم. برای مثال، در مورد تابع درجه دو نشان داده شده در تصویر قبل، ضابطه تابع معادل است با $$f(x) = y = x^2$$

این در حالی است که نمودار زیر نمودار یک تابع محسوب نمی‌شود:

انواع تابع

پس از اینکه تعریف و ویژگی‌های مهم یک تابع را در آموزش حسابان یازدهم آموختیم، در این بخش با انواع تابع، مشخصات و نمودار هر کدام به شکلی مختصر آشنا می‌شویم. با تابع یک به یک شروع می‌کنیم که در آن هر عضو متفاوت از دامنه فقط و فقط با یک عضو متمایز از برد متناظر است. تصویر زیر تمایز تابع یک به یک را با انواع دیگر توابع به درستی نشان می‌دهد:

روش آسان‌تر تشخیص یک به یک بودن تابع این است که نمودار آن را رسم کنیم. اگر خطوط موازی محور افقی این نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کنند، تابع یک به یک نیست. در ادامه برخی از مهم‌ترین دسته‌بندی‌ها برای یک تابع را به طور خلاصه معرفی کرده‌ایم:

• تابع یک به یک: تابعی است که هر ورودی متفاوت خروجی متفاوتی نیز دارد.
• تابع پوشا: تابعی است که تمام مقادیر ممکن در برد را پوشش می‌دهد.
• تابع صعودی: تابعی است که با افزایش مقدار $$x$$ در آن مقدار $$f(x)$$ نیز افزایش می‌یابد.
• تابع نزولی: تابعی است که با افزایش مقدار $$x$$ در آن مقدار $$f(x)$$ کاهش می‌یابد.
• تابع زوج: تابعی است که به ازای هر $$x$$ در آن رابطه $$f(x) = f(-x)$$
• تابع فرد: تابعی است که به ازای هر $$x$$ در آن رابطه $$f(-x) = -f(x)$$
• تابع معکوس یا وارون: تابعی است که ورودی و خروجی تابع را جابجا می‌کند، به گونه‌ای که $$x = f (f^{-1} (x) )$$

برای مثال، در تصویر زیر اگر $$f$$ تابعی یک به یک و $$f^{-1}$$ وارون یا معکوس آن باشد، تبدیلات $$f$$ و $$f^{-1}$$ به شکل زیر خواهد بود:

شناخت این ویژگی‌ها در مورد یک تابع به ما کمک می‌کند تا در رسم نمودار آن یا محاسبه مشتق و … بهتر عمل کنیم. برای مثال، اگر بدانیم تابعی زوج است، بلافاصله نتیجه می‌گیریم که نمودار آن نسبت به محور قائم تقارن دارد و این در رسم نمودار تابع کمک کننده است. همچنین انواع تابع را بر اساس ضابطه آن‌ها می‌توان به شکل زیر دسته‌بندی کرد:

• تابع ثابت: تابعی که مقدار آن به ازای هر ورودی یا $$x$$ برابر با عدد ثابتی مانند $$c$$ است ($$f(x) = c$$
• تابع همانی: تابعی است که مقدار یا خروجی آن یعنی $$f(x)$$ همواره با ورودی یا $$x$$ برابر است ($$f(x) = x$$
• تابع چند جمله‌ای: تابعی است که از مجموع چند جمله شامل توان‌های صحیح و غیرمنفی $$x$$ ساخته شده است ($$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n$$
• تابع خطی: نوعی تابع چند جمله‌ای است که در آن بیشترین درجه یا توان $$x$$ برابر با یک است ($$f(x) = mx + b$$
• تابع درجه دو یا مربعی: نوعی تابع چند جمله‌ای است که در آن بیشترین درجه یا توان $$x$$ برابر است با دو ($$f(x) = ax^2 + bx + c$$
• تابع درجه سه یا مکعبی: نوعی تابع چند جمله‌ای است که در آن بیشترین درجه یا توان $$x$$ برابر است با سه ($$f(x) = ax^3 + bx^2 + c x + d$$
• تابع گویا: تابعی است که صورت و مخرج آن چندجمله‌ای است با این شرط که مخرج صفر نشود ($$f(x) = frac {P(x)}{Q(x)}$$
• تابع قدر مطلق: تابعی است که فقط مقدار مثبت $$x$$ یا صفر آن را به ما می‌دهد ($$|x| = begin{cases} x & x geq 0\ -x & x < 0end{cases}$$
• تابع جزء صحیح یا تابع پله‌ای: تابعی است که بزرگترین عدد کوچکتر یا مساوی $$x$$ را به ما می‌دهد ($$f(x) = [x]$$
• تابع رادیکالی یا ریشه دوم: تابعی که در آن از متغیر $$x$$ ریشه‌ $$n$$ام گرفته می‌شود ($$f(x) = sqrt[n]{x}$$
• تابع مثلثاتی: در این نوع از توابع نسبت‌های اضلاع مثلث قائم‌الزاویه برحسب زاویه تعریف می‌شود ($$f(x) = sin x$$

