وتر / ضلع روبرو به زاویه = سینوس زاویه

وتر / ضلع مجاور به زاویه = کسینوس زاویه

ضلع مجاور به زاویه / ضلع روبرو به زاویه = تانژانت زاویه

ضلع روبرو به زاویه / ضلع مجاور به زاویه = کتانژانت زاویه

دقت کنید این تعریف‌ها برای سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت هر زاویه حاده یا تند در یک مثلث قائم‌الزاویه همواره برقراراند. از این روابط در حل مسائل بسیار استفاده می‌شود. با استفاده از روابط بالا می‌توانیم سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت زاویه $$theta$$ را به شکل زیر تعیین کنیم:

$$sin theta = frac{y}{ 1} = y$$

$$cos theta = frac{x}{ 1} = x$$

$$tan theta = frac{y}{ x}$$

$$cot theta = frac{x}{ y}$$

بنابراین $$P (x,y)$$ یا مختصات هر نقطه روی دایره واحد به جای $$(x,y)$$ معادل می‌شود با $$P = (cos theta , sintheta)$$

برای شروع بهتر است زاویه‌های سرراستی مانند $$0$$، $$frac{3 pi }{2}$$

• $$theta = 0^ {circ}$$: در این حالت نقطه $$P (x,y)$$ هیچ زاویه‌ای با محور افق ندارد و $$x$$ و $$y$$ متناظر با آن‌ عبارت‌اند از $$1$$ و $$0$$:

$$sin theta = y Rightarrow sin 0 = 0$$

$$cos theta = x Rightarrow cos 0 = 1$$

• $$theta = frac{ pi }{2}$$: در این حالت زاویه نقطه $$P (x,y)$$ با محور افقی نود درجه است و $$x$$ و $$y$$ متناظر با آن‌ عبارت‌اند از $$0$$ و $$1$$:

$$sin theta = y Rightarrow sin frac{ pi }{2} = 1$$

$$cos theta = x Rightarrow cos frac{ pi }{2}= 0$$

• $$theta = pi$$: در این حالت زاویه نقطه $$P (x,y)$$ با محور افقی صد و هشتاد درجه است و $$x$$ و $$y$$ متناظر با آن‌ عبارت‌اند از $$-1$$ و $$0$$:

$$sin theta = y Rightarrow sin pi = 0$$

$$cos theta = x Rightarrow cos pi = -1$$

• $$theta = frac{ 3pi }{2}$$: در این حالت زاویه نقطه $$P (x,y)$$ با محور افقی دویست و هفتاد درجه است و $$x$$ و $$y$$ متناظر با آن‌ عبارت‌اند از $$0$$ و $$-1$$:

$$sin theta = y Rightarrow sin frac{3 pi }{2} = -1$$

$$cos theta = x Rightarrow cos frac{3 pi }{2} = 0$$

• $$theta = 2pi$$: در این حالت زاویه نقطه $$P (x,y)$$ با محور افقی سیصد و شصت درجه است و $$x$$ و $$y$$ متناظر با آن‌ عبارت‌اند از $$1$$ و $$0$$:

$$sin theta = y Rightarrow sin 2 pi = 0$$

$$cos theta = x Rightarrow cos 2pi = 1$$

از محاسبات بالا به نتایج زیر می‌رسیم:

پس بخشی از جدول دایره مثلثاتی به دست آمد. مرسوم است سینوس و کسینوس چند زاویه کلیدی دیگر مانند $$frac{ pi }{6}$$

با دقت در این دو بخش از جدول دایره مثلثاتی می‌توانیم نکات زیر را استخراج کنیم:

• با توجه به اینکه دو زاویه $$theta = 0^ {circ}$$

$$sin 0 = sin 2pi = 0$$

$$cos 0 = cos 2pi = 1$$

• هرگاه سینوس زاویه‌ای صفر شود، کسینوس آن مخالف صفر است و هر جا که کسینوس زاویه‌ای صفر شود، سینوس آن مخالف صفر است.
• بیشترین مقدار سینوس یا کسینوس یک زاویه همواره برابر است با $$1$$.
• کمترین مقدار سینوس یا کسینوس یک زاویه همواره برابر است با $$-1$$.
• مقادیر سینوس و کسینوس برای زاویه $$frac{ pi }{4}$$
• سینوس زاویه‌ $$frac{ pi }{3}$$

همچنین تصاویر بالا و پایین به خوبی نشان می‌دهند که تغییرات مقادیر سینوس (مختصه y) و کسینوس (مختصه x) هر نقطه روی دایره مثلثاتی برای سه زاویه $$frac{ pi }{6}$$

یافتن مقادیر tan و cot با استفاده از دایره مثلثاتی

در بخش‌‌ قبل با روند استخراج بخشی از جدول دایره مثلثاتی آشنا شدیم. در این بخش نشان می‌‌دهیم که چگونه می‌توان از این جدول، سایر توابع مثلثاتی از جمله تانژانت و کتانژانت را نیز به‌ دست آورد. ابتدا به کمک روابط بخش قبل تانژانت و کتانژانت زاویه $$theta$$ را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

$$tan theta = frac {y}{x} = frac {sintheta}{costheta}$$

$$cot theta = frac {x}{y} = frac {costheta}{sintheta}$$

برای شروع بهتر است ابتدا مقادیر تانژانت و کتانژانت زاویه‌های سرراستی مانند $$0$$، $$frac{3 pi }{2}$$

• $$theta = 0^ {circ}$$: می‌دانیم $$sin 0 = 0$$

$$tan 0 = frac {sin 0}{cos 0} = frac { 0}{1} = 0$$

$$cot 0 = frac {cos 0}{sin 0} = frac { 1}{0} = infty$$

• $$theta = frac{ pi }{2}$$: می‌دانیم $$sin frac{ pi }{2} = 1$$

$$tan frac{ pi }{2} = frac {sin frac{ pi }{2}}{cos frac{ pi }{2}} = frac {1}{0} = infty$$

$$cot frac{ pi }{2} = frac {cos frac{ pi }{2}}{sin frac{ pi }{2}} = frac {0}{1} = 0$$

• $$theta = pi$$: می‌دانیم $$sin pi = 0$$

$$tan pi = frac {sin pi }{cos pi } = frac {0}{-1} = 0$$

$$cot pi = frac {cos pi }{sin pi } = frac {-1}{0} = -infty$$

• $$theta = frac{ 3pi }{2}$$: می‌دانیم $$sin frac{ 3pi }{2} = -1$$

• $$theta = 2pi$$: می‌دانیم $$sin 2pi = 0$$

به همین شکل فرض کنید می‌خواهیم $$tan frac{ pi }{3}$$

$$tan frac{ pi }{3} = frac {sinfrac{ pi }{3}}{cosfrac{ pi }{3}}$$

با کمک گرفتن از جدول دایره مثلثاتی مقادیر $$sin frac{ pi }{3}$$

$$sin frac{ pi }{3} = frac {sqrt{3}}{2}$$

$$cos frac{ pi }{3} = frac {1}{2}$$

بنابراین تانژانت این زاویه برابر می‌شود با:

$$Rightarrow tan frac{ pi }{3} = frac {frac {sqrt{3}}{2}}{frac {1}{2}}$$

$$Rightarrow tan frac{ pi }{3} = sqrt{3}$$

به همین شکل برای پیدا کردن $$tan frac{ pi }{6}$$

$$tan frac{ pi }{6} = frac {sinfrac{ pi }{6}}{cosfrac{ pi }{6}}$$

حالا با استفاده از جدول دایره مثلثاتی مقادیر $$sin frac{ pi }{6}$$

$$sin frac{ pi }{6} = frac {1}{2}$$

$$cos frac{ pi }{6} = frac {sqrt{3}}{2}$$

بنابراین تانژانت این زاویه برابر می‌شود با:

$$Rightarrow tan frac{ pi }{6} = frac {frac {1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}$$

$$Rightarrow tan frac{ pi }{3} = frac{1}{ sqrt{3}}= frac{sqrt{3}}{3}$$

در آخرین مرحله کسر رادیکالی را به روش گویا کردن ساده کردیم. اگر در زمینه ساده‌سازی رادیکال‌ها نیاز به مهارت بیشتری دارید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را مطالعه کنید. به شکل مشابهی برای $$tan frac{ pi }{4}$$

$$tan frac{ pi }{4} = frac {sinfrac{ pi }{4}}{cosfrac{ pi }{4}}$$

طبق جدول مقادیر $$sin frac{ pi }{4}$$

$$sin frac{ pi }{4} = frac {sqrt{2}}{2}$$

$$cos frac{ pi }{4} = frac {sqrt{2}}{2}$$

بنابراین تانژانت این زاویه برابر می‌شود با:

$$Rightarrow tan frac{ pi }{4} = frac { frac {sqrt{2}}{2}}{ frac {sqrt{2}}{2}}$$

$$Rightarrow tan frac{ pi }{4} = 1$$

کتانژانت این سه زاویه نیز عکس مقادیر تانژانت خواهد شد:

$$cot frac{ pi }{3} = frac{sqrt{3}}{3}$$

$$cot frac{ pi }{6} = sqrt{3}$$

$$cot frac{ pi }{4} = 1$$

یافتن مقادیر sec و csc با استفاده از دایره مثلثاتی

عموما مقادیر سکانت و کسکانت زاویه‌‌هایی که تا اینجا بررسی کردیم، در جدول دایره مثلثاتی ذکر نمی‌شوند. با این وجود برای اینکه اطلاعات کامل‌تری داشته باشید، در این بخش نحوه محاسبه این دو تابع مثلثاتی نه چندان معروف را نیز بررسی می‌کنیم. سکانت و کسکانت به شکل زیر تعریف می‌شوند:

$$sec theta = frac{1 }{ cos theta}$$

$$csc theta = frac{1 }{ sin theta}$$

بنابراین با دانستن مقادیر سینوس و کسینوس هر زاویه، سکانت و کسکانت آن نیر توسط فرمول‌های بالا قابل محاسبه است. برای مثال سکانت زاویه $$theta = frac{ pi }{3}$$

$$sec frac{ pi }{3} = frac{1 }{ cos frac{ pi }{3}} = frac{1 }{frac{ 1}{2}} = 2$$

بنابراین با دانستن مقادیر سینوس و کسینوس هر زاویه، پیدا کردن تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت آن نیز به کمک روابط مثلثاتی که تا اینجا معرفی کردیم، به راحتی انجام می‌شود. همچنین علاوه‌بر زاویه‌هایی که تا اینجا بررسی کردیم، می‌توان سینوس و کسینوس زاویه‌های دیگر را حساب کرد. برای مثال، در فیلم آموزش رایگان حل سینوس و کسینوس ۱۵ درجه – روش‌ دایره و توابع مثلثاتی فرادرس محاسبه این توابع برای زاویه پانزده درجه توضیح داده شده است.

