$$Rightarrow P = frac{nRT}{V}$$

با قرار دادن فشار به‌دست آمده از قانون گازها در فرمول ابتدای بخش خواهیم داشت:

$$Rightarrow (frac{nRT}{V} )V^{ gamma} = constant$$

حالا اگر ثوابتی مانند $$n$$ و $$R$$ را در رابطه بالا به سمت راست تساوی ببریم، ثابت جدیدی خواهیم داشت که باز هم می‌توانیم آن را با نماد کلی constant نشان دهیم:

$$Rightarrow (frac{T}{V} )V^{ gamma} = constant$$

ساده‌ کردن این عبارت ما را به فرمول زیر می‌رساند:

$$Rightarrow TV^{ gamma -1} = constant$$

این فرمول تغییر حالت بی‌درروی سیستم را از حالت تعادل اولیه با پارامترهای $$(T_i, V_i)$$

$$T_iV_i^{ gamma -1} = T_fV_f^{ gamma -1}$$

به همین شکل می‌توانیم فرمول اول این بخش برای فرآیند بی دررو را بر حسب دو متغیر فشار و دما نیز بنویسیم:

 $$T^{gamma} P ^{1- gamma} = constant$$

$$Rightarrow T_i^{gamma}P_i^{ 1- gamma} = T_f^{gamma}P_f^{ 1- gamma}$$

اگر تمایل دارید با قوانین ترمودینامیکی و فرمول‌های آن به‌صورت کامل و جامع آشنا شوید، پیشنهاد ما مطالعه مطلب «ترمودینامیک چیست؟ – آموزش علم و قوانین به زبان ساده» از مجله فرادرس است.

فرمول کار در فرآیند بی دررو چیست؟

در این قسمت می‌خواهیم ببینم کار انجام شده طی یک فرآیند بی دررو چگونه محاسبه می‌شود. مقدار $$n$$ مول از یک گاز ایده‌آل محبوس شده در داخل استوانه‌ای به شکل زیر را در نظر بگیرید که تمام سطوح تماسی آن عایق حرارتی هستند. اگر یک پیستون عایق با سطح مقطع $$A$$ را که کاملا با مساحت دهانه این سیلندر استوانه‌ای هم‌خوانی دارد، به سمت پایین حرکت دهیم، در حقیقت روی این گاز کاری توسط یک نیروی خارج از سیستم انجام داده‌ایم.

در این شرایط سیستم به‌صورت بی‌دررو از حالت اولیه‌ای با مشخصات $$(P_i, V_i, T_i)$$

$$W = int_{V_i}^{V_f} P dV$$

همچنین با در نظر گرفتن این واقعیت که فرآیند بی دررو به شکل شبه استاتیکی رخ می‌دهد، پس در هر نقطه از این فرآیند قانون گاز‌های اید‌ه‌آل برقرار است. بنابراین می‌توانیم از رابطه $$PV^{ gamma } = constant$$

$$Rightarrow P = frac{ constant}{V^{ gamma }}$$

$$W = int_{V_i}^{V_f} frac{ constant}{V^{ gamma }} dV = constant int_{V_i}^{V_f} V^{ -gamma }dV$$

$$W = frac{1}{1- gamma } [ frac{constant }{V_f^{ gamma – 1}} – frac{constant }{V_i^{ gamma – 1}}]$$

اما به‌جای مقادیر ثابت در رابطه‌ای که در نهایت به‌دست آوردیم، می‌توانیم از فرمول  $$P_i V_i ^{gamma} = P_f V_f ^{gamma}$$

$$W = frac{1}{1- gamma } [ frac{P_f V_f ^{gamma} }{V_f^{ gamma – 1}} – frac{P_i V_i ^{gamma} }{V_i^{ gamma – 1}}]$$

$$Rightarrow W = frac{1}{1- gamma } [ P_f V_f – P_i V_i ]$$

به‌علاوه می‌توانیم این رابطه را مجددا بر اساس قانون گازهای ایده‌آل به شکل زیر نیز بنویسیم:

$$Rightarrow W = frac{nR}{1- gamma } [T_f – T_i ]$$

نکته مهم: این رابطه کار انجام شده توسط نیروی خارجی یا همان کار خارجی روی گاز ایده‌آل یا سیستم ترمودینامیکی موردنظر ما را محاسبه می‌کند. کار انجام شده توسط گاز ایده‌آل همواره اندازه‌ای برابر با این مقدار ولی علامتی مخالف دارد.

