الگوی مثلثی چیست؟

الگوی مثلثی، یکی از الگوهای عددی در ریاضی است که از رابطه خاصی پیروی می‌کند. مقدار عددی الگوی مثلثی، با استفاده از رابطه ۲ ÷ (شماره شکل بعدی × شماره شکل) به دست می‌آید. البته فرمول‌های دیگری نیز برای به دست آوردن اعداد الگوی مثلثی وجود دارند. همان‌طور که از نام الگوهای مثلثی پیداست، شکل این الگوها، مشابه مثلث است. در این مطلب از مجله فرادرس قصد داریم ببینیم الگوی مثلثی چیست و اعداد آن چگونه به دست می‌آید.

فهرست مطالب این نوشته

برای شروع، ابتدا مفهوم الگوهای عددی را تعریف می‌کنیم و به حل یک برای به دست آوردن رابطه این نوع الگوها می‌پردازیم. سپس، مفهوم الگوی مثلثی را به عنوان یکی از حالت‌های خاص الگوهای عددی توضیح می‌دهیم و چندین مثال متنوع و تصویری را حل می‌کنیم. در ادامه، به سراغ فرمول‌های مختلف محاسبه الگوی مثلثی می‌رویم. در نهایت، ضمن ارائه سوال‌های تمرینی برای سنجش میزان یادگیری شما، تفاوت الگوهای مربعی و مثلثی را به طور خلاصه مرور می‌کنیم.

الگوی عددی چیست؟

الگوی عددی، مجموعه اعدادی است که به ترتیب و بر اساس یک رابطه خاص در کنار یکدیگر نوشته شده‌اند. اگر رابطه معرف یک الگوی عددی را داشته باشیم، می‌توانیم مقدار هر یک از اعداد موجود در آن را بر اساس جایگاه‌شان به دست بیاوریم.

چارت الگوهای عددی خاص - الگوی مثلثی چیست

آشنایی با الگوهای عدد و یادگیری نحوه محاسبه اعضای آن‌ها، به شما کمک می‌کند تا روابط ریاضی را بهتر درک کنید. الگوهای عددی متعددی در دنیای ریاضی وجود دارند که دوران تحصیلی خود با آن‌ها آشنا خواهید شد. از الگوهای عددی ابتدایی و خاص می‌توان به الگوی مثلثی، الگوی مربعی، الگوی مکعبی و الگوی فیبوناچی اشاره کرد. در ادامه، پس از حل یک مثال ساده در رابطه با الگوهای عددی، به معرفی الگوی مثلثی خواهیم پرداخت.

مثال ۱: به دست آوردن رابطه و مقدار اعضای الگوی عددی

مجموعه اعداد زیر را در نظر بگیرید:

$3, 5, 7, 9, ldots$

اعداد بالا از ۳ شروع می‌شوند و به ترتیب افزایش می‌یابند. عدد اول برابر با ۳، عدد دوم برابر ۵، عدد سوم برابر با ۷ و عدد چهارم برابر با ۹ است. این اعداد به همین ترتیب تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنند. هر عدد، به اندازه ۲ واحد بزرگ‌تر از عدد قبلی خود است. به علاوه، مقدار هر عدد را می‌توان از رابطه زیر به دست آورد:

۱ + (جایگاه هر عدد × ۲) = مقدار عدد

بر اساس این رابطه، عدد پنجم برابر می‌شود با:

۱ + (۵ × ۲) = مقدار عدد پنجم

۱ + ۱۰ = مقدار عدد پنجم

۱۱ = مقدار عدد پنجم

به این ترتیب، مجموعه اعداد معرفی شده، یک الگوی عددی است.

الگوی مثلثی، یکی از انواع الگوهای عددی است که هر یک از اعضای آن معمولا با استفاده از مجموعه‌ای از نقاط یا دایره‌ها نمایش داده می‌شود. این نقاط یا دایره‌ها، شکل یک مثلث متساوی‌الاضلاع را تشکیل می‌دهند.

اعداد الگوی مثلثی عبارت هستند از:

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ldots$

برای درک بهتر الگوی مثلثی، یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر بگیرید.

