مثال و تمرین ماتریس

پس از اینکه آموختیم ماتریس چیست و فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم مرتبط با این موضوع چه هستند، در این بخش قصد داریم با حل چند مثال به شما کمک کنیم تا به کاربردهای این فرمول‌ها کاملا مسلط شوید:

مثال ۱

با در نظر گرفتن ماتریس زیر، به سوالات داده شده پاسخ دهید:

$$A = begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \2 & 4 & 7 \3 & 1 & -2 end{bmatrix}$$

1. ابعاد این ماتریس چیست؟
2. درایه‌های متناظر با $$a_{31}$$
3. همچنین مجموع دو ماتریس زیر را به‌دست آورید:

   $$A = begin{bmatrix}-3 & 1 & -5 \2 & 0 & 0 end{bmatrix}$$

   $$B = begin{bmatrix}3 & 0 & 2 \3 & 4 & 2 end{bmatrix}$$

پاسخ

• ابعاد ماتریس داده شده $$3 times 3$$
• درایه متناظر با $$a_{31}$$
• درایه متناظر با $$a_{22}$$

در مورد سومین سوال، با توجه به اینکه مرتبه این دو ماتریس کاملا یکسان و برابر با $$2 times 3$$

$$A+ B = begin{bmatrix}-3 & 1 & -5 \2 & 0 & 0 end{bmatrix} +begin{bmatrix}3 & 0 & 2 \3 & 4 & 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix}0 & 1 & -3 \5 & 4 & 2 end{bmatrix}$$

مثال ۲

1. اگر ماتریس $$B$$ برابر باشد با $$B = begin{bmatrix}4 & 1 \3 & 2 end{bmatrix}$$
2. همچنین حاصل‌ضرب دو ماتریس $$A = begin{bmatrix}1 & 2 \3 & 4 end{bmatrix}$$

پاسخ

برای پاسخ به اولین سوال، کافی است عدد صحیح $$-2$$ را در تمام درایه‌های ماتریس داده شده ضرب کنیم:

$$-2B = -2begin{bmatrix}4 & 1 \3 & 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix}-8 & -2 \-6 & -4 end{bmatrix}$$

در بخش بعدی حاصل‌ضرب دو ماتریس داده شده به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$AB = begin{bmatrix}1 & 2 \3 & 4 end{bmatrix}. begin{bmatrix}5 & 6 \7 & 8 end{bmatrix}$$

$$AB = begin{bmatrix}1(5)+2(7) & 1(6)+2(8) \3(5)+4(7) & 3(6)+4(78) end{bmatrix}$$

$$AB = begin{bmatrix}19 & 22 \43 & 50 end{bmatrix}$$

مثال ۳

فرض کنید جدول زیر نشان دهنده وسایل لازم برای بازی دو تیم فوتبال است:

همچنین هزینه هر کدام از این وسایل نیز در جدول زیر ارائه شده است:

هزینه کل وسایل لازم برای هر کدام از این دو تیم چقدر است؟

پاسخ

ابتدا باید داده‌های این دو جدول را در قالب دو ماتریس تنظیم کنیم. ماتریس اول که توصیف‌کننده تجهیزات موردنیاز برای هر دو تیم است به شکل زیر تنظیم می‌شود:

$$E = begin{bmatrix}6 & 10 \30 & 24 \14 & 20 end{bmatrix}$$

ملاحظه می‌کنید که ستون اول این ماتریس تجهیزات تیم یک و ستون دوم تجهیزات تیم دو است. همچنین برای اینکه بتوانیم دو ماتریس تنظیم شده را در یکدیگر ضرب کنیم، ماتریس هزینه‌ها را به‌صورت یک ماتریس سطری به شکل زیر در نظر می‌گیریم:

$$C = begin{bmatrix} 300 & 10 & 30 end{bmatrix}$$

به این ترتیب حاصل‌ضرب دو ماتریس $$C$$ و $$E$$ برابر می‌شود با:

$$CE = begin{bmatrix} 300 & 10 & 30 end{bmatrix}. begin{bmatrix}6 & 10 \30 & 24 \14 & 20 end{bmatrix}$$

$$CE = begin{bmatrix} 300(6) + 10(30)+30(14) & 300(10) + 10(24)+30(20) end{bmatrix}$$

$$CE = begin{bmatrix} 2520 & 3840 end{bmatrix}$$

یادگیری هندسه دبیرستان با فرادرس

پیش از توضیح ماتریس‌ها، ابتدا قصد داریم چند فیلم آموزشی در زمینه کلیه مباحث مطرح شده در کتاب‌های درسی هندسه دبیرستان را معرفی کنیم. مشاهده این دوره‌ها به شما کمک می‌کند تا از طریق مشاهده تصاویر یادگیری عمیق‌تری داشته باشید. ضمن اینکه اغلب این آموزش‌ها همراه با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوعی است که به درک بهتر شما از هر موضوع کمک خواهد کرد:

فرمول های هندسه فصل دوم:‌ آشنایی با مقاطع مخروطی

فصل دوم از کتاب هندسه ۳ رشته ریاضی مبحثی به نام «مقاطع مخروطی» (Conic Sections) را توضیح می‌دهد. مطالعه و کشف مقاطع مخروطی به یونان باستان بازمی‌گردد و در حال حاضر از نتایج به‌دست آمده در این موضوع در علوم مختلفی از جمله مهندسی و طراحی سازه‌ها، طراحی تلسکوپ‌های رادیویی، معماری، نجوم و … استفاده می‌شود. نام‌گذاری مقاطع مخروطی بر این اساس انجام شده است که این مقاطع از تقاطع یک صفحه با یک مخروط ایجاد می‌شوند.

مخروط واقعی از دو بخش مشابه به شکل زیر تشکیل شده است، اما ما هر کدام از بخش‌های آن را به‌عنوان یک مخروط می‌شناسیم (در واقع هر کدام از این بخش‌های شبیه یک کلاه تولد هستند). تعریف دقیق‌تر مخروط دایره‌ای به این شکل است:‌ مکان هندسی تمام نقاطی که از چرخش یک خط مستقیم عبوری از مبدا مختصات حول محور y ایجاد می‌شوند. در بخش بعد راجع‌به مفهوم «مکان هندسی» صحبت خواهیم کرد. در تصویر زیر مشاهده می‌کنید که مخروط نشان داده شده از چرخش خطی با معادله $$y = 3x$$

همچنین در تصویر زیر ملاحظه می‌کنید که مقاطع مخروطی مختلف چگونه از تقاطع یک صفحه با یک مخروط به‌دست می‌آیند. در تصویر سمت چپ، با قرار گرفتن یک صفحه در زاویه‌های مختلف و تقاطع آن فقط با یکی از دو بخش مخروط به مقاطع مختلفی به نام دایره، بیضی و سهمی می‌رسیم. در تصویر سمت راست تقاطع یک صفحه با هر دو بخش مخروط واقعی نشان داده شده است. این تقاطع منجر به ‌شکل‌گیری مقطعی به نام هذلولی خواهد شد.

همچنین می‌توانیم بگوییم نوع مقطع مخروطی که از این تقاطع ایجاد می‌شود به زاویه صفحه با محور مخروط‌ها بستگی دارد. در مورد هذلولی این زاویه صفر و در مورد دایره این زاویه قائمه است. در ادامه برای اینکه بهتر این نکات را به‌خاطر بسپارید، آن‌ها را فهرست کرده‌ایم:

• اگر صفحه با محور مخروط موازی باشد، تقاطع آن با مخروط یک هذلولی ایجاد می‌کند.
• اگر صفحه با یکی از یال‌های مخروط موازی باشد، تقاطع آن با مخروط یک سهمی ایجاد می‌کند.
• اگر صفحه به محور مخروط عمود باشد، تقاطع آن با مخروط یک دایره ایجاد می‌کند.
• تقاطع صفحه با مخروط اگر جزء سه مورد بالا نباشد، حاصل ایجاد یک بیضی است.

مجموعه تمام فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم برای مهم‌ترین مقاطع مخروطی در ریاضیات یعنی سهمی، دایره، و بیضی در جدول زیر جمع‌آوری شده است:

مکان هندسی چیست؟

به مجموعه‌ای از تمام نقاطی که دارای یک ویژگی مشترک هستند، مکان هندسی گفته می‌شود. دانستن مفهوم مکان هندسی برای تعریف مقاطع مخروطی و در نتیجه بهتر به‌خاطر سپردن فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم ضروری است. نتیجه در نظر گرفتن مکان هندسی رسیدن به یک منحنی یا سطح است.