برای نمونه اگر بخواهیم تابع جزء صحیح را بهتر بشناسیم، لازم است ابتدا تعریف آن را بدانیم. جزء صحیح متغیری مانند $$x$$ به صورت زیر تعریف می‌شود که در آن $$x$$ عدد حقیقی و $$n$$ عدد صحیح است:

$$[x] = n , n leq x leq n+1$$

طبق این تعریف برای مثال داریم $$[3.501] = 3$$

حل مثال و تمرین از تابع

در این بخش با حل چند نمونه سوال در قالب سوالات تشریحی و چهار گزینه‌ای به شما کمک می‌کنیم تا به مباحث این بخش از آموزش حسابان یازدهم کاملا مسلط شوید.

مثال ۱

اگر توابع $$f$$ و $$g$$ به شکل زیر داده شوند، $$gof$$ را محاسبه کنید:

$$f(x) = sqrt{x-2}$$

$$g(x) = ln (1+x^2)$$

پاسخ

دقت کنید در این سوال $$gof$$ یا $$g(f(x))$$ خواسته شده است، نه $$f(g(x))$$. پس به شکل زیر پیش می‌رویم:

$$g(x) = ln (1+x^2) Rightarrow g(f(x)) = ln (1+f^2(x))$$

در این عبارت توان دوم تابع $$f(x)$$ را داریم که برابر است با:

$$f(x) = sqrt{x-2} Rightarrow f^2(x) = x-2$$

پس خواهیم داشت:

$$Rightarrow gof = g(f(x)) = ln (1+x-2) = ln (x-1)$$

مثال ۲

معکوس تابع $$f(x) = 5x + 4$$

پاسخ

در این سوال داریم $$y = 5x + 4$$

$$x = frac{y-4}{5}$$

حالا برای نوشتن معکوس کافی است به‌جای $$y$$ از $$x$$ و به جای $$x$$ از $$f^{-1} (x)$$ استفاده کنیم:

$$f^{-1} (x) = frac{x-4}{5}$$

مثال ۳

دامنه و برد تابع زیر را پیدا کنید:

$$f (x) = -3 sqrt{14+ 3y}$$

پاسخ

تابع داده شده یک تابع رادیکالی است و می‌دانیم هر عبارتی که زیر رادیکال قرار داده شود، باید مثبت یا مساوی صفر شود. به این ترتیب داریم:

$$sqrt{14+ 3y} geq 0$$

$$y geq frac{-14}{3}$$

بنابراین دامنه این تابع در زبان ریاضیات و به شکل دقیق برابر است با:

$$D : frac{-14}{3} leq y leq +infty$$

یا

$$D: [ frac{-14}{3} , +infty )$$

در مورد برد این تابع باید توجه کنیم که در $$y = frac{-14}{3}$$

$$R: ( -infty , 0]$$

دقت کنید معمولا دامنه را با $$D$$ و برد را با $$R$$ نشان می‌دهند.