فرآیند بی دررو برگشت پذیر

فرآیند بی دررو برگشت‌پذیر که به آن فرآیند «هم‌آنتروپی یا آیزنتروپیک» (Isentropic) هم گفته می‌شود، نوعی فرآیند ایده‌آل ترمودینامیکی و بی‌دررو است که طی آن کار منتقل شده در سیستم با هیچ‌گونه اتلافی همراه نیست، به این معنا که هیچ نوع انتقال گرما یا ماده نداریم. بنابراین فرآیند برگشت‌پذیر است. از چنین فرآیند ایده‌آلی در علوم مهندسی به‌عنوان یک مدل پایه‌ جهت مقایسه با سیستم‌های واقعی استفاده می‌شود.

اگر بخواهیم کمی دقیق‌تر وارد جزئیات این فرآیند شویم، ابتدا بهتر است بدانیم تعریف فرآیند آیزنتروپیک چیست. فرآیند آیزنتروپیک به فرآیندی گفته می‌شود که تغییرات آنتروپی در آن صفر است. با توجه به تعریف فرآیند بی دررو که در آن انتقال گرما صفر است، نتیجه می‌گیریم که تغییرات آنتروپی هم باید صفر باشد. در واقع آنتروپی که با نماد $$S$$ نمایش داده می‌شود، برابر است با $$S = frac{ dQ}{ dT }$$

فرآیند بی دررو برگشت ناپذیر

در مقابل فرآیند بی دررو برگشت‌پذیر، فرآیند بی دررو برگشت‌ناپذیر را داریم و به این معنا است که طی آن سیستم امکان بازگشت به حالت اولیه خود را ندارد. برای مثال، اگر یک انبساط بی‌درروی برگشت‌ناپذیر را در نظر بگیریم، تغییراتی در آنتروپی خواهیم داشت که در نتیجه اتلاف‌های ناشی از اصطکاک است. تفاوت مهم این نوع فرآیند با فرآیند آیزنتروپیک این است که در نوع برگشت‌ناپذیر سیستم حالت شبه استاتیکی خود را حفط نمی‌کند، چون فرآیند آنقدر آهسته رخ می‌دهد که حالت تعادل حفظ نمی‌شود. به همین علت فرمول‌هایی که برای فرآیند بی‌ دررو در بخش‌های قبل معرفی شدند، در مورد این نوع فرآیند برقرار نیستند.

برای اینکه بتوانید به این مفاهیم کاملا مسلط شوید و رابطه بین پارامترهای ترمودینامیکی مختلف مانند دما، آنتروپی، آنتالپی، انرژی داخلی و … را بهتر متوجه شوید، لازم است تمرین بیشتری از طریق مشاهده دوره‌های آموزشی مرتبط داشته باشید. فرادرس یک فیلم آموزشی با عنوان آموزش ترمودینامیک ۲ – مرور و تست کنکور ارشد در همین زمینه تهیه کرده است که لینک آن در ادامه برای شما قرار داده شده است:

انبساط بی دررو

انبساط بی‌دررو نوعی فرآیند انبساط است که در آن هیچ نوع برهم‌کنش گرمایی بین سیستم و محیط وجود ندارد و کار انجام شده توسط سیستم به کمک انرژی داخلی آن انجام می‌شود. دقت کنید در انبساط بی‌دررو کار انجام شده توسط گاز ایده‌آل مثبت است، چون در این فرآیند فشار گاز طبق شکل زیر کم می‌شود. پس اگر به فرمول کار که در بخش قبل به‌دست آمد مراجعه کنیم، حاصل عددی منفی است و با توجه به اینکه کار خارجی منفی شده است، پس کار انجام شده توسط سیستم مثبت است.

تراکم بی دررو

برای اینکه با تراکم بی‌دررو آشنا شوید، تراکم بی‌درروی هوای داخل سیلندری مطابق شکل زیر را در نظر بگیرید. در این فرآیند تراکم به گونه‌ای انجام می‌شود که هیچ گرمایی از محیط بیرون به هوا اضافه نشود یا هیچ گرمایی از داخل سیلندر به خارج نرود. به این ترتیب انرژی داخلی هوا به اندازه کار خارجی انجام شده روی آن افزایش می‌یابد. پس با اعمال نیروی دست به پیستون مطابق تصویر سمت راست، فشرده‌سازی هوای داخل سیلندر در قالب یک فرآیند بی دررو انجام خواهد شد.

