تحلیل و بررسی حرکت اجسام به معنای داشتن اطلاعات کافی در مورد تغییرات کمیت‌هایی مانند جابجایی، سرعت و شتاب در گذر زمان است. بنابراین آشنایی با نمودارهای حرکت شامل نمودار مکان زمان، سرعت زمان و شتاب زمان، اینکه این نمودارها چه اطلاعاتی به ما می‌دهند و چگونه می‌توانیم با داشتن یکی از این نمودارها، دو نمودار دیگر را رسم کنیم، از اهمیت بالایی برخوردار است. در این نوشته از مجله فرادرس توضیح می‌دهیم که تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان تنها با محاسبه مساحت زیر نمودار شتاب زمان امکان‌پذیر است.

ابتدا لازم است نحوه محاسبه سرعت و شتاب را برای انواع حرکت مرور کنیم. در ادامه باید بدانیم نمودار هر کمیت سینماتیکی با توجه به نوع وابستگی آن به زمان (ثابت، خطی یا درجه دو) چه شکلی خواهد داشت. در انتها همراه با حل چند مثال، نشان می‌دهیم که تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان با محاسبه مساحت زیر نمودار شتاب زمان انجام می‌شود. این مساحت معادل است با تغییرات سرعت جسم. در نتیجه با در اختیار داشتن سرعت اولیه، می‌توانیم نمودار سرعت زمان را نیز رسم کنیم.

تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان

اگر نمودار شتاب زمان و مقدار سرعت اولیه حرکت جسمی را داشته باشیم، برای تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان کافی است ابتدا مساحت زیر نمودار شتاب زمان را پیدا کنیم. این مساحت برابر است با تغییرات سرعت جسم:

$$S=triangle v$$

$$v(t) =v_0+triangle v$$

در نتیجه با افزودن سرعت اولیه به این عدد، تغییرات سرعت جسم با زمان مشخص می‌شود و می‌توانیم نمودار سرعت زمان را رسم کنیم.

جدول زیر به شما کمک می‌کند تا با توجه به نوع حرکت، تشخیص دهید که شکل نمودار‌های سرعت زمان و شتاب زمان متناظر چگونه‌اند:

برای اینکه روند تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان را بهتر متوجه شویم، ابتدا لازم است به هر یک از این دو نمودار کاملا مسلط باشیم. در بخش‌های آتی، راجع‌به ویژگی‌های این دو نمودار و نکاتی که با نگاه کردن به آن‌ها می‌توان استنباط کرد، صحبت می‌کنیم. از طرفی با توجه به معادله شتاب بر حسب زمان، شکل نمودار شتاب زمان نیز متفاوت می‌شود. به همین دلیل ابتدا نحوه به دست آوردن معادلات سرعت و شتاب را توضیح می‌دهیم.

چگونه نمودارهای سینماتیک را با فرادرس بهتر یاد بگیریم؟

پیش از اینکه به توضیح نحوه تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان بپردازیم، در این بخش قصد داریم چند دوره آموزشی معرفی کنیم که با روش رسم انواع نمودارهای سینماتیک مانند نمودارهای مکان زمان، سرعت زمان و شتاب زمان مرتبط هستند. لیست زیر شامل فیلم‌های آموزشی فرادرس در این زمینه است که در سطح کتاب‌های درسی دبیرستان تهیه شده‌اند:

1. فیلم آموزش علوم تجربی نهم بخش فیزیک فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک دوازدهم سوالات امتحانات نهایی با حل تشریحی فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک دوازدهم نکته و حل تست کنکور فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان دینامیک و حرکت دایره ای فرادرس

محاسبه سرعت و شتاب بر اساس معادله مکان زمان

در این بخش به محاسباتی می‌پردازیم که لازم است در زمینه تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان بدانیم. در واقع اگر بخواهیم نمودارهای شتاب زمان و سرعت زمان را به‌درستی رسم کنیم و بتوانیم نحوه تبدیل آن‌ها به هم را بدون خطا تحلیل کنیم، ابتدا باید بیاموزیم چگونه می‌توان با داشتن معادله مکان زمان، سرعت و سپس شتاب را محاسبه کرد. این محاسبات بر اساس مشتق‌ در ریاضیات انجام می‌شوند.

یک دوره کوتاه و رایگان با عنوان فیلم آموزش تبدیل نمودار تابع در حسابان ۲ – پایه دوازدهم و رشته ریاضی و فیزیک فرادرس در همین زمینه تهیه شده است که می‌توانید با مشاهده آن روش کلی تبدیلات توابع در ریاضیات را بیاموزید. لینک این آموزش در ادامه برای شما قرار داده شده است:

با اینکه در واقعیت با معادلات مکانی بسیار پیچیده‌تری با درجات بالاتر از سه مواجه هستیم، اما این بخش را با سه پیش‌فرض ساده ادامه می‌دهیم. ابتدا با در نظر گرفتن ساده‌ترین نوع معادله مکان زمان، یعنی وابستگی خطی مکان به زمان شروع می‌کنیم. در بخش بعد با اضافه کردن یک درجه دیگر به معادله مکان زمان و فرض یک معادله درجه دوم، محاسبات را بررسی می‌کنیم و در انتها با یک معادله مکان زمان درجه سوم محاسبات این بخش را به پایان می‌رسانیم.

