$$f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$$

رابطه بالا دقیق‌ترین تعریفی است که می‌توانیم در مورد مشتق تابع $$f(x)$$ ارائه کنیم. بر اساس این فرمول اگر تابع فرضی ما به شکل $$f(x) =x^2$$

$$f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$$

$$rightarrow f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0} frac{(x+ h)^2-x^2}{h}$$

$$rightarrow f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0} frac{x^2+h^2+2xh-x^2}{h}$$

$$rightarrow f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0} frac{h(h+2x)}{h}$$

$$rightarrow f ^{‘} (x) = lim_{h rightarrow 0}(h+2x) = 2x$$

با توجه به قوانین محاسبه حد، پاسخی به شکل بالا برای این مشتق‌گیری به‌دست می‌آید. اما محاسبه مشتق با این فرمول بسیار دشوار و وقت‌گیر است، به‌ویژه برای توابع پیچیده‌تری مانند توابع مثلثاتی یا توابع معکوس. در این زمینه و با توجه به اینکه برای محاسبه دیفرانسیل نیز لازم است مشتق‌گیری انجام شود، پیشنهاد می‌کنیم حتما مطلب «فرمول های مشتق + سوال با جواب و دانلود PDF» از مجله فرادرس را مطالعه کنید تا به تمام فرمول‌های موردنیاز برای انواع مشتق‌‌گیری کاملا مسط شوید.

آزمون‌های مشتق‌ گیری

در ادامه توضیح تفاوت مشتق و دیفرانسیل، بهتر است با کاربردهای هر کدام آشنا شویم که موضوع این بخش و بخش‌های بعد است. اما پیش از شروع این مبحث، می‌خواهیم به شما فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد فرادرس را معرفی کنیم که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است. مشاهده این دوره به شما کمک می‌کند تا پس از تسلط کامل بر فرآیند مشتق‌گیری بتوانید با انواع معادلات دیفرانسیل و روش حل آن‌ها کاملا آشنا شوید.

یکی از ساده‌ترین کاربردهای مشتق و فرمول‌‌‌های آن در علم فیزیک، محاسبه کمیت‌هایی مانند سرعت، شتاب و … است. با داشتن معادله حرکت یک جسم می‌توانیم سرعت آن را تعیین کنیم، کافی است فرآیند مشتق‌گیری از آن را شروع کنیم. اگر مشتق‌گیری از معادله حرکت را دو مرتبه انجام دهیم، معادله شتاب حرکت جسم تعیین خواهد شد. همچنین با توجه به مفهوم شیب خط مماس بر نمودار می‌توانیم از روی نمودار حرکت یک جسم، نمودار‌های سرعت – زمان، شتاب – زمان و نحوه تبدیلات آن‌ها به هم را ارزیابی کنیم.

کاربرد دیگر مشتق‌گیری در یافتن بازه‌هایی است که یک تابع صعودی یا نزولی است یا بازه‌هایی که در آن‌ تابع مورد نظر ما دارای تقعر خاصی است. این موارد در تحلیل و ارزیابی نمودارهای مختلف در علوم مهندسی بسیار مهم هستند. در حالت کلی هرگاه با عبارت‌هایی نظیر شیب، گرادیان، نرخ تغییرات، آهنگ تغییرات، بیشینه یا کمینه، صعودی یا نزولی، نقطه عطف و … مواجه شدیم، لازم است از مفهوم مشتق استفاده کنیم.

روش یافتن نقاطی مانند ماکزیمم یا مینیمم یا نقطه عطف برای یک تابع این است که آزمون‌های مشتق اول و دوم را روی آن اجرا کنیم. روند آزمون مشتق اول به شکل زیر است:

• $$f ^{‘} (x)$$
• اگر مقدار $$f ^{‘} (x)$$
• اگر مقدار $$f ^{‘} (x)$$
• اگر در نقطه‌ای علامت مشتق عوض شود، در آن نقطه یک اکسترمم محلی داریم.
• اگر تغییر علامت مشتق از منفی به مثبت باشد، اکسترمم محلی یکی از مینیمم‌های تابع است.
• به خاطر داشته باشید که در مینیمم یا ماکزیمم محلی همواره عبارت $$f ^{‘} (x) = 0$$

همچنین برای آزمون مشتق دوم که در تعیین نقاط بحرانی تابع کمک کننده است، می‌توانیم به شکل زیر عمل کنیم:

• با مساوی صفر قرار دادن $$f ^{‘} (x)$$
• هر کدام از نقاط بحرانی حاصل از تساوی بالا را در مشتق دوم تابع یا $$f ^{“} (x)$$ قرار دهید.
• اگر $$f ^{“} (x)$$ مثبت شد، تابع در آن نقطه مینیمم مطلق دارد.
• اگر $$f ^{“} (x)$$ منفی شد، تابع در آن نقطه ماکزیمم مطلق دارد.
• اگر $$f ^{“} (x)$$ مساوی با صفر شد، تابع ما نه ماکزیمم مطلق دارد و نه مینیمم مطلق.