برای مثال، یک دایره مکان هندسی تمام نقاط روی یک صفحه است که دارای فاصله  مشخصی از یک نقطه مشخص به نام مرکز دایره هستند. تصویر بالا نشان می‌دهد چگونه می‌توانیم از اتصال این نقاط به‌عنوان مکان هندسی دایره به یک دایره برسیم.

معادله دایره

دایره ساده‌ترین مقطع مخروطی است که در کتاب هندسه ۳ بررسی می‌شود و تعریف آن به این صورت است: مکان هندسی تمام نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به نام «مرکز دایره» به یک فاصله‌اند. این فاصله ثابت همان «شعاع دایره» است. همچنین معادله دایره به‌عنوان یکی از مهم‌ترین فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم به شکل زیر است:

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

• نقطه $$(h,k)$$: مختصات مرکز دایره
• فاصله $$r$$: شعاع دایره

رسیدن به این معادله آسان است و با استفاده از فرمول فاصله می‌توانیم آن را به‌دست آوریم:

$$d = sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 }$$

با مربع کردن طرفین این تساوی داریم:

$$d^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$$

طبق تعریف دایره، هر نقطه‌ای روی آن مانند $$(x,y)$$ دارای فاصله‌ای برابر با $$r$$ از مرکز دایره است. پس در فرمول بالا $$d$$ برابر با $$r$$ می‌شود، در حالی که نقطه $$(x_2, y_2)$$

$$Rightarrow r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2$$

معادله دایره همیشه به صورت استاندارد داده نمی‌شود. اغلب در مسائل مختلف با شکل پیچیده‌تری از این معادله سروکار داریم و لازم است با استفاده از اتحادها یا سایر روش‌های ساده‌سازی معادله داده شده را به شکل استاندارد آن تبدیل کنیم. در بخش‌ مثال‌ها این نکته را بهتر می‌آموزید.

معادله سهمی

سهمی یا Parabola از تقاطع صفحه با تنها یکی از دو بخش مخروط واقعی ایجاد می‌شود و در این تقاطع صفحه با یکی از یال‌های مخروط موازی است. همچنین تعریف دیگری که برای یک سهمی می‌توانیم ارائه دهیم به این صورت است:

• مجموعه‌ای از تمام نقاط یک صفحه که فاصله آن‌ها از یک نقطه ثابت (کانون) برابر با فاصله‌ آن‌ها از یک خط ثابت (خط هادی سهمی) در همان صفحه است.
• نقطه‌ای که در میانه فاصله بین کانون و این خط قرار دارد، «راس سهمی» نامیده می‌شود.

در تصویر بالا این اجزا را مشاهده می‌کنید. اگر از این تصویر در کنار فرمول فاصله به شکل زیر استفاده کنیم، می‌توانیم به معادله سهمی برسیم. می‌دانیم فاصله بین دو نقطه به نام $$P$$ با مختصات $$(x_1,y_1)$$

$$d (P,Q) = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

حالا با توجه به تعریف‌هایی که در مورد سهمی داشتیم، $$d (P,Q)$$ باید با $$d (F,P)$$ طبق تصویر برابر باشد:

$$d (P,Q) = d (F,P)$$

$$sqrt{(0-x)^2 + (p-y)^2} = sqrt{(x-x)^2 + (-p-y)^2}$$

با مجذور کرن دو طرف تساوی بالا و کاربرد اتحاد مربع کامل خواهیم داشت:

$$Rightarrow x^2 + (p-y)^2 = (-p-y)^2$$

$$Rightarrow x^2 + p^2 + y^2 -2py = p^2 + y^2 +2py$$

$$Rightarrow x^2 -2py = 2py Rightarrow x^2 = 4py$$

حالا فرض کنید بخواهیم راس سهمی را در تصویر بالا جابجا کنیم. در این صورت بهتر است برای اینکه به یک معادله جامعی از سهمی برسیم، از $$(h,k)$$ به‌عنوان مختصات راس استفاده کنیم. به این ترتیب اگر کانون سهمی بالای راس آن قرار داشته باشد، مختصات آن برابر است با $$(h,k+p)$$

$$Rightarrow (x-h)^2 = 4p(y-k)$$

اگر این معادله را برای به‌دست آوردن $$y$$ حل کنیم، خواهیم داشت:

$$y = frac{1}{4p} (x-h)^2 + k$$

این رابطه معادله استاندارد یک سهمی رو به بالا (با تقعر بالا) است که مختصات راس و کانون آن به‌ترتیب برابر‌اند با $$(h,k)$$ و $$(h,k+p)$$

البته حالت کلی‌تری که برای معادله یک سهمی و بدون توجه به مختصات راس و کانون آن می‌توانیم در نظر بگیریم، به شکل زیر است:

$$ax^2 + bx + cy + d = 0$$

$$ay^2 + bx + cy + d = 0$$

معادله اول در مورد سهمی‌هایی با تقعر بالا یا پایین و معادله دوم برای سهمی‌های راست یا چپ است. در بخش مثال‌ها با کاربرد این معادلات بیشتر آشنا خواهید شد.