حرکت با سرعت ثابت (معادله مکان زمان خطی)

در اولین بخش از بررسی محاسبات موردنیاز جهت تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان، فرض می‌کنیم معادله مکان جسم یا ذره متحرک ما بر حسب زمان با عبارتی به شکل زیر داده شده است که در آن $$A$$ یک عدد ثابت و دلخواه است:

$$x = At$$

رابطه بالا بر حسب زمان، یک تابع درجه یک از زمان محسوب می‌شود، چون توان $$t$$ برابر با یک است. بنابراین شکل نمودار مکان زمان ما به‌صورت زیر است:

طبق آنچه که از سینماتیک بلدیم، تعریف سرعت به این صورت است: تغییرات مکانی جسم در گذر زمان. بنابراین شکل ریاضیاتی این تعریف، همان مشتق مکان نسبت به زمان است و اگر بخواهیم معادله سرعت بر حسب زمان را بر اساس معادله مکانی بالا محاسبه کنیم، داریم:

$$v = frac{dx}{dt} Rightarrow v = frac{d}{dt}(At)=A$$

پس برای یک معادله مکان زمان خطی، سرعت برابر با یک عدد ثابت شد و نمودار آن به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

به همین ترتیب، شتاب هم برابر است با تغییرات سرعت بر حسب زمان که معادل مشتق سرعت نسبت به زمان است:

$$a = frac{dv}{dt} Rightarrow a = frac{d}{dt}(A)=0$$

می‌دانیم مشتق یک عدد ثابت صفر می‌شود. پس اگر یک معادله مکان زمان خطی داشته باشیم، سرعت ما ثابت است. در نتیجه چون تغییراتی برای سرعت نداریم، شتاب چنین حرکتی همیشه صفر است. نمودار شتاب صفر به‌صورت زیر نمایش داده می‌‌شود که در واقع نشان‌دهنده منطبق بودن مقادیر شتاب بر محور زمان است:

نکته: معادله شتاب با دو بار مشتق‌گیری از معادله مکان زمان حاصل می‌شود.

نمودار یک معادله مکان زمان خطی، به‌صورت یک خط مستقیم و قطری است. بنابراین نمودار سرعت زمان چنین تابع مکانی، یک خط ثابت افقی و موازی با محور زمان است. شتاب صفر چنین حرکتی نیز با خطی که کاملا روی محور زمان و منطبق بر آن قرار می‌گیرد، نشان داده می‌شود. جدول زیر خلاصه‌ای از چنین موقعیتی را بیان می‌کند:

همان‌طور که در جدول اشاره شده است، با توجه به وابستگی خطی مکان به زمان و ثابت شدن سرعت، این حرکت از نوع سرعت ثابت محسوب می‌شود. نکته دیگری که در این محاسبات مهم است، علامت عدد ثابت $$A$$ است. اگر $$A$$ مثبت باشد:

• نمودار مکان زمان یک خط قطری با شیب مثبت است.
• نمودار سرعت زمان یک خط افقی بالای محور زمان و موازی با آن است.
• نمودار شتاب زمان روی محور زمان است.

در حالی که اگر $$A$$ منفی باشد، داریم:

• نمودار مکان زمان یک خط قطری با شیب منفی است.
• نمودار سرعت زمان یک خط افقی زیر محور زمان و موازی با آن است.
• نمودار شتاب زمان روی محور زمان است.

حرکت با شتاب ثابت (معادله مکان زمان درجه دو)

در ادامه یادگیری محاسبات لازم برای تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان، یک معادله مکان زمان به‌صورت زیر را در نظر می‌گیریم که باز هم در آن $$A$$ یک عدد ثابت و دلخواه است:

$$x = At^2$$

این نوع معادله مکان زمان یک معادله درجه دو محسوب می‌شود، چون بیشترین توان $$t$$ در آن برابر با عدد دو است. بنابراین شکل این نمودار به‌صورت زیر است:

گفتیم سرعت مشتق مکان نسبت به زمان است:

$$v = frac{dx}{dt} Rightarrow v = frac{d}{dt}(At^2)=2At$$

دقت کنید عبارت $$2A$$ که برابر است با حاصل‌ضرب یک عدد ثابت در عدد ۲ نیز همواره با یک عدد ثابت برابر در نظر گرفته می‌شود. پس می‌توانیم بگوییم معادله سرعت زمان متناظر با معادله مکان زمان درجه دو، یک معادله خطی است.

حالا شتاب را با مشتق‌گیری از سرعت نسبت به زمان حساب می‌کنیم:

$$a = frac{dv}{dt} Rightarrow a = frac{d}{dt}(2At)=2A$$

شتاب برابر با یک عدد ثابت شد. پس اگر معادله مکان زمان ما از درجه دوم باشد، سرعت خطی است و در نتیجه شتاب برابر با عدد ثابتی خواهد شد:

دیدیم در قالب نمودار، چنین معادله مکان زمانی به شکل یک سهمی خواهد بود. متعاقبا نمودار سرعت زمان متناظر است با یک خط مستقیم و قطری و نمودار شتاب زمان با یک خط افقی و موازی محور زمان نمایش داده می‌شود. جدول زیر شکل نمودارهای مکان زمان، سرعت زمان و شتاب زمان را برای حرکت با شتاب ثابت نشان می‌دهد:

از آن‌جا که شتاب با زمان تغییر نمی‌کند و نسبت به زمان ثابت است، این حرکت را حرکت با شتاب ثابت می‌نامیم. همچنین لازم است علامت عدد ثابت $$A$$ را که ضریب توان دوم $$t$$ است، در رسم نمودار خود حتما در نظر بگیریم، به این صورت که اگر $$A$$ مثبت باشد:

• نمودار مکان زمان یک سهمی رو به بالا است.
• نمودار سرعت زمان یک خط قطری با شیب مثبت است.
• نمودار شتاب زمان یک خط افقی بالای محور زمان و موازی با آن است.