مثال ۴

معادله زیر را حل کنید:

$$[x^2 – 4x ] = 2x -5$$

پاسخ

معادله داده شده یک تابع جزء صحیح است. می‌دانیم تعریف جزء صحیح به این صورت است که اگر داشته باشیم $$[A ] = k$$

• برقراری نامساوی $$k leq A leq k+1$$
• عدد صحیح بودن $$k$$

با این توضیح، حل مسئله را به این شکل پیش می‌بریم که معادله داده شده را با $$[A ] = k$$

$$x^2 – 4x = A$$

$$2x -5 = k$$

و بلافاصله ابتدا شرط عدد صحیح بودن عبارت $$2x -5$$

$$begin{cases} 2x -5 leq x^2 – 4x \x^2 – 4x leq 2x -4 end{cases}$$

مجموعه جواب این سوال با اشتراک گرفتن از جواب‌های این دو نامعادله و البته در نظر گرفتن شرط مربوط به عدد صحیح شدن جواب عبارت $$2x -5$$

$$0 leq x^2 – 4x -2x + 5$$

$$0 leq x^2 -6x + 5$$

$$(x – 1)(x-5) = 0 Rightarrow x= 1 , x= 5$$

چون ضریب $$x^2$$ مثبت است، پس نامعادله در خارج ریشه‌ها برقرار است. در واقع این معادله نشان دهنده یک سهمی رو به بالا است، پس نامعادله داده شده پاسخ‌‌هایی در بازه زیر دارد:

$$x in (- infty , 1 ] cup [5, + infty)$$

حالا می‌رویم سراغ نامعادله دیگر که به شکل زیر است:

$$x^2 – 4x \x^2 – 4x leq 2x -4$$

$$x^2 – 6x + 4 leq 0$$

حل معادله $$x^2 – 6x + 4 = 0$$

$$x in (3 – sqrt{5}, 3 + sqrt{5})$$

در آخرین مرحله لازم است اشتراک بین این دو بازه را پیدا کنیم. اگر با تقریب $$sqrt{5}$$

$$3 – sqrt{5} approx 0.76$$

$$3 + sqrt{5} approx 5.23$$

$$( (- infty , 1 ] cup [5, + infty) )cap ( (3 – sqrt{5}, 3 + sqrt{5}) )$$

$$= (3 – sqrt{5}, 1 ] cap [5, 3 + sqrt{5})$$

اما از این مجموعه پاسخ فقط آن جواب‌هایی قابل‌قبول هستند که $$2x-5$$

$$2(3 – sqrt{5}) -5 < 2x-5 leq 2(1) – 5$$

با در نظر گرفتن $$2x- 5 = k$$

$$1 – 2sqrt{5} < k leq -3$$

$$-3.47 < k leq -3$$

تنها عدد صحیح در این بازه $$k = -3$$

$$2x – 5 = -3 Rightarrow x = 1$$

مقدار $$1$$ در بازه $$(3 – sqrt{5}, 1 ]$$

$$2(5) -5 leq 2x-5< 2(3 + sqrt{5}) -5$$

$$5 leq k< 2sqrt{5} + 1$$

$$5 leq k< 5.47$$

تنها عدد صحیح در این بازه $$k = 5$$

$$2x – 5 = 5 Rightarrow x = 5$$

مقدار $$5$$ نیز در بازه $$[5,3 + sqrt{5})$$

$$= { 1,5}$$

تمرین ۱

تمرین ۲

توابع نمایی و لگاریتمی

پس از اینکه با انواع تابع و ویژگی‌های کلی یک تابع در فصل دوم آموزش حسابان یازدهم آشنا شدیم، در این بخش روی توابع لگاریتمی و نمایی متمرکز خواهیم شد. پیشنهاد می‌کنیم برای تسلط بیشتر بر سوالات این بخش، فیلم آموزش رایگان محاسبه سریع لگاریتم – روش حل تستی + مثال‌های مختلف فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است:

تابع نمایی چیست؟

تابع نمایی یا Exponential Function به تابعی گفته می‌شود که در آن متغیر $$x$$ در توان یا نمای یک عدد ثابت مانند $$b$$ ظاهر می‌شود. ضابطه کلی این تابع به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$f(x) = b^x$$

که البته لازم است شرایطی مانند $$b neq 1$$

همچنین این تابع معکوس تابع لگاریتمی است و به همین دلیل در بخش بعد پس از تعریف لگاریتم به بررسی ارتباط این دو تابع خواهیم پرداخت. بررسی رشد جمعیت و میزان سرمایه‌گذاری در گذر زمان از جمله موضوعاتی هستند که توسط تابع نمایی به خوبی توصیف می‌شوند.