یک مثلث متساوی‌الساقین به همراه سه نقطه روی آن

تعداد نقاط گوشه در مثلث متساوی‌الاضلاع بالا، برابر با ۳ است. این عدد، دومین عضو از الگوی مثلثی محسوب می‌شود. اولین عضو این الگوی عددی، یک نقطه است. اکنون، می‌خواهیم با استفاده از این مثلث متساوی‌الاضلاع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع بزرگ ایجاد کنیم. به این منظور، به چهار مثلث مشابه نیاز داریم. این مثلث‌ها را مانند تصویر زیر در کنار یکدیگر قرار می‌دهیم تا مثلث متساوی‌الاضلاع بزرگ‌تری به وجود بیاید.

چهار مثلث متساوی‌الاضلاع با شش نقطه گوشه ای

تعداد نقاط گوشه‌ای در مثلث‌های بالا برابر با ۶ است. این عدد، سومین عضو از الگوی مثلثی را نمایش می‌دهد. با قرار دادن ۹ مثلث متساوی‌الاضلاع هم‌اندازه در کنار یکدیگر، شکل زیر به وجود می‌آید.

نه مثلث با ده نقطه گوشه ای - الگوی مثلثی

تعداد نقاط گوشه‌ای در مثلث‌های بالا برابر با ۱۰ است. این عدد، چهارمین عضو از الگوی مثلثی محسوب می‌شود. اگر ساخت مثلث‌های متساوی‌الاضلاع بزرگ‌تر را با استفاده از مثلث‌های متساوی‌الاضلاع کوچک و هم‌اندازه ادامه دهیم، دیگر اعضای الگوی مثلثی را به دست می‌آوریم. این الگو، در تعداد نقاط گوشه مثلث‌ها نهفته شده است.

مثال ۲: به دست آوردن تعداد مثلث‌ها در الگوی مثلثی

با رسم مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، عضو پنجم الگوی مثلثی را به دست بیاورید. به این منظور، چند مثلث متساوی‌الاضلاع را رسم کردید؟

برای حل این مثال، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع رسم کرده و هر ضلع آن را به چهار قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. دقت داشته باشید که اولین عضو الگوی مثلثی برابر با ۱ است.

تقسیم بندی اضلاع مثلث متساوی الاضلاع به چهار قسمت مساوی

اکنون با وصل کردن نقاط مشخص شده در تصویر بالا، مثلث‌های متساوی‌الاضلاع کوچک‌تر تشکیل می‌شوند. محل گوشه‌ها را با نقطه مشخص می‌کنیم.

۱۶ مثلث متساوی الاضلاع با ۱۵ نقطه گوشه اس

اکنون، تعداد نقاط گوشه روی گوشه‌های می‌شماریم. این نقاط برابر با ۱۵ هستند. بنابراین، پنجمین عضو از الگوی مثلثی برابر با ۱۵ است. برای

تعداد مثلث‌های کوچک در الگوی مثلثی

اگر الگوی مثلثی را با رسم مثلث‌های کوچک نمایش دهیم، برای نمایش هر عضو، به تعداد مشخصی مثلث نیاز خواهیم داشت. هرچه جایگاه عضو مورد نظر بالاتر باشد، تعداد مثلث‌های مورد نظر نیاز برای نشان دادن آن نیز بیشتر می‌شود. تصویر زیر، تعداد مثلث‌های مورد نیاز برای نمایش اعضای دوم تا پنجم الگوی مثلثی را نمایش می‌دهد.

برای یادآوری، دوباره اشاره می‌کنیم که اولین عضو الگوی مثلثی برابر با ۱ است. بنابراین، برای نمایش آن فقط از یک نقطه یا دایره استفاده می‌شود و نمی‌توان آن را توسط مثلث نشان داد. در بخش بعدی، رابطه یا فرمول الگوی عددی مثلثی را به صورت تصویری و با استفاده از دایره توضیح می‌دهیم.

اهمیت یادگیری الگوی مثلثی و دیگر الگوهای عددی چیست؟

بنر فیلم آموزش ریاضی پایه دهم رشته‌‌های ریاضی و تجربی فرادرس — برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دهم رشته‌‌های ریاضی و تجربی فرادرس، بر روی تصویر کلیک کنید.

یادگیری الگوهای مثلثی و دیگر الگوهای عددی در دوران ابتدایی و متوسطه اول، دانش‌آموزان را برای آشنایی با مباحث پیشرفته‌تری مانند دنباله و سری آماده می‌کند. این مباحث بیشتر در ریاضی دهم مطرح می‌شوند. بنابراین، اگر می‌خواهید دانش پایه خود را برای یادگیری دنباله و سری تقویت کنید، مروری بر مفاهیم الگوهای عددی داشته باشید.