اما اگر $$A$$ منفی باشد، داریم:

• نمودار مکان زمان یک سهمی رو به پایین است.
• نمودار سرعت زمان یک خط قطری با شیب منفی است.
• نمودار شتاب زمان یک خط افقی زیر محور زمان و موازی با آن است.

حرکت با شتاب متغیر (معادله مکان زمان درجه سه)

در دو بخش قبل محاسبات مربوط به پیدا کردن سرعت و شتاب از معادله مکان در دو نوع حرکت مهم فیزیک مکانیک، یعنی حرکت با سرعت ثابت و حرکت با شتاب ثابت را توضیح دادیم. در این بخش معادله مکان زمان کمی پیچیده‌تری را در نظر گرفته‌ایم که به شکل زیر است:

$$x = At^3$$

در اینجا هم $$A$$ یک عدد ثابت و دلخواه است. ملاحظه می‌کنید که در این معادله بالاترین توانی که برای $$t$$ داریم، سه است. به همین دلیل آن را تابع درجه سه از زمان در نظر می‌گیریم با نموداری به شکل زیر:

حالا می‌رویم سراغ محاسبات سرعت و شتاب:

$$v = frac{dx}{dt} Rightarrow v = frac{d}{dt}(At^3)=3At^2$$

$$a = frac{dv}{dt} Rightarrow a = frac{d}{dt}(3At^2)=6At$$

ملاحظه می‌کنید که با داشتن معادله مکان درجه سه، سرعت بر حسب زمان از درجه دوم و شتاب بر حسب زمان از درجه اول یا خطی به‌دست می‌آید. بنابراین این حرکت از نوع شتاب متغیر است. شکل نمودار چنین معادله مکان زمانی با توان سوم زمان، اصطلاحا مکعبی است. نمودار سرعت زمان متناظر درجه دو است و به شکل سهمی رسم می‌شود و برای شتاب چنین حرکتی، نمودار به‌صورت یک خط مستقیم و قطری خواهد بود:

دقت کنید تمام معادلات مکانی با درجات بالاتر از سه، به ما حرکت با شتاب متغیر می‌دهند اما مطالعه چنین معادلاتی خارج از موضوع این مطلب است. همچنین در واقعیت معادلات مکانی شکل ‌کلی‌تری به‌صورت $$x=At^3 +Bt^2+Ct+D$$

در انتهای این بخش با توجه به علامت عدد ثابت $$A$$، نشان می‌دهیم شکل نمودارها چگونه می‌شوند. اگر $$A$$ مثبت باشد:

• نمودار مکان زمان به شکل مکعبی است.
• نمودار سرعت زمان یک سهمی رو به بالا است.
• نمودار شتاب زمان یک خط قطری با شیب مثبت است.

اما اگر $$A$$ منفی باشد، داریم:

• نمودار مکان زمان به شکل مکعبی است.
• نمودار سرعت زمان یک سهمی رو به پایین است.
• نمودار شتاب زمان یک خط قطری با شیب منفی است.

محاسبه سرعت بر اساس معادله شتاب زمان

در بخش قبل آموختیم چطور می‌توانیم با داشتن معادله مکان، به معادلات سرعت و شتاب برسیم. همچنین اشاره کردیم که شکل نمودارهای این کمیت‌‌ها بر حسب زمان، با توجه به نوع وابستگی آن‌ها به زمان چگونه خواهد بود. ابزار ریاضیاتی مورد استفاده در بخش پیش، مشتق بود. اگر روند معکوس بخش قبل را طی کنیم، می‌توانیم با داشتن معادله شتاب زمان، به معادله سرعت زمان و مکان زمان برسیم.

ابزار ریاضیاتی که در این قسمت به ما کمک می‌کند، انتگرال‌گیری یا همان محاسبه مساحت زیر نمودار است. این بخش در یادگیری روند تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان بسیار مهم است. با شروع از معادله شتاب زمان و ویژگی‌های نمودار آن، این بخش را آغاز می‌کنیم.

نمودار شتاب زمان چیست و چه اطلاعاتی به ما می‌دهد؟

نمودار شتاب زمان نشان‌دهنده نحوه تغییرات شتاب جسم در حال حرکت همراه با گذر زمان است. رسم این نمودار از متناظر شدن مقادیر شتاب به‌ ازای هر لحظه از زمان انجام می‌شود، به این صورت که مقادیر شتاب روی محور عمودی و مقادیر زمان روی محور افقی قرار می‌گیرند. مهم‌ترین نتایجی که از یک نمودار شتاب زمان می‌توانیم به‌دست آوریم، به شرح زیر هستند:

1. 1. اگر نمودار شتاب زمان به شکل خط مستقیمی باشد که محور زمان را در نقطه مشخصی قطع می‌کند (قطری)، حرکت با شتاب متغیر داریم.
   2. اگر نمودار شتاب زمان به شکل یک خط افقی موازی با محور زمان باشد، حرکت با شتاب ثابت داریم.
   3. اگر نمودار شتاب زمان بالای محور زمان قرار داشته باشد، در این صورت جسم دارای شتاب مثبتی است.
   4. اگر نمودار شتاب زمان زیر محور زمان قرار داشته باشد، در این صورت جسم دارای شتاب منفی است.
   5. مساحت بین نمودار شتاب زمان و محور افقی یا همان محور زمان، معادل است با میزان تغییرات سرعت جسم.
   6. در نمودار شتاب زمانی که شامل چند بخش مختلف است، کل تغییرات سرعت جسم برابر است با مجموع مساحت‌های بالای محور زمان منهای مجموع مساحت‌های زیر محور زمان.