به طور کلی بهتر است قواعد زیر را در مورد توابع نمایی به خاطر بسپاریم:

$$a^0 = 1$$

$$a^{-x} = frac{1}{a^x}$$

$$a^{x} . a^{y} = a^{x+ y}$$

$$(a^{x} )^y = a^{xy}$$

$$(ab)^x = a^x b^x$$

$$(frac{a}{b})^x = frac{a^x}{b^x}$$

$$frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

تابع لگاریتمی چیست؟

تابع لگاریتمی معکوس تابع نمایی است. اگر تابع نمایی ما به شکل $$f(x) = b^x$$

$$g(x) = log _b (x)$$

با این شروط که داشته باشیم: $$b neq 1$$

$$b^ { log _b (x)} = x$$

$$log _b {b^x} = x$$

در مورد توابع لگاریتمی نکات زیر مهم هستند:

همچنین مهم‌ترین قوانین در مورد لگاریتم‌ها را می‌توان به شکل زیر فهرست کرد:

$$log_{b} ( x^a) = a log_b (x)$$

$$log_{b} (xy) = log_{b} (x) + log_{b} (y)$$

$$log_{b} (frac{x}{y}) = log_{b} (x) – log_{b} (y)$$

$$log_{a} (b) = frac{1}{log_{b} (a) }$$

$$log_{b} (x) = frac{log_{c} (x)}{log_{c} (b) }$$

حل مثال و تمرین از تابع نمایی و لگاریتمی

در این قسمت با حل چند نمونه سوال مباحث این فصل از آموزش حسابان یازدهم را عمیق‌تر خواهید آموخت.

مثال ۱

عبارت لگاریتمی زیر را ساده کنید:

$$5log_{2} (x) + 3log_{2} (2y)$$

پاسخ

ساده کردن عبارت داده شده را به شکل زیر انجام می‌دهیم:

$$5log_{2} (x) + 3log_{2} (2y) = log_{2} (x^5) + log_{2} ((2y)^3)$$

$$= log_{2} (x^5) + log_{2} (8y^3)$$

$$= log_{2} [(x^5) (8y^3)]$$

$$= log_{2} (8x^5y^3)$$

مثال ۲

معادله $$4^{2y+1} = 2^{y-1}$$

پاسخ

برای حل معادلات این چنینی بهتر است ابتدا به پایه‌های دو طرف تساوی دقت کنیم و ببینیم چطور می‌شود آن‌ها را به هم تبدیل کرد. در این سوال دو عدد دو و چهار با هم مرتبط‌اند، چهار توان دوم دو است. پس خواهیم داشت:

$$(2^2)^{2y+1} = 2^{y-1}$$

$$2^{2(2y+1)} = 2^{y-1}$$

$$2^{4y+2} = 2^{y-1}$$

حالا که پایه‌‌های هر دو عدد توان‌دار در دو طرف تساوی با هم برابر شدند، نما یا توان آن‌ها نیز با هم برابر است. بنابراین داریم:

$$4y+2 = y-1 Rightarrow 3y = -3 Rightarrow y = -1$$

تمرین

مثلثات

در چهارمین فصل از آموزش حسابان یازدهم مباحثی مانند رادیان، نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌ها، توابع مثلثاتی و بررسی روابط مثلثاتی مجموع یا تفاضل زاویه‌ها بررسی می‌شود.