اگر بخواهیم کار انجام شده توسط سیستم در یک فرآیند تراکم بی‌دررو را محاسبه کنیم، کافی است ابتدا کار خارجی در این فرآیند را مطابق فرمول $$W = frac{1}{1- gamma } [ P_f V_f – P_i V_i ]$$

نمودار‌ فرآیند بی دررو چگونه رسم می‌شود؟

در بررسی فرآیندهای ترمودینامیکی برای یک سیستم، می‌دانیم که اگر بخواهیم از حالت اولیه به حالت نهایی برسیم، مسیرهای مختلفی وجود دارند. همچنین این نکته مهم است که متغیرهای ترمودینامیکی توصیف کننده یک سیستم فقط در حالت تعادل سیستم با محیط اطرافش تعریف می‌شوند. تصویر زیر انواع فرآیندهای ترمودینامیکی را نشان می‌دهد که فرآیند بی دررو یکی از آن‌ها است:

در هر کدام از این فرآیندها یکی از انواع پارامترهای ترمودینامیکی شامل دما، گرما، فشار یا حجم ثابت می‌ماند و بر همین اساس نام گذاری آ‌ن‌ها انجام شده است. برای نمونه، در «فرآیند هم‌فشار یا ایزوبار»، $$triangle P = 0$$

یکی دیگر از روش‌های محاسبه کار انجام شده طی یک فرآیند آدیاباتیک این است که پس از رسم نمودار مساحت زیر آن را پیدا کنیم. این روش با توجه به اینکه نمودار فرآیند بی دررو مانند نمودار فرآیند هم‌دما منحنی شکل و خطی نیست، اغلب دشوار است و نیاز به انتگرال‌گیری دارد. اگر به یاد داشته باشید، این روند را در بخش مربوط به استخراج فرمول کاملا توضیح دادیم.

فرآیند بی دررو و قانون اول ترمودینامیک

در این بخش می‌خواهیم ارتباط فرآیند بی دررو و قانون اول ترمودنیامیک را توضیح دهیم. خواهید دید که با توجه به فرمول قانون اول می‌توانیم برای فرآیند بی دررو رابطه‌ مناسبی را استخراج کنیم که در بخش‌‌های قبل آن را به عنوان فرمول فرآیند بی دررو معرفی کردیم. ابتدا باید ببینیم قانون اول ترمودینامیک چیست و چه فرمولی دارد. این قانون رابطه بین تغییرات انرژی داخلی (انرژی درونی) سیستم، کار انجام شده و تغییر گرمای سیستم را به شکل زیر توصیف می‌کند:

$$dU = dQ – dW$$

• $$dU$$: تغییرات انرژی داخلی (انرژی درونی) سیستم
• $$dW$$: کار انجام شده
• $$dQ$$: گرمای اضافه یا کم شده

حالا اگر بخواهیم این فرمول را در مورد یک فرآیند بی دررو بازنویسی کنیم، با توجه به تعریف چون تبادل گرما در این نوع فرآیند وجود ندارد، پس داریم:

$$dQ = 0$$

و قانون اول ترمودینامیک برای آن به شکل زیر می‌شود:

$$dU = 0 – dW$$

$$Rightarrow dU = – dW$$

یا

$$Rightarrow dU + dW = 0$$

جمله $$dU$$ در رابطه بالا به گرمای ویژه بستگی دارد. همان‌طور که اشاره شد، گرمای ویژه (Specific Heat Capacity یا Specific Heat) را می‌توانیم به‌صورت مقدار گرمایی در نظر بگیریم که به ازای یک واحد تغییر دما به یک مول ماده اضافه می‌شود. واحد این کمیت مهم ترمودینامیکی طبق تعریف برابر است با ژول بر کیلوگرم در کلوین یا $$frac{J}{kg K}$$

$$c_v = frac{1}{n} frac{dU}{dT}$$

$$Rightarrow dU = n c_v dT$$

در این رابطه $$n$$ معادل است با تعداد مول‌های سیستم ترمودینامیکی ما. از طرفی کار انجام شده در حجم $$V$$ را می‌توانیم به شکل زیر تعریف کنیم:

$$dW = P dV$$

با قرار دادن دو عبارت به‌دست آمده در فرمول قانون اول ترمودینامیک برای فرآیند بی دررو خواهیم داشت:

$$dU + dW = 0 Rightarrow n c_v dT + P dV = 0$$

$$Rightarrow – P dV = n c_v dT$$

در اینجا از قانون گازهای ایده‌آل به شکل $$PV = nRT$$

$$VdP + PdV= nRdT$$

$$Rightarrow ndT = frac{1}{R}( VdP + PdV)$$

با جایگزین کردن رابطه بالا در آخرین فرمولی که نوشتیم، داریم:

$$Rightarrow – P dV = frac{c_v}{R}( VdP + PdV)$$

اگر تمام پارامترهای این رابطه را در یک سمت تساوی قرار دهیم و به شکل زیر آن را ساده کنیم، خواهیم داشت:

$$Rightarrow 0 = (1+ frac{c_v}{R}) PdV + frac{c_v}{R}VdP$$

$$Rightarrow 0 = ( frac{c_v + R}{R}) PdV + frac{c_v}{R}VdP$$

$$Rightarrow – ( frac{c_v + R}{R}) PdV = frac{c_v}{R}VdP$$

$$Rightarrow – ( frac{c_v + R}{R}) frac{ dV}{V} = frac{c_v}{R} frac{dP}{P}$$

$$Rightarrow 0 = ( frac{c_v + R}{c_v }) frac{ dV}{V} + frac{dP}{P}$$

زمانی که گرما در فشار ثابت به این سیستم اضافه می‌شود، گرمای ویژه در فشار ثابت را به شکل زیر می‌توانیم بنویسیم:

$$c_p = c_v +R$$

پس از این رابطه در آخرین فرمول ساده شده استفاده می‌کنیم که با توجه به تعریف زیر خواهیم داشت:

$$gamma = frac{c_p}{c_v }$$

$$Rightarrow 0 = gamma frac{ dV}{V} + frac{dP}{P}$$

حال با توجه به قوانین لگاریتم طبیعی داریم:

$$d (ln x) = frac{dx}{x}$$

پس می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$Rightarrow 0 = gamma d (ln V) + d (ln P)$$

$$Rightarrow 0 = d ( gamma ln V + ln P) = d(ln PV^{ gamma})$$

$$Rightarrow PV^{ gamma} = constant$$

در آخرین مرحله صفر شدن دیفرانسیل عبارت داخل پرانتز ما را به این نتیجه می‌رساند که این عبارت باید با یک عدد یا مقدار ثابت برابر باشد. پس موفق شدیم فرمول فرآیند بی دررو را از قانون اول ترمودینامیک استخراج کنیم.

فرآیند بی دررو و آنتالپی

یکی دیگر از فرم‌های نمایش معادلات ترمودینامیکی این است که آن‌ها را بر اساس کمیتی به نام آنتالپی با نماد $$H$$ بنویسیم. در حالت کلی آنتالپی به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$H = U + PV$$

اگر از طرفین این رابطه دیفرانسیل‌گیری کنیم، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$dH = dU + VdP + PdV$$

که در آن $$U$$ همان انرژی داخلی سیستم است. از طرفی گفتیم قانون اول ترمودینامیک برابر است با $$dU = dQ – dW$$

$$dH = -PdV + VdP + PdV = VdP$$

به این ترتیب تغییرات آنتالپی با کار انجام شده توسط سیستم برابر شد. از این فرمول در سیستم‌هایی مانند توربین‌ها یا پمپ‌ها استفاده می‌شود.

فرآیند ایزوترمال چیست و چه تفاوتی با فرآیند بی دررو دارد؟

«فرآیند ایزوترمال یا هم‌دما» (Isothermal Processes) یکی دیگر از انواع فرآیندهای ترمودینامیکی است که طی آن دما ثابت می‌ماند. همان‌طور که در ابتدای مطلب ذکر شد، با توجه به اینکه در یکی از این دو فرآیند دما و در دیگری گرما ثابت می‌ماند، ممکن است این دو فرآیند مشابه هم تصور شوند، در حالی که این چنین نیست.

