قضیه کار و انرژی

یکی دیگر از مهم‌ترین مباحثی که در آن از فرمول انرژی جنبشی استفاده می‌شود، قضیه کار و انرژی است. برای اینکه قضیه کار و انرژی را بهتر درک کنیم، ابتدا لازم است بدانیم تعریف کار و فرمول آن چیست. اگر نیروی F به جسمی وارد شود و باعث شود این جسم به اندازه d جابجا شود، آن‌گاه کار انجام شده روی جسم توسط این نیرو برابر با W است. فرمول کار به شکل زیر است:

$$W=Fd$$

در این رابطه نیرو بر حسب نیوتن (N) و جابجایی بر حسب متر (m) است. بنابراین واحد کار برابر می‌شود با نیوتن در متر (N.m) که همان ژول است. البته فرمول کاری که در بالا نوشته‌ایم، حالت خاصی از فرمول کار است و با در نظر گرفتن این فرض نوشته شده است که زاویه بین جهت نیرو و جهت جابجایی همواره صفر است.

حالا اگر از قانون دوم نیوتن به‌صورت $$F=ma$$

$$Rightarrow W=mad$$

از طرفی طبق فرمول شتاب، بین شتاب a، سرعت اولیه جسم (u) و سرعت نهایی آن (v) ارتباطی به شکل زیر برقرار است:

$$v^2=u^2+2ad$$

اگر جابجایی d را به یک سمت این فرمول ببریم، خواهیم داشت:

$$d=frac{v^2-u^2}{2a}$$

با قرار دادن d در فرمول کار، رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$W=mad=ma(frac{v^2-u^2}{2a}) =frac{1}{2}m(v^2-u^2)$$

با توجه به اینکه گفتیم سرعت اولیه جسم u است، بنابراین انرژی جنبشی جسم در حالت اول یا K₁ برابر خواهد شد با:

$$K_1= frac{1}{2}mu^2$$

به همین ترتیب، انرژی جنبشی جسم در حالت نهایی با سرعت v می‌شود:

$$K_2= frac{1}{2}mv^2$$

اگر اختلاف این دو مقدار انرژی را حساب کنیم و آن را ΔK بنامیم، خواهیم داشت:

$$triangle K =K_2-K_1= frac{1}{2}mv^2-frac{1}{2}mu^2=frac{1}{2}m(v^2-u^2)$$

حالا اگر طرف دوم فرمول W و ΔK را مقایسه کنیم، می‌بینیم که هر دوی این کمیت‌ها با $$frac{1}{2}m(v^2-u^2)$$

$$triangle K =W$$

بنابراین با استفاده از فرمول انرژی جنبشی توانسیتم قضیه کار و انرژی را ثابت کنیم. همچنین یاد گرفتیم که یکای کار، همان یکای انرژی است. از این رو می‌توانیم بگوییم کار انجام شده روی جسم به نوعی تبدیل به انرژی ذخیره شده در آن جسم خواهد شد. زمانی که توسط اعمال یک نیرو روی جسمی کار انجام شود، آن جسم انرژی به ‌دست می‌آورد.

این انرژی می‌تواند از هر نوعی باشد. همان‌طور که گفتیم، انرژی انواع مختلفی دارد و امکان تبدیل برخی انرژی‌ها به یکدیگر نیز وجود دارد. نکته جالبی که در مورد انرژی جنبشی وجود دارد این است که این انرژی خودش ایجاد نمی‌شود، بلکه حاصل تبدیل نوع دیگری از انرژی است. انجام کار روی جسم، به معنای تغییرات انرژی در جسم است. ممکن است حتی نوعی از انرژی در جسم به نوع دیگر تبدیل شود. به‌طور دقیق‌تر، تا زمانی که نیرو به جسم وارد می‌شود، کار انجام شده روی آن باعث تغییرات انرژی در جسم خواهد شد و کار به انرژی تبدیل می‌شود.

حل مثال فرمول انرژی جنبشی – قضیه کار و انرژی

پس از یادگیری فرمول انرژی جنبشی و حل مثال راجع‌به تبدیل انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی، در این بخش به بررسی مثال‌هایی می‌پردازیم که در آ‌ن‌ها از فرمول انرژی جنبشی در قضیه کار و انرژی استفاده می‌شود.