رادیان چیست؟

مثلثات با تسلط بر جداول حاصل از دایره مثلثاتی شروع می‌شود و دانستن این نکته که زاویه‌ها به جای درجه اغلب با واحد دیگری به نام رادیان توصیف می‌شوند، ضروری است. محاسبه اندازه یک زاویه بر حسب رادیان توسط رابطه زیر انجام می‌شود که در آن $$l$$ برابر است با طول کمان روبروی زاویه $$theta$$ در دایره‌ای به شعاع $$r$$:

$$theta = frac{l}{r}$$

نسبت های مثلثاتی

در مرحله بعد از این بخش آموزش حسابان یازدهم، بهتر است با تعریف چهار تابع مثلثاتی مهم یعنی سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت یک زاویه آشنا شویم که با در نظر گرفتن مثلث قائم‌الزاویه زیر در دایره مثلثاتی حاصل می‌شود:

طبق این تعریف‌ها برای دایره بالا با شعاع واحد خواهیم داشت:

$$sin theta = frac{y}{1} = y$$

$$cos theta = frac{x}{1} = x$$

$$tan theta = frac{y}{x}$$

چون همیشه کتانژانت یک زاویه عکس تانژانت آن است، پس داریم:

$$cot theta = frac{x}{y}$$

در ادامه بهتر است روابط زیر را در مورد نسبت‌های مثلثاتی به خاطر بسپاریم. این فرمول‌های به شما کمک می‌کنند تا در حل مسائل این بخش از آموزش حسابان یازدهم سریعتر عمل کنید:

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های قرینه:

$$sin (-alpha) = – sin alpha$$

$$cos (-alpha) = cos alpha$$

$$tan (-alpha) = – tan alpha$$

$$cot (-alpha) = – cot alpha$$

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های متمم (زاویه‌هایی که مجموع آن‌ها برابر با $$frac{pi}{2}$$

$$sin (frac{pi}{2} – theta) = cos theta$$

$$cos (frac{pi}{2} – theta) = sin theta$$

$$tan (frac{pi}{2} – theta) = cot theta$$

$$cot (frac{pi}{2} – theta) = tan theta$$

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مکمل (زاویه‌هایی که مجموع آن‌ها برابر با $$pi$$ می‌شود):

$$sin (pi – theta) = sin theta$$

$$cos (pi – theta) = -cos theta$$

$$tan (pi – theta) = – tan theta$$

$$cot (pi – theta) = -cot theta$$

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های بزرگتر از $$pi$$:

$$sin (pi + theta) = -sin theta$$

$$cos (pi+theta) = -cos theta$$

$$tan (pi + theta) = tan theta$$

$$cot (pi + theta) =cot theta$$

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌‌های دارای مجموع یا تفاضل $$2kpi$$ رادیان:

$$sin (2kpi + theta) = sin theta$$

$$cos (2kpi+theta) = cos theta$$

$$tan (2kpi + theta) = tan theta$$

$$cot (2kpi + theta) =cot theta$$

$$sin (2kpi – theta) =- sin theta$$

$$cos (2kpi – theta) = cos theta$$

$$tan (2kpi – theta) = -tan theta$$

$$cot (2kpi – theta) =-cot theta$$

• نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌‌های دارای مجموع $$frac{pi}{2}$$

$$sin ( frac{pi}{2} + theta) =cos theta$$

$$cos ( frac{pi}{2} + theta) =- sin theta$$

$$tan ( frac{pi}{2} + theta) = -cot theta$$

$$cot ( frac{pi}{2} + theta) =-tan theta$$

توابع مثلثاتی

در بخش انواع تابع از آموزش حسابان یازدهم با انواع تابع آشنا شدید. به توابعی مانند $$y = sin x$$

$$sec x = frac{1}{cos x}$$

$$cosec x = frac{1}{sin x}$$

در ادامه مهم‌ترین ویژگی‌های توابع مثلثاتی را برای شما فهرست کرده‌ایم:

• دامنه توابع سینوسی و کسینوسی معادل است با مجموعه اعداد حقیقی.
• برد توابع سینوسی و کسینوسی همواره در بازه بسته $$[-1,+1]$$ قرار می‌گیرد.
• دامنه توابع تانژانتی شامل تمام اعداد حقیقی به جز مضارب فرد $$frac{pi}{2}$$
• دامنه توابع کتانژانتی شامل تمام اعداد حقیقی به جز مضارب صحیح $$pi$$ مانند $$3pi$$ یا $$-pi$$ است.
• برد توابع تانژانت و کتانژانت معادل است با مجموعه اعداد حقیقی.