حالا در مورد برخی از این نتایج توضیحات مختصری ارائه می‌دهیم. برای نمونه، مثبت بودن شتاب جسم در نتیجه شماره ۳ به این معنا است که تغییرات سرعت جسم در گذر زمان مثبت است. در این شرایط ممکن است دو حالت داشته باشیم:

1. اگر تندی یا اندازه بردار سرعت زیاد شود، حرکت جسم رو به جلو است.
2. اگر تندی یا اندازه بردار سرعت کم شود، حرکت جسم رو به عقب است.

برای اینکه بهتر متوجه این قسمت شویم، لازم است نگاهی به ماهیت برداری بودن کمیت‌هایی مانند سرعت و شتاب داشته باشیم. می‌دانیم سرعت و شتاب کمیت‌های برداری محسوب می‌شوند، یعنی علاوه بر اندازه، جهت آن‌ها هم مهم است. از طرفی اگر به فرمول شتاب دقت کنیم، می‌بینیم که شتاب مثبت معادل است با تغییرات سرعت مثبت، چون تغییرات زمانی همواره مثبت است ($$triangle t >0$$

$$vec{a}=frac{triangle vec{v}}{triangle t}=frac{ vec{v_2}- vec{v_1}}{ t_2-t_1}$$

$$vec{a}> 0 Rightarrow triangle vec{v} > 0 Rightarrow vec{v_2}>vec{v_1}$$

حالا فرض کنید بردارهای سرعت ما به شکل زیر باشند:

$$vec{v_2}=+5 hat{i}$$

$$vec{v_1}=+2 hat{i}$$

در این شرایط تغییرات بردار سرعت برابر است با:

$$triangle vec{v}=vec{v_2}-vec{v_1}=5 hat{i}-2 hat{i}=3hat{i}$$

و شتاب نیز هم‌جهت با این تغییرات، یعنی در راستای مثبت محور xها است. در این مثال تندی یا اندازه بردار سرعت با گذشت زمان زیاد شده است. پس حالت شماره یک به این شکل است. اگر تمایز تندی و سرعت را نمی‌دانید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «تندی و سرعت در فیزیک — به زبان ساده» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

اما مثال حالت شماره دو را می‌توانیم با در نظر گرفتن بردارهای سرعت زیر توصیف کنیم:

$$vec{v_2}=-2 hat{i}$$

$$vec{v_1}=-5 hat{i}$$

اندازه بردار سرعت یا تندی در این شرایط کم شده است، اما حاصل تغییرات برداری سرعت، یک عدد مثبت و در نتیجه شتاب هم مثبت است:

$$triangle vec{v}=vec{v_2}-vec{v_1}=-2 hat{i}-(-5 hat{i})=3hat{i}$$

به همین ترتیب منفی بودن شتاب جسم در نتیجه شماره ۴ به این معنا است که تغییرات بردار سرعت جسم همراه با گذر زمان منفی است. در این شرایط هم می‌توانیم یکی از دو حالت زیر را داشته باشیم:

1. اگر تندی یا اندازه بردار سرعت کم شود، حرکت جسم رو به جلو است.
2. اگر تندی یا اندازه بردار سرعت زیاد شود، حرکت جسم رو به عقب است.

با نوشتن فرمول شتاب می‌بینیم که شتاب منفی معادل است با تغییرات سرعت منفی، چون تغییرات زمانی همواره مثبت است ($$triangle t >0$$

$$vec{a}=frac{triangle vec{v}}{triangle t}=frac{ vec{v_2}- vec{v_1}}{ t_2-t_1}$$

$$vec{a}< 0 Rightarrow triangle vec{v} < 0 Rightarrow vec{v_2}<vec{v_1}$$

برای مثال، اگر بردارهای سرعتی به شکل زیر داشته باشیم:

$$vec{v_2}=-2 hat{i}$$

$$vec{v_1}=+5 hat{i}$$

در این شرایط تغییرات بردار سرعت برابر است با:

$$triangle vec{v}=vec{v_2}-vec{v_1}=-2 hat{i}-5 hat{i}=-7hat{i}$$

و شتاب نیز هم‌جهت با این تغییرات، یعنی در راستای منفی محور xها است. در حالت بعد با در نظر گرفتن بردارهای سرعت زیر خواهیم داشت:

$$vec{v_2}=-5 hat{i}$$

$$vec{v_1}=+2 hat{i}$$

اندازه بردار سرعت یا تندی در این شرایط بیشتر شده است، اما حاصل تغییرات برداری سرعت، یک عدد منفی و در نتیجه شتاب هم منفی است:

$$triangle vec{v}=vec{v_2}-vec{v_1}=-5 hat{i}-2 hat{i})=-7hat{i}$$

همچنین نتیجه شماره ۵ را می‌توانیم به شکل زیر بنویسیم:

$$S=triangle v$$

بنابراین اگر نمودار شتاب زمان بالای محور زمان قرار داشته باشد، یعنی شتاب مثبت باشد، تغییرات سرعت هم مثبت است. این در حالی است که اگر نمودار شتاب زمان زیر محور افقی قرار داشته باشد و شتاب منفی باشد، تغییرات سرعت نیز منفی است. در واقعیت، نمودار شتاب زمان می‌تواند پیچیده‌تر و به شکل منحنی‌ هم باشد. اما در این نوشته آموزش ما محدود است به حالت‌هایی که در بالا توضیح دادیم.