در فرآیند ایزوترمال بر خلاف فرآیند بی دررو انتقال گرما به محیط اطراف انجام می‌شود تا به این وسیله دمای سیستم ثابت بماند. مقایسه این فرآیند با فرآیند بی دررو در جدول زیر انجام شده است:

همچنین تصویر زیر نشان می‌دهد که از نظر نموداری یک فرآیند هم‌دما چگونه است. می‌توانیم با در نظر گرفتن تغییرات حجم سیستم از حالت $$A$$ به حالت $$B$$، کار انجام شده را به شکل زیر محاسبه کنیم:

$$W = int_{A}^{B} P dV$$

با کمک گرفتن از قانون گازهای ایده‌آل می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بنویسیم:

$$W = int_{A}^{B} P dV = int_{A}^{B} frac{nRT}{V} dV = nRT int_{A}^{B} frac{dV}{V}$$

$$Rightarrow W = nRT ln frac{V_B}{V_A}$$

یادگیری ترمودینامیک دانشگاهی با فرادرس

پیش از شروع یادگیری علم ترمودینامیک در سطوح دانشگاهی، ابتدا باید به بخش‌‌هایی از مباحث فیزیک پایه ۳ دانشگاهی کاملا مسلط شوید. در ادامه دو فیلم آموزشی در همین زمینه برای شما فهرست شده‌اند:

ترمودینامیک یکی از مهم‌ترین مباحث در رشته‌های فیزیک، شیمی، مهندسی مکانیک و مهندسی شیمی است، به‌ویژه در مطالعه مکانیک سیالات و انتقال حرارت از قوانین این علم استفاده زیادی می‌شود. این مبحث در سطوح پیشرفته‌تر خود از ترمودینامیک کلاسیک عبور کرده و می‌رسد به «مکانیک آماری» که در بیشتر گرایش‌های رشته فیزیک در قالب یک درس سه واحدی تدریس می‌شود و یکی از مباحث پرکاربرد در پیش‌بینی خیلی از سیستم‌های بی‌نظم و آشفته است. در مکانیک آماری سیستم‌هایی که شامل تعداد بسیار زیادی ذره هستند با استفاده از قوانین کوانتومی مورد مطالعه قرار می‌گیرند. در ادامه چند دوره تصویری در این راستا نیز معرفی شده‌اند:

حل مثال و تمرین از فرآیند بی دررو

در این نوشته از مجله فرادرس با ویژگی‌ها و فرمول‌‌های فرآیند بی دررو کاملا آشنا شدیم. در انتها قصد داریم با حل و بررسی چند مثال به شما در تسلط بیشتر به این مفاهیم کمک کنیم. همچنین می‌توانید با حل سوالات چهار گزینه‌ای داده شده در این بخش و در قالب تمرین، میزان یادگیری خود را بیازمایید. در جدول زیر تمام فرمول‌های مربوط به فرآیند بی دررو را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم:

مثال ۱

اغلب ما تجربه پمپ کردن هوا به داخل لاستیک یک دوچرخه را ممکن است داشته باشیم. فرض کنید هوای داخل پمپ مخصوص برای این کار مانند یک سیستم ترمودینامیکی عمل می‌کند و دارای حجم مشخص $$V$$ در فشار اتمسفر و دمای محیط یعنی  $$27 C$$ است. در صورتی که نازل این پمپ دچار مشکل شده و حجم هوای داخل آن $$frac{1}{4}$$

پاسخ

فرآیند فشرده‌سازی هوای داخل این پمپ به شکل بی‌‌دررو انجام شده است. بنابراین باید از فرمول‌های مخصوص این فرآیند استفاده کنیم که بهترین انتخاب فرمولی است که در آن حجم و دما را داشته باشیم (چون فشار تغییری نمی‌کند):

$$T_iV_i^{ gamma -1} = T_fV_f^{ gamma -1}$$

دقت کنید اگر حجم اولیه $$V$$ باشد، حجم نهایی برابر است با $$frac{V}{4}$$

$$Rightarrow T_iV^{ gamma -1} = T_f(frac{V}{4})^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow T_i = T_f(frac{1}{4})^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow T_f = 4 ^{ gamma -1} T_i$$

$$Rightarrow T_f = 4 ^{ (1.4 -1)} times 27 C = 2490 C$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید دمای هوای داخل پمپ از نقطه جوش آب بسیار بالاتر به‌دست آمد. بنابراین اگر در این شرایط قرار دارید، باید از تماس با نازل پمپ اجتناب کنید.