نحوه رسم نمودار این توابع را در مطالب «رسم نمودار سینوس و کسینوس – به زبان ساده با مثال و تمرین» و «نمودار تانژانت و کتانژانت – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس به طور کامل توضیح داده‌ایم.

روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل دو زاویه مختلف

روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل دو زاویه مختلف به شکل زیر تعریف می‌شوند:

$$sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$$

$$cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta$$

$$sin (alpha – beta) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta$$

$$cos (alpha – beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$$

حل مثال و تمرین از مثلثات

پس از اینکه با مهم‌ترین روابط مثلثاتی در حسابان یک آشنا شدیم، در این قسمت چند نمونه سوال در این زمینه حل می‌کنیم. پیش از شروع چند فرمول دیگر را نیز معرفی می‌کنیم که تسلط بر آن‌ها در حل مسائل مثلثات بسیار مهم است:

$$sin^2theta + cos^2theta = 1$$

$$cos2theta =2 cos^2theta -1$$

$$sin2theta =2 sintheta costheta$$

$$1+ tan^2theta = sec^2theta$$

$$1+ cot^2theta = csc^2theta$$

مثال ۱

برای هر کدام از معادلات زیر به کمک روابط مثلثاتی مجموعه پاسخ‌های ممکن را پیدا کنید:

$$1+ cos(2theta) = costheta$$

$$sin(2theta) = tantheta$$

پاسخ

در مورد اولین معادله از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$cos2theta =2 cos^2theta -1$$

$$1+2 cos^2theta -1 = costheta Rightarrow 2 cos^2theta – costheta = 0$$

برای حل این معادله، از $$costheta$$ فاکتورگیری می‌کنیم و سپس پاسخ هر بخش را پیدا می‌کنیم:

$$Rightarrow costheta (2 costheta – 1) = 0$$

در اولین حالت $$costheta = 0$$

$$theta = frac{pi}{2}, frac{pi}{2}pm pi, frac{pi}{2}pm 2pi , …$$

در حالت بعدی $$costheta = frac{1}{2}$$

$$theta = frac{pi}{3}, frac{pi}{3}pm 2pi , …$$

یا

$$theta =- frac{pi}{3}, – frac{pi}{3}pm 2pi , …$$

با توجه به این سه مجموعه می‌توانیم جواب این معادله را برای $$n = 0, pm1, pm 2, pm3, …$$

$$theta = frac{pi}{2} + npi$$

$$theta = frac{pi}{3} + 2npi$$

$$theta = -frac{pi}{3} + 2npi$$

در مورد دومین معادله از فرمول $$sin2theta =2 sintheta costheta$$

$$2 sintheta costheta = frac {sin theta}{costheta}$$

$$Rightarrow 2 sintheta cos^2theta- sin theta = 0$$

با فاکتورگیری از سینوس خواهیم داشت:

$$Rightarrow sintheta (2 cos^2theta- 1) = 0$$

مجددا به دو عبارت رسیدیم که ضرب‌شان در هم برابر با صفر شده است. پس لازم است هر کدام را جداگانه برابر با صفر در نظر بگیریم:

$$sintheta = 0$$

$$Rightarrow theta =0 , pmpi , pm 2pi, …$$

$$2 cos^2theta- 1 = 0$$

$$Rightarrow cos^2theta = frac{1}{2}$$

$$Rightarrow theta =frac{pi}{4} ,frac{pi}{4} pm frac{pi}{2}, frac{pi}{4}pm pi, …$$