معادله بیضی

بیضی یا Ellipse مجموعه‌ای از تمام نقاط یک صفحه است که همواره مجموع فواصل آن‌ها از دو نقطه ثابت به نام «کانون‌های بیضی» ثابت است. در این بخش می‌خواهیم ببینیم فرمول های هندسی تحلیلی دوازدهم مرتبط با این مقطع مخروطی چگونه به‌دست می‌آیند.

همان‌طور که در تصویر زیر ملاحظه می‌کنید، دو کانون‌ بیضی که با نماد $$F$$ و $$F^{‘}$$

$$d (P,F) + d (P,F^{‘}) = sqrt{(a-c)^2 + (0-0)^2} +sqrt{(a+c)^2 + (0-0)^2}$$

$$Rightarrow d (P,F) + d (P,F^{‘}) = (a-c) +(a+c) = 2a$$

بنابراین مجموع فواصل هر نقطه دلخواهی مانند $$A$$ با مختصات $$(x,y)$$ روی این بیضی همواره برابر می‌شود با مقدار ثابت $$2a$$:

$$d (A,F) + d (A,F^{‘}) = 2a$$

$$Rightarrow sqrt{(x-c)^2 + y^2} +sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a$$

$$Rightarrow sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a – sqrt{(x+c)^2 + y^2}$$

اگر طرفین آخرین رابطه را به توان دو برسانیم و در انتها جملات شامل متغیرهای x و y را در یک طرف تساوی قرار دهیم، خواهیم داشت:

$$Rightarrow frac{(a^2 – c^2 ) x^2}{a^2} + y^2 = a^2 – c^2$$

با تقسیم طرفین این عبارت بر $$a^2 – c^2$$

$$Rightarrow frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{ a^2 – c^2 } = 1$$

همچنین با توجه به قضیه فیثاغورث در شکل ابتدای بخش، می‌دانیم $$b^2 = a^2 – c^2$$

$$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{ b^2} = 1$$

این معادله را بر مبنای تصویر بالا به‌دست آوردیم که در آن مرکز بیضی روی مبدا مختصات است. اما حالت کلی و جامع معادله بیضی با در نظر گرفتن مختصات $$(h,k)$$ برای مرکز آن به‌دست می‌آید:

$$frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{ b^2} = 1$$

این معادله توصیف کننده یک بیضی افقی با مرکز $$(h,k)$$، محور اصلی و افقی با طول $$2a$$ و محور فرعی عمودی با طول $$2b$$ است. در این بیضی محل قرارگیری کانون‌ها $$(hpm c,k)$$

$$frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{ a^2} = 1$$

که در آن محل قرارگیری کانون‌ها $$(h,kpm c)$$

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$$

مثال و تمرین مقاطع مخروطی

در انتهای این بخش چند سوال برای شما در نظر گرفته‌ایم تا بتوانید از طریق تمرین بیشتر به فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم مرتبط با موضوع این بخش کاملا مسلط شوید. دقت کنید بررسی معادلات مقاطع مخروطی و نوشتن آن‌ها به شکل استاندارد نیازمند تسلط بر اتحادها و استفاده از روشی به نام «مربع کامل کردن» است. در مطلب «حل معادله درجه دوم به روش مربع کامل – به زبان ساده + مثال و تمرین» از مجله فرادرس در مورد این روش صحبت کرده‌ایم.