مثال ۲

فرض کنید مقداری بخار بنزین به سیلندر موتور یک اتومبیل در شرایطی که پیستون آن در موقعیت انبساطی خود قرار دارد، تزریق شده است. در نتیجه فشار، دما و حجم مخلوط گاز و هوا به ترتیب برابر می‌شوند با $$1 times 10^ 5 frac{N}{m^2}$$

1. چنانچه این مخلوط به‌صورت بی‌دررو تا حجم $$240 {cm}^3$$ متراکم شود، فشار و دمای این مخلوط پس از تراکم چقدر است؟
2. محاسبه کنید چه میزان کار توسط مخلوط گاز و هوا در طول این فرآیند تراکم بی‌دررو انجام شده است. دقت کنید در شرایط واقعی عملکرد موتور یک اتومبیل، تراکم یک فرآیند شبه استاتیکی نیست. اما در اینجا فرض می‌کنیم این چنین نیست.

پاسخ

با توجه به فرض این سوال که در آن فرآیند اتفاق افتاده به شکل یک تراکم بی‌دررو و شبه استاتیکی برای گاز اید‌ه‌آل مدل‌سازی شده است، فرمول‌های $$PV^{ gamma } = constant$$

 $$P_i V_i ^{gamma} = P_f V_f ^{gamma}$$

 $$Rightarrow P_f = frac{P_i V_i ^{gamma} }{ V_f ^{gamma} }$$

 $$Rightarrow P_f = P_i( frac{ V_i }{ V_f } ) ^{gamma}$$

$$Rightarrow P_f = 1 times 10^ 5 times( frac{ 240}{ 40 } ) ^{1.4} = 1.23 times 10^ 6 frac{N}{m^2}$$

دقت کنید در محاسبات بالا با اینکه واحد حجم به‌صورت استاندارد نوشته نشده است، اما مانعی ایجاد نمی‌کند. چون نسبت حجم‌ها در فرمول قرار داده شده و نیازی به تبدیل واحد در اینجا نداریم. پس فشار در حالت نهایی محاسبه شد. برای پیدا کردن دمای نهایی، کافی است به کمک قانون گازهای کامل و به شکل زیر عمل کنیم:

$$T = frac{PV}{nR} Rightarrow frac{T_f}{T_i} = frac{P_fV_f}{P_iV_i}$$

$$Rightarrow frac{T_f}{T_i} = frac{1.23 times 10^ 6 times 40}{1 times 10^ 5 times 240}$$

$$Rightarrow T_f = 293 K timesfrac{1.23 times 10^ 6 times 40}{1 times 10^ 5 times 240} = 600 K$$

در مرحله بعدی برای محاسبه کار انجام شده توسط سیستم ترمودینامیکی که در اینجا مخلوط هوا و گاز است، کافی است فرمول زیر را بنویسیم:

$$W = frac{1}{1- gamma } [ P_f V_f – P_i V_i ]$$

نکته مهم در اینجا این است که این فرمول کار خارجی را حساب می‌کند،در حالی که هدف ما محاسبه کاری است که سیستم ترمودینامیکی در این فرآیند انجام می‌دهد. به همین دلیل باید پس از محاسبه، پاسخ خود را با علامت مخالف در نظر بگیریم:

$$Rightarrow W = frac{1}{1- 1.4 } [ 1.23 times 10^ 6times 40 times 10^{-6} – 1 times 10^ 5times 240 times 10^{-6}] = -63 J$$

به‌علاوه حتما لازم است در این فرمول تبدیل واحدها برای حجم انجام شود تا در انتها کار محاسبه شده بر حسب ژول به‌دست آید. کاری که پیستون روی مخلوط هوا و گاز انجام داده است، مطابق انتظار ما برای تراکم مقداری منفی به‌دست آمد. بنابراین کار مخلوط گاز و هوا روی پیستون مثبت است و برابر است با $$63 J$$.

مثال ۳

یک نمودار $$P – V$$

1. کار انجام شده برای رفتن از حالت یک به دو را محاسبه کنید.
2. نسبت دمایی $$frac{ T_1}{T_2 }$$
3. اگر بدانیم انرژی داخلی یک مول از این گاز در دمای $$T$$ برابر است با $$frac{ 3}{ 2} RT$$