فرمول های کوتاه جدول دایره مثلثاتی

تا اینجا آموختیم که چگونه می‌توانیم مقادیر سینوس و کسینوس چند زاویه اصلی ($$0$$، $$frac{3 pi }{2}$$

$$sin ( pi – theta) = sin theta$$

$$cos ( pi – theta) = -cos theta$$

می‌دانیم زاویه $$150^ {{circ}}$$ معادل است با $$180^ {{circ}} – 30^ {{circ}}$$

$$sin 150^ {{circ}} = sin ( pi – frac{ pi }{6}) = sin frac{ pi }{6} = frac{ 1}{2} = 0.5$$

$$cos 150^ {{circ}} = cos ( pi – frac{ pi }{6}) = -cos frac{ pi }{6} = – frac{ sqrt3}{2}$$

به این ترتیب اگر بخواهیم سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه‌هایی که در ربع اول قرار می‌گیرند را توسط یک فرمول میانبر پیدا کنیم، بهتر است روابط زیر را به‌ خاطر بسپاریم:

همچنین برای سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه‌هایی که در ربع دوم قرار می‌گیرند، روابط زیر را داریم:

سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه‌هایی که در ربع سوم قرار می‌گیرند نیز به شکل زیر محاسبه می‌شود:

و در نهایت برای چهارمین ربع داریم:

همچنین بهتر است روابط زیر را در مورد سینوس و کسینوس مقادیر منفی به خاطر بسپاریم:

$$sin (-theta) = – sin theta$$

$$cos (-theta) = cos theta$$

$$tan (-theta) = – tan theta$$

سایر روابط مثلثاتی

در بخش‌های قبل دیدیم که یک نقطه روی دایره واحد را می‌توان با مختصات زیر نمایش داد:

$$(costheta, sintheta)$$

همچنین گفتیم معادله دایره واحد یا دایره مثلثاتی به شکل زیر است:

$$x ^ 2 + y ^ 2 = 1$$

حالا با جایگذاری توابع مثلثاتی به جای مقادیر $$x$$ و $$y$$ این معادله می‌شود:

$$sin^2theta + cos^2theta = 1$$

رابطه بالا یکی از مهم‌ترین روابط مثلثاتی است که در حل مسائل بسیار پرکاربرد است. با دانستن این رابطه قادریم فقط با داشتن سینوس (یا کسینوس) یک زاویه، به راحتی کسینوس (یا سینوس) آن را پیدا کنیم:

$$cos theta = pm sqrt{ 1- sin^2 theta }$$

$$sin theta = pm sqrt{ 1- cos^2 theta }$$

همچنین اگر طرفین این رابطه را بر $$sin^2theta$$

$$Rightarrow frac{sin^2theta}{cos^2theta } + frac{cos^2theta}{cos^2theta } = frac{1}{cos^2theta }$$

$$Rightarrow tan^2theta + 1 = frac{1}{cos^2theta } = sec^2theta$$

$$Rightarrow frac{sin^2theta}{sin^2theta } + frac{cos^2theta}{sin^2theta } = frac{1}{sin^2theta }$$

$$Rightarrow 1 + cot^2theta = frac{1}{sin^2theta } = csc^2theta$$

یادگیری مثلثات در حسابان با فرادرس

در ریاضیات متوسطه دوم از توابع مثلثاتی در عملیاتی مانند بررسی آهنگ تغییرات، مشتق‌گیری و محاسبه انتگرال بسیار استفاده می‌شود. به همین دلیل در این قسمت قصد داریم چند فیلم‌‌ آموزشی در مورد این کتاب درسی به شما معرفی کنیم که در مجموعه فرادرس تهیه شده‌اند. مشاهده این فیلم‌ها به شما کمک می‌کند تا با بهره‌گیری از آموزش تصویری و حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع به مباحثی مانند مشتق توابع مثلثاتی یا توابع معکوس مثلثاتی و … کاملا مسلط شوید:

حل مثال و تمرین از جدول دایره مثلثاتی

در این بخش با توجه به آنچه که در مورد جدول دایره مثلثاتی آموختیم، چند سوال متنوع حل می‌کنیم تا با کاربرد این جدول بهتر آشنا شوید.