به این ترتیب مجموعه جواب‌‌های این معادله برای $$n = 0, pm1, pm 2, pm3, …$$

$$theta = npi$$

$$theta =frac{pi}{4} + frac{npi}{2}$$

مثال ۲

عبارت مثلثاتی $$frac{sin(frac{3pi}{2}-x) – cos (5pi +x)}{sin(pi +x) +cos (frac{pi}{2}+x)}$$

پاسخ

از روابط زیر استفاده می‌کنیم تا تک تک جملات را ساده کنیم:

$$sin(frac{3pi}{2}-x )= -cos x$$

$$cos(frac{pi}{2}+x )= -sin x$$

$$cos(5pi+x )= -cos x$$

$$sin(pi+x )= -sin x$$

به این ترتیب خواهیم داشت:

$$Rightarrow frac{-cos x – (-cos x)}{-sin x +(-sin x)} = frac{-cos x +cos x}{-2sin x} = 0$$

تمرین

یادگیری ریاضی متوسطه دوم با فرادرس

در این مطلب از مجله فرادرس روی آموزش حسابان یازدهم تمرکز کردیم. مقطع متوسطه دوم رشته ریاضی و فیزیک شامل دروس دیگری از جمله هندسه تحلیلی، آمار و احتمال و ریاضیات گسسته است. در این بخش می‌توانید چند فیلم آموزشی فرادرس در این زمینه را مشاهده کنید:

حد و پیوستگی

در آخرین مبحث از آموزش حسابان یازدهم با مفهوم حد، فرآیندهای حدی، حد چپ و راست، قضایای حد و قوانین مربوط به رفع ابهام‌های حد آشنا می‌شوید. همچنین شرایط لازم برای برقراری پیوستگی در یک تابع را خواهید آموخت.

مفهوم حد

مفهوم حد یا لیمیت (Limit) به منظور توصیف رفتار یک تابع در نزدیکی یا همسایگی یک نقطه خاص بکار می‌رود. در این توصیف نیازی نداریم که لزوما خود تابع در آن نقطه تعریف شده باشد. این توضیح به این معنا است که ممکن است تابعی در یک نقطه مقدار تعریف شده‌ای نداشته باشد، اما با بررسی حد آن در نزدیکی این نقطه می‌توانیم رفتار حدی تابع را در همسایگی این نقطه بررسی کنیم.

برای مثال، فرض کنید یک شش ضلعی منتظم داخل دایره‌ای قرار دارد. اگر تعداد اضلاع این چندضلعی را افزایش دهیم، برای مثال یک دوازده‌ضلعی منتظم محاطی داشته باشیم، مشاهده می‌کنید که مساحت این چندضلعی بسیار به مساحت دایره نزدیک شده است. به همین شکل با افزایش بیشتر تعداد اضلاع چندضلعی می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که مساحت چند ضلعی به سمت مساحت دایره میل می‌کند. به بیان دیگر، مساحت دایره برابر است با حد مساحت چندضلعی، زمانی که تعداد اضلاع آن بسیار بسیار زیاد شود.

مهم‌ترین تعریف‌هایی که لازم است برای درک مفهوم حد بدانید، شامل موارد زیر است:

• همسایگی $$x_0$$: اگر $$x_0 in (a,b)$$
• همسایگی محذوف $$x_0$$: اگر $$x_0$$
• همسایگی راست $$x_0$$: اگر $$r$$ یک عدد مثبت باشد، بازه $$(x _0, x _0+r)$$
• همسایگی چپ $$x_0$$: اگر $$r$$ یک عدد مثبت باشد، بازه $$(x _0 -r, x _0)$$
• حد تابع $$f$$: حد تابع $$f(x )$$ هنگامی که $$x$$ به سمت $$a$$ میل می‌کند، برابر است با عدد حقیقی $$L$$ و به صورت $$lim_{x rightarrow a} f(x ) = L$$
• شرط وجود حد در یک نقطه: برای اینکه در یک نقطه حد وجود داشته باشد، لازم است حد راست و چپ در آن نقطه با هم برابر باشند.