پاسخ

با توجه به اینکه روی نمودار فرمول $$PV^{ gamma } = constant$$

$$W = frac{1}{1- gamma } [ P_f V_f – P_i V_i ]$$

$$Rightarrow W = frac{1}{1- 0.5 } [ P_2V_2 – P_1V_1] = 2 [ P_2V_2 – P_1V_1]$$

دقت کنید چون مقادیر فشار و حجم داده نشده است، نمی‌توانیم پاسخ را از این ساده‌تر کنیم. در مورد سوال بعدی، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم تا نسبت دو دمای خواسته شده به‌دست آید:

$$T_iV_i^{ gamma -1} = T_fV_f^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow frac{T_i}{T_f} = (frac{V_f}{V_i})^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow frac{T_1}{T_2} = (frac{V_2}{V_1})^{ 0.5 -1}= (frac{2V_1}{V_1})^{ -0.5 }$$

$$Rightarrow frac{T_1}{T_2} = 2^{ -0.5 }= frac{1}{sqrt{2}}$$

در سومین سوال ابتدا لازم است تغییرات انرژی داخلی گاز را محاسبه کنیم. با توجه به توضیح داده شده، می‌توانیم بنویسیم:

$$triangle U = U_2 – U_1 = frac{ 3}{ 2} RT_2 – frac{ 3}{ 2} RT_1 = frac{ 3}{ 2} R(T_2- T_1)$$

دما در حالت دوم در بخش قبل برابر شد با $$T_2= sqrt{2} T_1$$

$$Rightarrow triangle U = frac{ 3}{ 2} RT_1 (sqrt{2} -1)$$

همچنین تغییرات کار را با توجه به اولین بخش و اینکه مقدار گاز داده شده برابر است با یک مول ($$n = 1$$

$$Rightarrow triangle W = 2 [ nRT_2 – nRT_1] = 2RT_1 (sqrt{2} -1)$$

بنابراین طبق قانون اول ترمودینامیک خواهیم داشت:

$$triangle Q =triangle U+ triangle W$$

$$Rightarrow triangle Q = frac{ 3}{ 2} RT_1 (sqrt{2} -1) +2RT_1 (sqrt{2} -1)= frac{7}{ 2} RT_1 (sqrt{2} -1)$$

مثال ۴

فرض کنید مقداری هوای خشک در دمای $$27 C$$ در دو حالت آهسته و ناگهانی متراکم شود و به حجم $$frac{1}{3}$$

پاسخ

اگر این تراکم به آهستگی انجام شود، یک فرآیند ایزوترمال یا ‌هم‌دما رخ داده است و در نتیجه دما تغییر نخواهد کرد. یعنی در این حالت داریم:

$$T_2= T_1 = 27 C = 300 K$$

پس تغییر دما صفر است:

$$Rightarrow triangle T = 0$$

اما اگر تراکم به‌صورت ناگهانی انجام شود طوری که فرصتی برای تبادل گرما نداشته باشیم، یک فرآیند بی دررو داریم که لازم است برای پیدا کردن دمای نهایی از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$T_iV_i^{ gamma -1} = T_fV_f^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow T_2 = T_1 (frac{V_1}{V_2})^{0.4} = 300 times 3^{0.4} = 454.2 K$$

$$Rightarrow triangle T = T_2- T_1= 454.2 – 300 = 154.2 K$$

مثال ۵

روی گازی با $$c_v = 3 R$$

1. دمای نهایی این گاز زا تخمین بزنید.
2. اگر در محفظه $$0.0004$$ مول گاز داشته باشیم، چه میزان کار برای این تراکم لازم است ($$R = 8.31$$

پاسخ

چون تراکم به سرعت انجام شده است، پس یک فرآیند آدیاباتیک داریم که برای محاسبه دما در حالت دوم و با توجه به تغییرات حجمی داده شده، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$T_iV_i^{ gamma -1} = T_fV_f^{ gamma -1}$$

$$Rightarrow T_2 = T_1 (frac{V_1}{V_2})^{gamma -1}$$

دمای اتاق را $$293 K$$ در نظر می‌گیریم. اما مقدار ضریب بی‌دررو مشخص نیست و لازم است با توجه به فرمول زیر آن را محاسبه کنیم:

$$gamma = frac{c_p}{c_v } = frac{c_v+ R}{c_v }$$

$$Rightarrow gamma = frac{c_v+ R}{c_v } = frac{4R}{3R} = frac{4}{3 }$$

$$Rightarrow T_2 = 293 times (15)^{ frac{1}{3 }} = 723 K$$

برای پاسخ دادن به سوال دوم، طبق قانون اول ترمودینامیک و با توجه به بی‌دررو بودن این تراکم، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$W = – n c_v triangle T$$

$$Rightarrow W = – 0.0004 times 3times 8.31 times 430 = 4.3 J$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

تمرین ۴