مثال ۱

مقدار عددی عبارت زیر را با استفاده از جدول دایره مثلثاتی و بدون استفاده از ماشین حساب پیدا کنید:

$$frac{ cos 420 ^circ – sin 225 ^circ cos (-45^circ)}{tan 315 ^circ}$$

پاسخ

با توجه به روابطی که در بخش‌‌های قبل معرفی شد، اولین قدم برای حساب کردن پاسخ عبارت بالا این است که از فرمول‌های کوتاه شده توابع مثلثاتی استفاده کنیم. برای مثال می‌توانیم $$cos 420 ^circ$$

$$sin 225 ^circ = sin (180 ^circ + 45 ^circ )$$

$$tan 315 ^circ = tan (360 ^circ – 45 ^circ )$$

به این ترتیب خواهیم داشت:

$$= frac{ cos (360 ^circ + 60 ^circ) – sin (180 ^circ + 45 ^circ) cos (-45^circ)}{tan (360 ^circ – 45 ^circ)}$$

همچنین با توجه به فرمول‌های زیر عبارت بالا ساده‌تر می‌شود:

$$cos ( 2pi + theta) = cos theta$$

$$sin ( pi + theta) = -sin theta$$

$$tan ( 2pi – theta) = -tan theta$$

$$Rightarrow frac{ cos 60 ^circ + sin 45 ^circ cos 45^circ}{-tan 45 ^circ}$$

حالا کافی است با کمک گرفتن از جدول دایره مثلثاتی مقادیر هر کدام از این توابع را در عبارت بالا قرار دهیم:

$$Rightarrow frac{ frac{1}{2} + frac{1}{sqrt{2}} timesfrac{1}{sqrt{2}}}{-1} =frac{1}{-1}=-1$$

مثال ۲

کدام یک از نقاط $$(frac{1}{4},frac{1}{4})$$

پاسخ

گفتیم معادله دایره واحد یا دایره مثلثاتی $$x ^ 2 + y ^ 2 = 1$$

$$Rightarrow x ^ 2 + y ^ 2 = (frac{1}{4})^2 +(frac{1}{4})^2 = frac{1}{8}$$

$$Rightarrow x ^ 2 + y ^ 2 = (frac{1}{8})^2 +(frac{1}{8})^2 = frac{1}{32}$$

برای اینکه این نقاط روی دایره مثلثاتی قرار بگیرند، باید حاصل عبارت‌های بالا برابر با یک شود. چون این عدد به‌دست نیامد، پس می‌توانیم بگوییم هیچ‌کدام روی دایره مثلثاتی قرار ندارند.

مثال ۳

اگر $$sin theta = frac{4}{5}$$

پاسخ

برای اینکه بتوانیم با داشتن سینوس یک زاویه کسینوس آن را پیدا کنیم، بهترین راه استفاده از معادله زیر است:

$$sin^2theta + cos^2theta = 1$$

$$Rightarrow cos^2theta = 1 – sin^2theta = 1 – (frac{4}{5})^2 = frac{9}{25}$$

$$Rightarrow costheta = sqrt { frac{9}{25}} = frac{3}{5}$$

مثال ۴

حاصل عبارت مثلثاتی $$– frac{cos328^ circ times tan^2 212 ^ circ}{tan148^ circ } + sin 148^ circ$$

پاسخ

با بکارگیری فرمول‌های مثلثاتی کوتاه شده زیر، عبارت صورت سوال به شکل زیر ساده می‌شود:

$$– frac{cos(360^ circ – 32^ circ )times tan^2 (180^ circ + 32^ circ )}{tan(180^ circ – 32^ circ ) } + sin (180^ circ – 32^ circ )$$

$$– frac{cos32^ circ times tan^2 32^ circ }{-tan 32^ circ } + sin 32^ circ = cos32^ circ times tan32^ circ + sin 32^ circ$$

در نهایت با نوشتن تانژانت به شکل سینوس تقسیم بر کسینوس خواهیم داشت:

$$cos32^ circ times frac{ sin 32 ^ circ}{ cos 32 ^ circ} + sin 32^ circ = 2 sin 32^ circ$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