شکل زیر نمونه‌ای از یک نمودار شتاب زمان را نشان می‌دهد که در آن حرکت جسم در زمان‌های مختلف متفاوت است. با توجه به نکاتی که در بالا گفتیم، می‌توانیم برای نقاط مشخص شده روی شکل به نتایج زیر برسیم:

1. شتاب اولیه حرکت
2. حرکت با شتاب متغیر
3. حرکت با شتاب ثابت
4. تغییر لحظه‌ای شتاب
5. حرکت با سرعت ثابت (شتاب صفر)
6. حرکت با شتاب ثابت
7. تغییرات سرعت مثبت
8. تغییرات سرعت منفی

یک نمودار شتاب زمان چه اطلاعاتی به ما نمی‌دهد؟

در بخش قبل گفتیم که از یک نمودار شتاب زمان به چه نتایجی در مورد حرکت جسم می‌توانیم دست پیدا کنیم. در این بخش بیان می‌کنیم که این نمودار چه اطلاعاتی به ما نمی‌دهد. با نگاه کردن به نمودار شتاب زمان ممکن نیست بتوانیم سرعت جسم را در زمان‌های مشخص بدانیم. می‌دانیم چنین سرعتی «سرعت لحظه‌ای» نامیده می‌شود. اما با داشتن سرعت اولیه می‌توانیم پس از محاسبه مساحت بین نمودار شتاب زمان و محور افقی، سرعت لحظه‌ای را برای هر نقطه محاسبه کنیم. در ادامه جهت درک بهتر این موضوع، حل مثالی توضیح داده شده است.

نکته: مثبت بودن نمودار شتاب زمان به ما تضمینی نمی‌دهد که سرعت حرکت مثبت است.

مروری بر فرمول‌های سینماتیک

پیش از اینکه به بررسی یک نمونه نمودار شتاب زمان بپردازیم، لازم است مروری داشته باشیم به انواع فرمول‌های سینماتیک. در مثال‌های بخش‌های بعد خواهید دید تسلط به این فرمول‌ها به شما کمک می‌کند تا با دقت بالاتری تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان را انجام دهید.

فرمول‌های سینماتیک که معادلات حرکت هم نامیده می‌شوند، برای پیدا کردن جابجایی، سرعت و شتاب بکار می‌روند. جدول زیر تمام فرمول های سینماتیک را نشان می‌دهد:

مثال

اگر حرکت یک ماشین در جاده در مدت زمان $$8 s$$ توسط نمودار شتاب زمانی به شکل زیر توصیف شود، با دانستن این نکته که سرعت ماشین در شروع حرکت از مکان صفر، $$25 frac{m}{s}$$

1. سرعت ماشین پس از $$2 s$$ چقدر است؟
2. مسافتی که ماشین در بازه زمانی بین $$2 s$$ و $$6 s$$ طی می‌کند، چقدر است؟
3. سرعت ماشین پس از $$8 s$$ چقدر است؟

پاسخ

در بازه زمانی $$0 s$$ تا $$2 s$$، چون نمودار شتاب زمان به شکل یک خط مستقیم افقی و موازی با محور زمان است، پس در این بازه حرکت شتاب ثابت داریم. برای پاسخ دادن به سوال اول، کافی است مساحت زیر نمودار را در بازه $$0 s$$ تا $$2 s$$ طبق شکل زیر پیدا کنیم. این ناحیه معادل است با مستطیلی با ابعاد $$2$$ در $$4$$:

$$2 s times 4 frac{m}{s^2} = 8 frac{m}{s}$$

ملاحظه می‌کنید که با نوشتن واحد دو عدد بالا، مساحت این بخش از نمودار شتاب زمان معادل کمیتی با یکای سرعت شد. اما این سرعت جواب سوال نیست. چون سرعت اولیه برای این حرکت برابر است با $$25 frac{m}{s}$$

بنابراین با در نظر گرفتن سرعت اولیه $$25 frac{m}{s}$$

$$25 frac{m}{s} + 8 frac{m}{s} = 33 frac{m}{s}$$

در دومین سوال می‌خواهیم مسافتی را که ماشین در بازه زمانی داده شده پیموده است، محاسبه کنیم. این بازه در نمودار مطابق با بخشی است که شتاب صفر شده است. صفر شدن شتاب به این معنا است که سرعت در این بازه زمانی تغییر نکرده است. طبق محاسبات بخش قبل، در انتهای ثانیه دوم سرعت ماشین $$33 frac{m}{s}$$

بنابراین در این بخش یک حرکت با سرعت ثابت داریم و برای پیدا کردن مسافت پیموده شده لازم است از فرمول‌‌ سرعت ثابت به شکل زیر استفاده کنیم:

$$x = x_0 + v t$$

در صورت سوال ذکر شده است که شروع حرکت از مکان صفر است. پس $$x_0 = 0$$

$$Rightarrow x = 33 times (6-2)=132 m$$

در سوال سوم، سرعت ماشین در ثانیه هشتم یا پس از $$8 s$$ باید محاسبه شود. ابتدا مروری داریم به تغییرات سرعت تا انتهای ثانیه ششم. ماشین با سرعت اولیه $$25 frac{m}{s}$$