مثال ۱

مرکز و شعاع هر کدام از دایره‌های زیر را تعیین کنید:

1. $$x^2 + (y-1)^2 = 1$$
2. $$2(x-3)^2 + 2y^2 = 8$$
3. $$x^2 + y^2 + 4x – 4y – 1 = 0$$

پاسخ

در مورد اولین مورد کافی است آن را به شکل زیر بنویسیم و با معادله اصلی دایره مقایسه کنیم تا مختصات مرکز و اندازه شعاع به‌دست آید:

$$(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$$

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

به این ترتیب داریم:

$$r=1$$

$$(h,k) = (0,1)$$

در دومین مورد ابتدا طرفین تساوی را بر عدد دو تقسیم می‌کنیم:

$$Rightarrow (x-3)^2 + y^2 = 4$$

حالا می‌توانیم این معادله را با $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

$$r=2$$

$$(h,k) = (3,0)$$

در سومین معادله باید از روش مربع کامل کردن استفاده کنیم. با قرار دادن تمام جملات شامل x در کنار هم و تمام جملات شامل y در کنار هم خواهیم داشت:

$$[x^2 + 4x] + [y^2 – 4y ] – 1 = 0$$

$$Rightarrow [x^2 + 4x + 4] + [y^2 – 4y + 4 ] – 1 – 4 – 4 = 0$$

$$Rightarrow (x+2)^2 + (y-2)^2 = 9$$

به معادله استاندارد دایره رسیدیم. پس برای مرکز و شعاع آن داریم:

$$r=3$$

$$(h,k) = (-2,2)$$

مثال ۲

معادله کلی یک سهمی به شکل $$x^2 – 4x – 8y + 12 = 0$$

پاسخ

دقت کنید چون توان دوم متغیر $$y$$ را در این معادله نداریم، پس می‌توانیم مطمئن شویم که این سهمی یا تقعر بالا دارد و یا تقعر پایین. همچنین لازم است این معادله را برای $$y$$ حل کنیم تا به فرم استاندارد برسیم. اگر به طرفین این معادله $$8y$$ را اضافه کنیم، خواهیم داشت:

$$Rightarrow x^2 – 4x + 12 = 8y$$

مرحله بعدی این است که یک سمت این معادله را به شکل مربع کامل بنویسیم تا بتوانیم با کمک گرفتن از اتحادها آن را ساده کنیم. این ترفند با اضافه و کم کردن عدد چهار در یک سمت جواب خواهد داد:

$$Rightarrow (x^2 – 4x + 4 ) + 12 – 4 = 8y$$

$$Rightarrow (x-2 )^2 + 8 = 8y$$

با تقسیم کردن طرفین بر عدد هشت داریم:

$$Rightarrow y = frac{1}{8} (x-2 )^2 + 1$$

بنابراین به فرم استاندارد معادله سهمی داده شده رسیدیم. این پاسخ به ما نشان می‌‌دهد مختصات راس و کانون سهمی چه هستند:

$$(h,k) = (2,1)$$

$$(h,k+p) = (2,1+2) = (2,3)$$

همچنین معادله خط ثابت زیر این سهمی به شکل زیر خواهد شد:

$$y = -1$$

حالا رسم منحنی این سهمی با مشخصاتی که به‌دست آوردیم، آسان است:

مثال ۳

معادله‌ زیر به ما داده شده است. با نوشتن آن به شکل استاندارد تعیین کنید این معادله توصیف کننده کدام مقطع مخروطی و با چه مشخصاتی است. همچنین نمودار آن را رسم کنید:

$$9x^2 + 4y^2 -36x + 24y + 36 = 0$$

پاسخ

اولین کاری که می‌کنیم بردن عدد ثابت به سمت دیگر تساوی، قرار دادن جملات شامل x در کنار هم و قرار دادن جملات شامل y در کنار هم است:

$$(9x^2 -36x )+ (4y^2 + 24y) = -36$$

$$Rightarrow 9(x^2 -4x )+ 4(y^2 + 6y) = -36$$

حالا باید از روش مربع کامل کردن در مورد هر دو متغیر x و y استفاده کنیم. فقط نباید فراموش کنیم که دو ضریب عددی نیز در خارج از هر دو پرانتز داریم و باید در نظر گرفته شوند:

$$Rightarrow 9(x^2 -4x +4)+ 4(y^2 + 6y +9) – 36 – 36= -36$$

$$Rightarrow 9(x^2 -4x +4)+ 4(y^2 + 6y +9) = 36$$

$$Rightarrow 9(x-2)^2+ 4(y+3)^2 = 36$$

با تقسیم کردن تمام جملات این تساوی بر عدد $$36$$ معادله به شکل استاندارد خود درمی‌آید:

$$Rightarrow frac{(x-2)^2}{4} + frac{(y+3)^2}{9} = 1$$

اگر به این معادله دقت کنیم، متوجه می‌شویم که این معادله مربوط به یک بیضی عمودی است، چون مخرج جمله دارای متغیر y بزرگتر از مخرج جمله‌ای است که متغیر x دارد. بنابراین معادله استاندارد ما به شکل $$frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{ a^2} = 1$$