دیفرانسیل چیست و چه کاربردهایی دارد؟

«دیفرانسیل» (Differential) یکی از شاخه‌های بنیادی علم حساب است که با هر دو مبحث انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری کاملا مرتبط است. در این حوزه با تغییرات بی‌نهایت کوچک یک کمیت در حال تغییر سروکار داریم. همان‌طور که می‌دانید، جهان اطراف ما پر است از توابعی که مدام ورودی آن‌ها در حال تغییر است. برای مثال، مساحت جسم دایره‌ای شکلی که شعاع آن در حال افزایش است یا حرکت پرتابه‌ای که با تغییرات سرعت پرتابه همراه است. بررسی نرخ تغییرات هر کدام از این متغیرها نسبت به دیگری همان مشتق‌‌گیری است و معادله‌ای که نمایش‌دهنده ارتباط بین این متغیرها است، «معادله دیفرانسیل» نام دارد.

پس یک معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که ارتباط بین یک سری متغیر، توابع و برخی از مشتقات این توابع را توصیف می‌کند. به‌طور کلی در فرمول‌های دیفرانسیل‌گیری همیشه لازم است مشتق را بدانیم و به همین دلیل است که می‌گوییم مشتق و دیفرانسیل با هم مرتبط هستند. همچنین یک معادله دیفرانسیل می‌تواند شامل مشتق‌ها و توابع مختلفی از تمام مراتب مشتق‌گیری باشد. دیفرانسیل‌گیری با توجه به نوع مسئله‌ای که با آن سروکار داریم، انواع مختلفی دارد که در ادامه این بخش به ‌آن‌ها اشاره می‌کنیم.

دیفرانسیل‌ گیری زنجیره ای

برای اینکه بهتر متوجه شوید تفاوت مشتق و دیفرانسیل در کاربرد چگونه است، در این قسمت به نحوه دیفرانسل‌گیری بر حسب پارامترهای مختلف می‌پردازیم. اگر $$x = f(t)$$

$$frac{dy}{dx} = frac{frac{dy}{dt}}{frac{dx}{dt}} = frac{frac{dg(t)}{dt}}{frac{df(t)}{dt}}$$

با توجه به اینکه طبق تعریف مشتق می‌دانیم $$frac{dg(t)}{dt}$$

$$Rightarrow frac{dy}{dx} = frac{g^{‘} (t)}{f^{‘} (t)}$$

به همین شکل اگر $$y = f(x)$$

$$frac{dy}{dz} = frac{frac{dy}{dx}}{frac{dz}{dx}} = frac{f^{‘} (x)}{g^{‘} (x)}$$

دیفرانسیل‌ گیری ضمنی

فرض کنید تابع مورد نظر شما با $$f (x, y )$$ مشخص می‌شود، به این معنا که به دو متغیر وابسته است. در این بخش با حل یک مثال عددی نشان می‌دهیم برای دیفرانسیل‌گیری از این توابع باید چگونه عمل کنیم. فرض کنید عبارت $$x^2 + y^2 = 1$$

$$frac{d}{dx} x^2 + frac{d}{dx} y^2 = frac{d}{dx} 1$$

$$Rightarrow 2x + 2y frac{dy}{dx} = 0$$

$$Rightarrow frac{dy}{dx} = – frac{x}{y}$$

دیفرانسیل گیری لگاریتمی

در دو بخش قبل با بخشی از انواع روش‌های دیفرانسیل‌گیری آشنا شدیم. این روش‌ها به ما کمک می‌کنند تا پس از تفکیک تفاوت مشتق و دیفرانسیل بتوانیم روش حل درست مسائل را تشخیص دهیم. در ادامه با یک مثال نشان می‌دهیم تکنیک دیفرانسیل‌گیری لگاریتمی چیست و چگونه به ما کمک می‌کند. فرض کنید یک تساوی بر حسب متغیرهای $$x$$ و $$y$$ به شکل $$y = x^x$$