در ثانیه دوم تا ششم، حرکت ماشین یک حرکت با سرعت ثابت است. پس در انتهای ثانیه ششم سرعت در همان مقدار شروع یعنی $$33 frac{m}{s}$$

$$2 s times 1 frac{m}{s^2} = 2 frac{m}{s}$$

این عدد برابر است با تغییرات سرعت در این بازه زمانی و چون می‌دانیم شتاب این بازه، منفی است، باید علامت منفی برای این مقدار تغییر سرعت درج شود. بنابراین با در نظر گرفتن سرعت اولیه $$33 frac{m}{s}$$

$$33 frac{m}{s} – 2 frac{m}{s} = 31 frac{m}{s}$$

حل مثال از تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان

پس از اینکه با هر دو نوع نمودار شتاب زمان و سرعت زمان آشنا شدیم، در این بخش با حل مثال نشان می‌دهیم که روند تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان چگونه است.

مثال ۱

اگر نمودار شتاب زمان متحرکی به شکل زیر داده شده باشد، با فرض اینکه سرعت اولیه حرکت $$30 frac{m}{s}$$

پاسخ

با توجه به اینکه شکل نمودار شتاب زمان در سوال به‌صورت یک خط افقی و موازی با محور زمان است، پس تا اینجا نتیجه می‌گیریم که شتاب این حرکت ثابت است. همچنین چون این خط زیر محور زمان قرار گرفته است، پس شتاب یک مقدار ثابت و منفی است با مقدار $$-3 frac{m}{s^2}$$

همچنین چون شتاب منفی است، پس باید نمودار سرعت زمان ما نیز دارای شیب منفی باشد. اما برای اینکه بتوانیم این نمودار را دقیق‌تر رسم کنیم، لازم است از فرمول‌های سینماتیک کمک بگیریم. می‌دانیم که تغییرات سرعت در حرکت با شتاب ثابت به‌صورت زیر است:

$$v = v_0 + a t$$

با توجه به اینکه مقدار سرعت اولیه حرکت یا $$v_0$$

$$Rightarrow v = 30 – 3t$$

بازه زمانی نمودار شتاب زمان از ثانیه صفر تا ثانیه ده است. پس با عددگذاری در معادله سرعت زمان، می‌توانیم سرعت را در هر کدام از این دو زمان پیدا کنیم:

$$t= 0 Rightarrow v = 30 frac{m}{s}$$

$$t= 10 Rightarrow v = 30-30=0 frac{m}{s}$$

پس با داشتن نقاط ابتدا و انتهای بازه زمانی و مقدار شتاب ثابت در نمودار شتاب زمان و استفاده از معادله سرعت زمان، سرعت در این دو نقطه حساب شد. حالا کافی است دو نقطه زیر را در نظر بگیریم و آن‌ها را با یک خط مستقیم و قطری به هم وصل کنیم:

$$t = 0 , v = 30 frac{m}{s}$$

$$t = 10 s , v = 0$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید شیب این خط خود به خود منفی می‌شود.

مثال ۲

اگر اتومبیلی در حرکت خود به سمت غرب، پس از $$10 s$$ متوقف شود، با داشتن نمودار شتاب زمان آن به شکل زیر، نمودار سرعت زمان را رسم کنید:

پاسخ

باز هم یک نمودار شتاب زمان خطی داریم که بالای محور زمان قرار گرفته است. توقف اتومبیل در مدت زمان $$10 s$$ یک حرکت با شتاب ثابت است، بنابراین شکل نمودار سرعت زمان متناظر با این توقف، یک خط قطری با شیب مثبت خواهد شد. برای رسم دقیق‌تر این نمودار، لازم است معادله سرعت زمان در حرکت با شتاب ثابت را بنویسیم:

$$v = v_0 + a t$$

در این سوال مقدار سرعت اولیه مشخص نشده است و بدون دانستن آن قادر به رسم نمودار نیستیم. ما فقط می‌دانیم شکل نمودار چگونه است، اما در مورد نقطه شروع و پایان آن باید اطلاع دقیقی از مقادیر سرعت داشته باشیم. در صورت سوال گفته شده در انتهای ثانیه دهم، اتومبیل متوقف می‌شود. به این ترتیب می‌توانیم از صفر شدن سرعت در ثانیه دهم و ثابت بودن مقدار شتاب استفاده کرده و سرعت اولیه را پیدا کنیم:

$$t = 10 s Rightarrow v = 0$$

$$Rightarrow 0 = v_0 + 2 times 10 Rightarrow v_0 = – 20 frac{m}{s}$$

حالا با داشتن سرعت اولیه، دو نقطه ابتدا و انتهای خط نشان‌دهنده تغییرات خطی سرعت با زمان را داریم. با وصل کردن این دو نقطه نمودار رسم می‌شود:

$$t = 0 , v = -20 frac{m}{s}$$

$$t = 10 s , v = 0$$

مثال ۳

شکل زیر نمودار شتاب زمان جسمی را در بازه صفر تا $$30 s$$ نشان می‌دهد. با این فرض که سرعت اولیه این جسم برابر است با $$+4 frac{m}{s}$$

پاسخ

در این سوال حرکت جسم در کل بازه زمانی داده شده از صفر تا $$30 s$$، یکسان نیست، چون شکل نمودار شتاب زمان در بازه‌های زمانی مختلف متفاوت است. پس اولین قدم تحلیل نمودار شتاب زمان، تعیین بازه‌‌های زمانی مختلف و مشخص کردن نوع حرکت در هر بازه است:

1. از شروع تا ثانیه هشتم، حرکت با شتاب ثابت داریم، چون نمودار شتاب زمان موازی با محور افق است. همچنین شتاب ثابت این بخش از حرکت منفی و برابر با $$-1 frac{m}{s^2}$$
2. در ثانیه هشتم شتاب به‌صورت ناگهانی صفر می‌شود.
3. از ثانیه هشتم تا دوازدهم، شتاب در مقدار صفر ثابت می‌ماند. چون شتاب صفر است، تغییرات سرعت هم در این بازه صفر است. پس حرکت در این بازه از نوع سرعت ثابت است.
4. در ثانیه دوازدهم، شتاب ناگهان زیاد می‌شود و به مقدار $$+1 frac{m}{s^2}$$
5. از ثانیه دوازدهم تا شانزدهم، باز هم حرکت با شتاب ثابت داریم. نمودار به‌صورت یک خط افقی و موازی محور زمان است و مقدار شتاب مثبت است.
6. در ثانیه شانزدهم ناگهان شتاب کاهش می‌یابد و به صفر می‌رسد.
7. از ثانیه شانزدهم تا بیستم، شتاب صفر می‌ماند و حرکت از نوع سرعت ثابت است.
8. در ثانیه بیستم شتاب مجددا افزایش پیدا کرده و به $$+1 frac{m}{s^2}$$
9. از ثانیه بیستم تا بیست و چهارم، حرکت با شتاب ثابت داریم. مقدار شتاب در این بازه بدون تغییر و در $$+1 frac{m}{s^2}$$
10. در ثانیه بیست و چهارم شتاب ناگهان کاهش یافته و صفر می‌شود.
11. از ثانیه بیست و چهار تا سی، شتاب صفر است و حرکت با سرعت ثابت داریم.

با توجه به توضیحات بالا، شش بازه زمانی داریم. همچنین چند نقطه مهم در شکل وجود دارد که گفتیم در آن نقاط شتاب ناگهان کم یا زیاد می‌شود. در بازه اول، تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان برای یک حرکت شتاب ثابت با شتاب منفی را داریم که حاصل آن، یک خط قطری با شیب منفی است.

در بازه دوم، نمودار سرعت زمان با یک سرعت ثابت باید رسم شود که به شکل یک خط افقی می‌شود. تا همین‌جا اگر بخواهیم نمودار سرعت زمان را رسم کنیم، هیچ ایده‌ای نداریم که شروع حرکت از کجاست. پس لازم است با استفاده از سرعت اولیه داده شده و معادلات سینماتیک ادامه دهیم. در بازه اول با توجه به نوع حرکت، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$v = v_0 + a t$$

که در آن $$v_0 = 4 frac{m}{s}$$

$$Rightarrow v = 4 – t$$

پس با در نظر گرفتن نقطه $$t=0 , v = 4 frac{m}{s}$$

$$t=8 s Rightarrow v = 4 – t = 4-8 = -4 frac{m}{s}$$

پس سرعت در ثانیه هشتم برابر شد با $$-4 frac{m}{s}$$

$$t = 0 , v = 4 frac{m}{s}$$

$$t = 8 , v = -4 frac{m}{s}$$

حالا می‌رویم سراغ دومین بازه که در آن یک حرکت با سرعت ثابت داریم و این سرعت ثابت باید حفظ شود. مقدار این سرعت همان سرعتی است که جسم در انتهای بازه قبلی به آن رسیده است. پس شکل نمودار سرعت زمان از ثانیه هشت تا دوازده، یک خط افقی و موازی با محور زمان است که به اندازه چهار واحد زیر محور زمان قرار گرفته است:

$$t = 8 , v = -4 frac{m}{s}$$

$$t = 12 , v = -4 frac{m}{s}$$

نقطه شروع سومین بازه زمانی برابر است با:

$$t = 12 , v = -4 frac{m}{s}$$

در ادامه برای اینکه حل مسئله سریع‌تر پیش رود، از روش محاسبه مساحت زیر نمودار شتاب زمان استفاده می‌کنیم که در بخش‌های قبل توضیح داده شد. گفتیم این مساحت معادل است با میزان تغییرات سرعت. برای مثال، مساحت زیر نمودار شتاب زمان در بازه سوم معادل است با مساحت مستطیلی با ابعاد یک در چهار:

$$S=triangle v Rightarrow triangle v = 4times 1 =4 frac{m}{s}$$

با اضافه کردن این مقدار تغییرات از سرعت به سرعت اولیه در این بازه، سرعت نهایی در این بازه برابر می‌‌شود با:

$$v = v_0 + triangle v Rightarrow v = -4 + 4 =0 frac{m}{s}$$

پس دو نقطه زیر نقاط شروع و پایان این بازه هستند و خط متصل کننده آن‌ها در نمودار سرعت زمان، یک خط قطری با شیب مثبت است:

$$t = 12 , v = -4 frac{m}{s}$$

$$t = 16 , v = 0 frac{m}{s}$$

در بازه زمانی بعدی، باز هم حرکت با سرعت ثابت داریم و شتاب صفر است. پس سرعت در این بازه برابر است با سرعتی که در انتهای ثانیه شانزدهم داشتیم، یعنی مقدار صفر:

$$t = 16 , v = 0 frac{m}{s}$$

$$t = 20 , v = 0 frac{m}{s}$$

بازه بعدی مجددا یک حرکت با شتاب است و مقدار شتاب هم برابر است با $$+1 frac{m}{s^2}$$