تمرین ۱

تمرین ۲

فرمول های هندسه فصل سوم:‌ بردارها

در آخرین فصل از کتاب هندسه ۳ رشته ریاضی به مبحث بردارها پرداخته شده است. ابتدا باید ببینیم منظور ما از بردار در درس ریاضی و هندسه چیست. بردار به هر کمیتی گفته می‌شود که دارای اندازه و جهت است و از آن در علوم مختلفی از جمله فیزیک و مهندسی استفاده زیادی می‌شود. اغلب کمیت‌های فیزیکی مانند سرعت، شتاب و نیرو از جنس بردار‌اند، به این معنا که علاوه‌بر اندازه، دانستن جهت آن‌ها نیز در حل مسائل بسیار مهم است.

در این کتاب‌های درسی توضیح داده شد که می‌توانیم برای مشخص کردن موقعیت هر نقطه فرضی در صفحه از زوجی به نام مولفه x و مولفه y استفاده کنیم. این دو مولفه توصیف کننده مختصات یک نقطه در صفحه هستند و مقادیر عددی متناظر با آن‌ها می‌تواند یک عدد حقیقی باشد. با توجه به اینکه مجموعه اعداد حقیقی را با نماد $$R$$ نشان می‌دهیم، بنابراین اگر مختصات هر کدام از نقاط صفحه را با $$(x,y)$$ مشخص کنیم، در این صورت می‌توانیم بگوییم مجموعه زیر شامل تمام نقاط صفحه است:

$$R^2 = left{ (x,y) | x,y in R right}$$

یکی دیگر از مفاهیم مهم در درس هندسه معادله خط است که صورت کلی آن به شکل زیر است ($$a, b,c in R$$

$$ax + by = c$$

فرمول های هندسه تحلیلی دوازدهم برای این فصل از کتاب در جدول زیر خلاصه شده‌اند:

دقت کنید در پیدا کردن اندازه یک بردار یا محاسبه مجموع دو بردار، به محض صفر شدن یکی از مولفه‌های x یا y یا z، با یک بردار در فضای دو بعدی سروکار داریم. در ادامه توضیحات مختصری در مورد بخش‌های مختلف این فصل از کتاب ارائه می‌شود.

معرفی فضای سه بعدی

$$R^3 = left{ (x,y,z) | x,y,z in R right}$$

در حقیقت هر کدام از سه محور مختصات در یک دستگاه مختصات سه بعدی، محوری از اعداد است که می‌توانیم روی آن تمام اعداد حقیقی یا $$R$$ را نمایش دهیم. به همین علت کل دستگاه متشکل از سه محور را یک فضای $$R^3$$ می‌نامیم. تصویر زیر نحوه قرارگیری محورهای مختصات و صفحات حاصل از تقاطع این محورها در دو فضای $$R ^ 2$$ و $$R ^ 3$$ را نشان می‌دهد:

ملاحظه می‌کنید که در فضای دو بعدی (تصویر سمت چپ) تقاطع دو محور x و y فقط یک صفحه با نام صفحه xy ایجاد کرده است. اما در فضای $$R ^ 3$$ (تصویر سمت راست) علاوه‌بر این صفحه، در نتیجه اضافه شدن محور جدیدی به نام محور z، دو صفحه دیگر با عنوان صفحه zx و صفحه yz نیز ایجاد شده‌اند. همچنین تصویر زیر نشان می‌دهد که مختصات یک نقطه در چنین فضایی چگونه تعیین می‌شود:

طبق این شکل اگر x واحد در راستای محور xها، y واحد در راستای محور yها و z واحد در راستای محور zها پیش برویم، به این نقطه با مختصات $$(x,y,z)$$

$$d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$$

این فرمول را در فصل آشنایی با مقاطع مخروطی به کرات استفاده کردیم و حالا آن را به فضای $$R ^ 3$$ تعمیم ‌می‌دهیم. فاصله $$d$$ بین دو نقطه $$(x_1,y_1,z_1)$$

$$d = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2 }$$

اگر دقت کنید در مورد نقاطی با مختصات $$(x_1, y_1)$$

این مقایسه به شما نشان می‌دهد تفاوت ابعاد چه تغییراتی را در مسائل ایجاد می‌کند. در یک بعد حاصل معادله $$x= 0$$