$$log y = log x^x = x log x$$

$$Rightarrow frac{1}{y} frac{dy}{dx} = log x +1$$

$$Rightarrow frac{dy}{dx} = y( log x +1)$$

$$Rightarrow frac{dy}{dx} = x^x ( log x +1)$$

دیفرانسیل گیری مراتب بالاتر

عموما برای محاسبه مراتب بالاتر دیفرانسیل‌گیری از نمادهایی مانند $$“$$ یا $$(2)$$ به‌عنوان دومین مرتبه و در حالت کلی از $$(n)$$ به‌عنوان nامین مرتبه استفاده می‌شود. این نمادها در مشتقات مراتب بالاتر نیز بکار می‌روند، اما بیان درست‌تر این است که به‌جای مشتق مراتب بالاتر از عبارت دیفرانسیل‌گیری مراتب بالاتر استفاده کنیم.

برای مثال دیفرانسیل‌گیری مرتبه دوم به‌صورت $$frac{d^2y}{dx^2}$$

$$frac{dy}{dx} = 5x^4-12x^3+1$$

$$frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3-36x^2$$

$$frac{d^3y}{dx^3} = 60x^2-72x$$

$$frac{d^4y}{dx^4} = 120x-72$$

دیفرانسیل گیری جزئی

در دیفرانسیل‌گیری جزئی تابعی شامل دو یا چند متغیر مانند $$f(x.y)$$ داریم و روند کار به این صورت است که اگر برای نمونه تابعی به شکل $$z = f(x.y) = x^4 +y^4 +3xy^2 +x^2 y + x+2y$$

$$frac{partial f}{partial x} = 4x^3 +3y^2 +2xy +1$$

$$frac{partial f}{partial y} = 4y^3 +6xy +x^2 +2$$

همچنین نکته مهم در مرود این محاسبات این است که اگر $$f$$ تابعی از دو متغیر باشد، در این صورت هر دو نسبت دیفرانسیلی $$frac{partial f}{partial x}$$

یادگیری معادلات دیفرانسیل با فرادرس

در بخش قبل در کنار توضیح تفاوت مشتق و دیفرانسیل آموختیم تعریف یک معادله دیفرانسیل چیست. معادلات دیفرانسیل زبان استاندارد مدل‌سازی ریاضی به منظور توصیف رفتار سیستم‌ها و طبیعت هستند. به همین دلیل یکی از مهم‌ترین درس‌هایی که در مقطع کارشناسی بسیاری از رشته‌های فنی و مهندسی یا علوم پایه تدریس می‌شود، درس «معادلات دیفرانسیل معمولی» (Ordinary Differential Equations) است. در این بخش تصمیم داریم به معرفی چند فیلم آموزشی رایگان با موضوع معادلات دیفرانسیل بپردازیم تا با مشاهده این دوره‌ها و حل مثال‌ها و تست‌های متنوع در این زمینه به انواع معادلات دیفرانسیل و روش حل آن‌ها کاملا مسلط شوید:

همچنین در مجموعه زیر می‌توانید فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از نرم‌افزارهایی مانند «متمتیکا» (Mathematica)، «فرترن» (Fortran)، «میپل» (Maple) و «فلکس پی‌دی‌ای» (Flex PDE) را مشاهده کنید:

حل مثال و تمرین از تفاوت مشتق و دیفرانسیل

در بخش‌های گذشته با تفاوت مشتق و دیفرانسیل آشنا شدیم. در آخرین بخش از این مطلب از مجله فرادرس با بررسی چند مثال نشان می‌دهیم که در مسائل مربوط به علم حساب این دو مفهوم چگونه مطرح می‌شوند. همچنین در انتهای این بخش چند سوال چهار گزینه‌ای به‌عنوان تمرین برای شما در نظر گرفته شده‌ است تا با پاسخ‌دهی به آن‌ها میزان یادگیری خود را در این زمینه بیازمایید.

مثال ۱

دیفرانسیل تابع زیر را به‌دست آورید:

$$f(x) = x^2 – sec(x)$$

پاسخ

برای محاسبه دیفرانسیل هر متغیری از جمله $$f$$ که یک تابع است، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$df = f^{‘}(x) dx$$

$$Rightarrow df = f^{‘}(x) dx = [2x – tan(x) sec(x) ] d x$$

مثال ۲

دیفرانسیل تابع $$y = e^{x^2}$$

پاسخ

حل این سوال به کمک فرمول دیفرانسیل امکان‌پذیر است:

$$dy= f^{‘}(x) dx$$

اما طبق این فرمول در اولین قدم باید مشتق تابع نمایی $$f(x) = e^{x^2}$$

$$f^{‘}(x) = 2x e^{x^2}$$

$$Rightarrow dy= 2x e^{x^2} dx$$

حالا با توجه به صورت سوال و تغییرات $$x$$ از $$3$$ تا $$3.01$$، داریم:

$$triangle x = 3.01 – 3 = 0.01$$

و چون این مقدار خیلی کوچک است، پس می‌توانیم تقریب زیر را در نظر بگیریم:

$$dx approx triangle x = 0.01$$

به این ترتیب حاصل دیفرانسیل‌گیری بالا با توجه به اینکه $$x= 3$$

$$Rightarrow dy= 2x e^{x^2} dx = 2 times 3times e^{3^2} times 0.01 = 486.185$$

مثال ۳

مقادیر عددی $$triangle y$$ و $$dy$$ را در مورد تابع $$y = x^5-2x^3+7x$$

پاسخ

این سوال مشابه مثال قبلی است، با این تفاوت که در اینجا $$triangle y$$ هم در کنار $$dy$$ خواسته شده و این به ما کمک می‌کند تا بهتر متوجه دیفرانسیل و تفاوت آن با مفهومی به نام تغییرات یک متغیر شویم. همچنین در این سوال مقدار متغیر مستقل یا $$x$$ ما به اندازه کوچکی کاهش داده شده است و انتظار داریم پاسخ نهایی برای دیفرانسیل‌گیری و محاسبه تغییرات منفی شود. در اولین مرحله برای محاسبه تغییرات یا $$triangle y$$ به ازای تغییر در متغیر $$x$$ به شکل زیر پیش می‌رویم:

$$triangle y = y (5.9) – y(6)$$

دقت کنید برای به‌دست آوردن تغییرات، کافی است مقدار تابع در حالت نهایی از مقدار تابع در حالت اولیه کم شود:

$$Rightarrow triangle y = y (5.9) – y(6) = [(5.9)^5-(5.9)^3+7times 5.9] – [(6)^5-(6)^3+7times 6] = -606.215$$

در بخش دوم این سوال باید دیفرانسیل $$y$$ را محاسبه کنیم و همان‌طور که می‌دانید پیش از آن باید مشتق‌گیری از تابع داده شده انجام شود:

$$y^{‘}(x) = 5x^4 – 6x^2 + 7$$

$$dy= y^{‘}(x) dx$$

$$Rightarrow dy = ( 5x^4 – 6x^2 + 7 ) dx$$

تغییرات $$x$$ از $$6$$ تا $$5.9$$ است. پس داریم:

$$triangle x = 5.9 – 6 = -0.1$$

و چون این مقدار کوچک است، پس می‌توانیم تقریب زیر را در نظر بگیریم:

$$dx approx triangle x = – 0.1$$

به این ترتیب مقدار عددی دیفرانسیل‌گیری بالا در $$x= 6$$

$$Rightarrow dy = [ 5(6)^4 – 6(6)^2 + 7 ] times (- 0.1 ) = – 627.1$$

دقت کنید در این نوع محاسبات مقداری که برای $$x$$ در عبارت بالا قرار می‌دهیم، همواره مقدار اولیه است نه مقداری که $$x$$ به آن پس از تغییر کوچکی می‌رسد. ملاحظه می‌‌کنید پاسخی که در هر دو حالت به‌دست آمد، نزدیک به هم است و با کوچک‌تر کردن مقدار عددی تغییرات $$x$$، این دو پاسخ نیز به هم نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.

مثال ۴

فرض کنید اضلاع یک مکعب به اندازه $$6 ft$$ و با خطایی کمتر از $$1.5 in$$ تخمین زده شده‌اند. اگر از این اندازه‌گیری برای محاسبه حجم مکعب استفاده شود، بیشترین خطای ممکن در محاسبه حجم چقدر است؟

پاسخ

در این سوال می‌توانید با جنبه‌های کاربردی مطالبی که تا اینجا گفتیم، کاملا آشنا شوید. ابتدا باید بدانیم حجم مکعبی با طول ضلع $$x$$ توسط رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$V(x) = x^3$$

$$1 in = 0.08 ft Rightarrow 1.5 in = 0.12 ft$$

حالا با نوشتن فرمول دیفرانسیل به شکل زیر می‌توانیم خطای محاسباتی در حجم را به‌دست آوریم:

$$d V = V^{‘} (x) dx$$

$$V^{‘} (x) = 3x^2$$

$$Rightarrow d V = 3x^2 dx$$

$$Rightarrow d V = 3(6)^2 times 0.12 = 13.5 {ft}^3$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