$$S=triangle v Rightarrow triangle v = 4times 1 =4 frac{m}{s}$$

$$v = v_0 + triangle v Rightarrow v = 0 + 4 =4 frac{m}{s}$$

بنابراین در این بازه سرعت از صفر تا $$4 frac{m}{s}$$

$$t = 20 , v = 0 frac{m}{s}$$

$$t = 24 , v = 4 frac{m}{s}$$

آخرین بازه زمانی هم یک حرکت باس رعت ثابت در سرعت $$4 frac{m}{s}$$

$$t = 24 , v = 4 frac{m}{s}$$

$$t = 30 , v = 4 frac{m}{s}$$

با کنار هم قرار دادن نتایج بالا برای هر بازه، نمودار سرعت زمان نهایی به شکل زیر رسم می‌شود:

مثال ۴

اگر نمودار تغییرات شتاب با زمان در حرکت چتربازی که با سرعت صفر شروع به حرکت کرده است، به شکل زیر باشد، تغییرات سرعت با زمان حرکت این چترباز چگونه است؟

پاسخ

حرکت این چترباز از دو بخش تشکیل شده است. در بازه زمانی صفر تا ثانیه هفتم، حرکت با شتاب ثابت داریم. چون در این بازه نمودار شتاب زمان به‌صورت یک خط افقی و موازی با محور زمان است که چون زیر محور زمان قرار دارد، مشخص است که مقدار شتاب ثابت این بازه منفی و برابر با $$-9.8 frac{m}{s^2}$$

مقدار دقیق شتاب شاید از روی نمودار مشخص نباشد، اما با توجه به داده‌های سوال و حرکت چترباز در آسمان، تنها شتابی که به او وارد می‌شود، شتاب جاذبه زمین است که برابر است با $$-9.8 frac{m}{s^2}$$

$$t = 0 , v = 0 frac{m}{s}$$

برای پیدا کردن سرعت در انتهای بازه، یعنی در ثانیه هفتم، راه‌حل آسان‌تر به‌جای استفاده از معادلات سینماتیک روش مساحت است. اگر مساحت محصور بین نمودار شتاب زمان و محور زمان را در اولین بازه حساب کنیم، داریم:

$$S=triangle v Rightarrow triangle v = 7times -9.8 = -68.6 frac{m}{s}$$

دقت کنید در محاسبه مساحت باید علامت منفی شتاب را درج کنیم. منفی شدن مساحت، به معنای منفی بودن تغییرات سرعت است. یعنی اگر در شروع این بازه سرعت صفر بوده است، سرعت چترباز طی حرکت با شتاب ثابت کم شده و در نهایت به مقدار $$-68.6 frac{m}{s}$$

$$t = 7 s , v = -68.6 frac{m}{s}$$

با اتصال این دو نقطه، نمودار سرعت زمان در این بخش رسم می‌شود. در بازه بعدی یعنی از ثانیه هفتم تا انتهای نمودار شتاب صفر است. صفر شدن شتاب یعنی سرعت تغییر نمی‌کند. پس در ادامه حرکت، سرعت در مقدار ثابت $$v = -68.6 frac{m}{s}$$

مثال ۵

اگر نمودار شتاب زمان حرکت ذره‌ای به‌صورت زیر باشد، شکل نمودار سرعت زمان در هر کدام از بازه‌های تعیین شده روی شکل چگونه است؟

پاسخ

• در بازه A، نمودار شتاب زمان یک خط مستقیم و قطری با شیب مثبت است. پس در این بازه شتاب ذره، متغیر و مثبت است. در حرکت با شتاب متغیر، نمودار سرعت زمان به‌صورت یک سهمی خواهد شد. چون شیب نمودار شتاب زمان مثبت است، نمودار سرعت زمان متناظر با آن، سهمی رو به بالا است.
• در بازه B، نمودار شتاب زمان یک خط افقی و موازی با محور زمان است. پس حرکت ذره در این بازه با شتاب ثابت و مثبت انجام شده است. نمودار سرعت زمان متناظر برای این بازه، یک خط قطری و مستقیم با شیب مثبت است.
• در بازه C، نمودار شتاب زمان قطری اما با شیب منفی است. پس سرعت زمان متناظر آن یک سهمی رو به پایین است.
• در بازه D، شتاب منطبق بر محور زمان و معادل با مقدار صفر است. پس سرعت ثابت و نمودار آن یک خط موازی با محور زمان خواهد بود.

مسیر یادگیری سینماتیک دانشگاهی با فرادرس

اگر بخواهید سینماتیک را در سطوح دانشگاهی و پیشرفته‌تر یاد بگیرید، می‌توانید از دوره‌های آموزشی فرادرس که برای دانشجویان و بر اساس کتاب‌های فیزیک پایه دانشگاهی تهیه شده‌اند، استفاده کنید. این فیلم‌های آموزشی به شرح زیر هستند:

1. فیلم آموزش رایگان بردارها در فیزیک ۱ دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل تست فرادرس

آزمون تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس چند سوال چهار گزینه‌ای با موضوع تبدیل نمودار شتاب زمان به سرعت زمان برای شما تهیه‌ کرده‌ایم تا با پاسخ‌دهی به این سوالات، تسلط خود را در مورد این موضوع بیازمایید. پس از پاسخ به تمام سوالات، با کلیک روی گزینه «دریافت نتیجه آزمون» می‌توانید نمره نهایی خود را مشاهده کنید.