• $$x= 0$$
• $$y= 0$$
• $$z= 0$$

همچنین نتایج زیر تعمیمی از یافته‌های بالا خواهد بود:

• صفحه‌ای موازی با صفحه xy و شامل نقطه $$(a,b,c)$$
• صفحه‌ای موازی با صفحه xz و شامل نقطه $$(a,b,c)$$
• صفحه‌ای موازی با صفحه yz و شامل نقطه $$(a,b,c)$$

فرمول جمع و تفریق بردارها در دو بعد

پس از آشنایی با فضای دو و سه بعدی و چگونگی نمایش نقاط در هر کدام از این دو فضا، می‌خواهیم به نمایش بردارها در این دو فضا بپردازیم. هر پاره‌خط جهت‌داری که دارای سه مشخصه به نام نقطه ابتدایی، نقطه انتهایی و طول باشد، یک بردار نامیده می‌شود. نقطه انتهایی یک بردار تعیین‌کننده جهت آن است.

مهم‌ترین نکاتی که در مورد بردارها در فضای $$R ^ 2$$ باید بدانیم، به شرح زیر هستند:

• برداری با نقطه ابتدایی $$A$$، نقطه انتهایی $$B$$ به شکل $$vec{AB}$$
• اندازه $$vec{AB}$$
• دو بردار زمانی با هم برابر هستند که هم‌سنگ باشند، یعنی علاوه بر اندازه، جهت آن‌ها نیز کاملا با هم برابر باشد.
• دو بردار موازی دارای اندازه و راستای یکسان هستند، اما جهت آن‌ها ممکن است مانند هم یا مخالف هم باشد.

• ضرب یک اسکالر در بردار: $$kvec{v}$$
• در ضرب اسکالر در بردار، اگر $$k$$ مثبت باشد، بردار $$kvec{v}$$
• در ضرب اسکالر در بردار، اگر $$k$$ منفی باشد، بردار $$kvec{v}$$
• در ضرب اسکالر در بردار، اگر $$k$$ یا اندازه بردار $$vec{v}$$
• قرینه بردار $$vec{v}$$

• روش متوازی‌الاضلاع: نقطه ابتدای دو بردار را روی هم قرار می‌دهیم تا یک متوازی‌الاضلاع تشکیل شود. قطر این متوازی‌الاضلاع بردار حاصل‌جمع است (تصویر سمت راست).
• روش مثلث: دومین بردار را از انتهای بردار اول رسم می‌کنیم تا یک مثلث تشکیل شود. وتر این مثلث بردار حاصل‌جمع است (تصویر سمت چپ).

عملیات مهم بعدی در مورد دو بردار تفریق یا کم کردن آن‌ها از هم است که باز هم به یکی از دو روش بالا انجام می‌شود. بردار $$vec{v} – vec{w}$$

$$vec{v} = (x_2 -x_1, y_2 – y_1)$$

اگر اندازه هر کدام از دو مولفه بردار بالا را به شکل $$x_2 -x_1 = x$$

$$|vec{v} | = sqrt{ x^2 + y^2 }$$

به این ترتیب تمام قوانینی که بالاتر توضیح دادیم، برای دو بردار به شکل‌‌ $$vec{v} = (x_1, y_1)$$

• ضرب اسکالر در بردار: $$kvec{v} = (kx_1, ky_1)$$
• جمع دو بردار: $$vec{v} + vec{w} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$$
• خاصیت جابجایی در جمع دو بردار: $$vec{v} + vec{w} = vec{w} + vec{v}$$
• خاصیت شرکت‌پذیری جمع سه بردار: $$( vec{v} + vec{w} ) + vec{u} = vec{v} +(vec{w} + vec{u} )$$
• خاصیت توزیع‌پذیری در جمع دو بردار: $$r (vec{v} + vec{w} ) = r vec{v} +r vec{w}$$
• حاصل‌جمع یک بردار با بردار صفر یا عضو خنثی: $$vec{v} + vec{0} = vec{v}$$
• حاصل‌جمع یک بردار با قرینه‌اش: $$vec{v} + (-vec{v}) = vec{0}$$
• $$1 vec{v} = vec{v}$$
• $$0 vec{v} = vec{0}$$