فرادرس، چندین فیلم آموزشی جامع و مفید را برای دانش‌آموزان رشته‌های ریاضی، تجربی و انسانی تهیه کرده است که می‌تواند به دانش‌آموزان در یادگیری کامل الگوها و دنباله‌ها کمک کند. لینک مشاهده این فیلم‌های آموزشی در ادامه آورده شده است:

فرمول الگوی مثلثی چیست؟

رابطه یا فرمول یافتن اعداد الگوی مثلثی به صورت زیر نوشته می‌شود:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

در برخی از موارد، برای سادگی بیشتر، فرمول محاسبه اعداد الگوی مثلثی را به صورت زیر می‌نویسند:

۲ ÷ (شماره شکل بعدی × شماره شکل) = عدد الگوی مثلثی

اگر می‌خواهید بدانید منظور از «شماره شکل» یا «شماره شکل بعدی» چیست، ابتدا اعضای الگوی مثلثی را در نظر بگیرید.

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ldots$

برای درک بهتر الگو مثلثی می‌توانیم هر یک از اعداد آن را با نقطه یا دایره نمایش دهیم. عضو اول در این الگو، عدد ۱ است. بنابراین، به منظور نشان دادن تصویر آن، شکل یک دایره را رسم می‌کنیم.

یک دایره سبز با محیط مشکی — شکل شماره ۱ در الگوی مثلثی

شکل بالا، عضو اول در الگوی مثلثی بوده و شماره آن برابر با ۱ است. عدد ۱، جایگاه عضو را نمایش می‌دهد. شماره شکل، به منظور محاسبه اعداد الگو مورد استفاده قرار می‌گیرد. عضو دوم الگوی مثلثی، عدد ۳ است. می‌توانیم شکل این عضو را با استفاده از سه دایره نشان دهیم.

سه دایره به فرم مثلث — شکل شماره ۳ در الگوی مثلثی

در الگوی مثلثی، تعداد دایره‌های مورد نیاز برای درست کردن هر شکل، از جمع شماره آن شکل با تعداد دایره‌های مورد نیاز برای درست کردن شکل قبلی (عدد قبلی در الگو) به دست می‌آید.

عدد قبلی + شماره شکل = عدد الگوی مثلثی

به عبارت دیگر، علاوه بر فرمول معرفی شده در ابتدای بخش، می‌توانید از این ویژگی برای تعیین اعداد الگوی مثلثی استفاده کنید. منظور از شماره شکل، جایگاه عدد مورد نظر است. بنابراین می‌توانیم فرمول بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

۲ ÷ [(۱ + شماره جایگاه) × جایگاه] = عدد الگوی مثلثی

توجه داشته باشید که همواره تعداد دایره‌ها در ردیف اول (پایین‌ترین ردیف) از شکل الگوی مثلثی، نشان‌دهنده شماره شکل الگو است. این نکته هم در رسم شکل الگو و در محاسبه عدد الگو مورد استفاده قرار می‌گیرد. در ادامه، ضمن حل چند مثال تصویری، به ارائه مهم‌ترین نکات این مبحث می‌پردازیم.

مثال ۳: محاسبه اعداد الگوی مثلثی

عدد سوم و چهارم در الگوی مثلثی را به دست بیاورید و شکل مربوط به هر یک را با استفاده از دایره رسم کنید.

برای به دست آوردن اعداد الگوی مثلثی، ابتدا رابطه مربوط به آن‌ها را می‌نویسم و مقادیر معلوم را درون رابطه جایگذاری می‌کنیم. به این ترتیب، برای عدد سوم الگو داریم:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۳) × ۳] = عدد سوم الگو

۲ ÷ (۴ × ۳) = عدد سوم الگو

۲ ÷ ۱۲ = عدد سوم الگو

۶ = عدد سوم الگو

عدد سوم الگو برابر با ۶ است. این موضوع را با رسم شکل سوم نیز می‌توانیم اثبات کنیم.

شش دایره تشکیل دهنده فرم یک مثلث — شکل شماره ۳ در الگوی مثلثی

تصویر بالا، شکل سوم الگوی مثلثی را با استفاده از دایره نمایش می‌دهد. تعداد دایره‌ها در این تصویر با عدد سوم الگو (۶) برابری می‌کند. برای عدد چهارم الگوی مثلثی داریم:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۴) × ۴] = عدد چهارم الگو

۲ ÷ (۵ × ۴) = عدد چهارم الگو

۲ ÷ ۲۰ = عدد چهارم الگو

۱۰ = عدد چهارم الگو

بنابراین، عدد چهارم الگو برابر با ۱۰ است. شکل شماره ۴ الگوی مثلثی مانند تصویر زیر رسم می‌شود.

ده دایره که به فرم مثلث بر روی هم قرار دارند — شکل شماره ۴ در الگوی مثلثی

تعداد دایره‌ها در شکل بالا برابر با عدد چهارم الگو (۱۰) است.

مثال ۴: رسم شکل پنجم الگوی مثلثی

عدد پنجم الگوی مثلثی را به دست بیاورید و شکل پنجم این الگو را رسم کنید. برای رسم شکل پنجم الگوی مثلثی، ابتدا تعداد دایره‌های مورد نیاز را به دست می‌آوریم. این کار، با استفاده از فرمول زیر انجام می‌شود:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۵) × ۵] = عدد پنجم الگو

۲ ÷ (۶ × ۵) = عدد پنجم الگو

۲ ÷ ۳۰ = عدد پنجم الگو

۱۵ = عدد پنجم الگو

عدد پنجم الگو برابر با ۱۵ است. بنابراین، به ۱۵ دایره برای رسم شکل پنجم الگو نیاز داریم. برای شروع، ابتدا پنج دایره را رسم می‌کنیم.

سپس، دایره‌های دیگر را به گونه‌ای بر روی دایره‌های بالا رسم می‌کنیم که شکل یک مثلث تشکیل شود.

۱۵ دایره به فرم مثلث روی هم - الگوی مثلثی — شکل شماره ۵ در الگوی مثلثی

تصویر بالا شکل پنجم الگوی مثلثی را نمایش می‌دهد. شکل‌های اول تا پنجم این الگو را می‌توانید در تصویر زیر کنار یکدیگر مشاهده کنید.

شکل ۱ تا شکل ۵ الگوی مثلثی - الگوی مثلثی چیست

مباحث نسبتا پیشرفته مرتبط با الگوهای عددی، در بخش دنباله و سری کتاب‌های ریاضی دوره متوسطه آموزش داده می‌شوند. اگر به یادگیری این مباحث علاقه دارید، مشاهده «فیلم آموزش ریاضی پایه دهم رشته‌های تجربی و ریاضی فرادرس» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. لینک مشاهده این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است.

مثال ۵: محاسبه تعداد دایره در شکل بیست و یکم الگوی مثلثی

شکل بیستم الگوی مثلثی با ۲۱۰ دایره درست می‌شود. شکل بیست و یکم این الگو با چند دایره درست می‌شود؟

برای پاسخ دادن به این سوال، دو روش داریم. روش اول، استفاده از فرمول زیر است:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

عدد الگو با تعداد دایره‌های تشکیل‌دهنده آن برابر است. بنابراین، هر مقداری که برای عدد بیست و یکم به دست بیاید، همان تعداد دایره‌های شکل بیست و یکم خواهد بود. به این ترتیب، داریم:

۲ ÷ [(۱ + ۲۱) × ۲۱] = عدد بیست و یکم الگو

۲ ÷ (۲۲ × ۲۱) = عدد بیست و یکم الگو

۲ ÷ ۴۶۲ = عدد بیست و یکم الگو

۲۳۱ = عدد بیست و یکم الگو

بنابراین، شکل بیست و یکم الگو با ۲۳۱ دایره درست می‌شود. یکی دیگر از روش‌های رسیدن به این جواب، استفاده از اطلاعات صورت سوال است. می‌دانیم که در الگوی مثلثی، تعداد دایره‌های مورد نیاز برای درست کردن هر شکل، از جمع شماره آن شکل با تعداد دایره‌های مورد نیاز برای درست کردن شکل قبلی محاسبه می‌شود. تعداد دایره‌های مورد نیاز برای درست کردن شکل بیستم الگو برابر با ۲۱۰ بوده و شماره شکل مورد نظر برابر با بیست و یک است. در نتیجه:

عدد قبلی + شماره شکل = تعداد دایره‌های الگو

۲۱۰ + ۲۱ = تعداد دایره‌های شکل بیست و یکم

۲۳۱ = تعداد دایره‌های شکل بیست و یکم

با استفاده از این روش، خیلی سریع و بدون نیاز به ضرب و تقسیم به جواب رسیدیم. مجله فرادرس، مطلبی را با عنوان «دنباله اعداد مثلثی – به زبان ساده» تهیه کرده است که می‌تواند شما در یادگیری رابطه جبری الگوی مثلثی کمک کند. در بخش بعدی، به ارائه و حل چندین تمرین در رابطه با الگوی مثلثی می‌پردازیم.

آزمون سنجش یادگیری الگوی مثلثی

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث الگوی مثلثی را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم.

پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید. علاوه بر این، با انتخاب گزینه مورد نظر در هر سوال، امکان مشاهده پاسخ تشریحی آن سوال فراهم می‌شود.

عدد دهم الگوی مثلثی چیست؟

برای به دست آوردن عدد دهم الگوی مثلثی، رابطه این الگو را می‌نویسیم:

۲ ÷ [(۱ + شماره جایگاه) × جایگاه] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۱۰) × ۱۰] = عدد دهم الگو

۲ ÷ (۱۱ × ۱۰) = عدد دهم الگو

۲ ÷ ۱۱۰ = عدد دهم الگو

۵۵ = عدد دهم الگو

در نتیجه، دهمین عدد الگو برابر با ۵۵ است.

عدد دوازدهم الگوی مثلثی چیست؟

دوازدهمین عدد الگوی مثلثی با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

۲ ÷ [(۱ + شماره جایگاه) × جایگاه] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۱۲) × ۱۲] = عدد دوازدهم الگو

۲ ÷ (۱۳ × ۱۲) = عدد دوازدهم الگو

۲ ÷ ۱۵۶ = عدد دوازدهم الگو

۷۸ = عدد دوازدهم الگو

در نتیجه، دوازدهمین عدد الگو برابر با ۷۸ است.

با چند دایره می‌توان شکل شماره ۵۰ الگوی مثلثی را رسم کرد؟

تعداد دایره مورد نیاز برای رسم هر یک از الگوهای مثلثی، با عدد آن الگو برابری می‌کند. بنابراین، شکل شماره ۵۰ الگوی مثلثی از دایره‌هایی به تعداد زیر تشکیل می‌شوند:

۲ ÷ [(۱ + شماره شکل) × شماره شکل] = عدد الگوی مثلثی

۲ ÷ [(۱ + ۵۰) × ۵۰] = تعداد دایره شکل ۵۰

۲ ÷ (۵۱ × ۵۰) = تعداد دایره شکل ۵۰

۲ ÷ ۲۵۵۰ = تعداد دایره شکل ۵۰

۱۲۷۵ = تعداد دایره شکل ۵۰

در نتیجه، تعداد دایره‌های مورد نیاز برای رسم شکل ۵۰ الگوی مثلثی برابر با ۱۲۷۵ است.

با استفاده از ۲۰۸۰ دایره، یک شکل مثلثی ایجاد کرده‌ایم. اگر تعداد دایره‌های مورد نیاز برای ساخت شکل قبلی برابر با ۲۰۱۶ باشد، شماره شکل اول چند است؟

یکی از روش‌های به دست آوردن تعداد دایره‌های مورد نیاز برای رسم شکل الگوی مثلثی یا همان عدد الگوی مثلثی، استفاده از فرمول زیر است:

عدد قبلی + شماره شکل = عدد الگوی مثلثی

در این تمرین، عدد شکل شماره قبلی (۲۰۱۶) و عدد شکل شماره فعلی (۲۰۸۰) را داریم. این مقادیر را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

۲۰۱۶ + شماره شکل = ۲۰۸۰

۲۰۱۶ – ۲۰۸۰ = شماره شکل

۶۴ = شماره شکل

در نتیجه، شماره شکل الگوی مثلثی با ۲۰۸۰ برابر با ۶۴ است. اگر عدد شکل شماره قبلی را نداشتید، می‌توانسید با محاسبه عدد الگوی مثلثی برای هر یک از گزینه‌ها، گزینه درست را مشخص کنید.

جمع هفت عدد اول الگوی مثلثی چند است؟