مثال ۱

فرض کنید به جسم در حال حرکتی نیرویی وارد شده است که کار آن برابر با ‎۱۰۰ J است. چنانچه سرعت این جسم ‎۲ m/s باشد، با در نظر گرفتن جرم ‎۲ kg برای جسم، سرعت جدید آن را پیدا کنید:

پاسخ

طبق توضیحاتی که داده شد، کار انجام شده روی جسم با تغییرات انرژی جنبشی آن برابر است. در این سوال سرعت جسم در حالت اول داده شده است و جرم آن نیز معلوم است. پس می‌توانیم به کمک فرمول انرژی جنبشی، انرژی آن را در حالت اول محاسبه کنیم:

$$K_1= frac{1}{2}mu^2$$

$$Rightarrow K_1= frac{1}{2} times 2times2 times2=4 J$$

حالا طبق فرمول رابطه کار با تغییرات انرژی جنبشی یا قضیه کار و انرژی، انرژی جنبشی جسم در حالت جدید به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$W=triangle K =K_2-K_1$$

$$Rightarrow K_2=W+K_1$$

$$Rightarrow K_2=100+4=104 J$$

با داشتن انرژی جسم در حالت جدید سرعت آن از فرمول انرژی جنبشی به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$Rightarrow v= sqrt{ frac{2K_2}{m}}=sqrt{ frac{2times 104}{2}}=10.19 frac{m}{s}$$

مثال ۲

کار انجام شده روی جسم در حال حرکتی برابر است با ‎-۵۰ J. با توجه به اینکه این جسم دارای جرم ‎۲ kg است، اگر سرعت اولیه آن ‎۱۰ m/s باشد، سرعت نهایی آن را محاسبه کنید:

پاسخ

در این مثال هم مانند مثال اول کار انجام شده داده شده است. با استفاده از فرمول انرژی جنبشی ابتدا انرژی جسم در حالت اولیه محاسبه می‌شود:

$$K_1= frac{1}{2}mu^2$$

$$Rightarrow K_1= frac{1}{2} times 2times10 times10=100 J$$

سپس این انرژی را در فرمول رابطه کار و انرژی قرار می‌دهیم تا انرژی جنبشی نهایی جسم به‌دست آید:

$$W=triangle K =K_2-K_1$$

$$Rightarrow K_2=W+K_1$$

$$Rightarrow K_2=-50+100=50 J$$

حالا می‌توانیم با مجهول در نظر گرفتن سرعت نهایی جسم، آن را طبق رابطه زیر پیدا کنیم:

$$Rightarrow v= sqrt{ frac{2K_2}{m}}=sqrt{ frac{2times 50}{2}}= 7.07 frac{m}{s}$$

مثال ۳

فرض کنید نیروی افقی F به جسم در حالت سکونی وارد شود و جسم از نقطه x=۰ شروع به حرکت کند. پس از طی مسافت ‏‎۸ m در طول سطح افقی بدون اصطکاکی، جسم دارای سرعتی با مقدار ‎۴ m/s می‌شود. با در نظر گرفتن شکل زیر برای نیرو بر حسب x، جرم جسم را محاسبه کنید:

پاسخ

در این سوال مقدار نیرو داده نشده است، اما می‌توانیم از شکل استفاده کنیم. اگر دقت کنید جسم از نقطه x=۰ شروع به حرکت کرده است و مقدار نیرو در تمام جابجایی یکسان و برابر با ‎۳۰ N باقی مانده است. پس با در نظر گرفتن این مقدار برای نیرو و استفاده از فرمول کار داریم:

$$W=Fd$$

$$Rightarrow W=30times 8=240 J$$

حالا با کاربرد قضیه کار و انرژی به شکل $$W=triangle K =K_2-K_1$$

$$v_1=0Rightarrow K_1= frac{1}{2}mv_1^2=0$$

$$W=K_2-0=K_2=240 J$$

$$K_2= frac{1}{2}mv_2^2$$

با توجه به داشتن سرعت در انتهای جابجایی و برابری مقدار انرژی جنبشی در این حالت با کار انجام شده، کافی است مقدار جرم را به یک سمت فرمول بالا ببریم و عددگذاری کنیم:

$$Rightarrow m= frac{2K_2}{v_2^2}=frac{2times240}{4times4}=frac{480}{16}=30 kg$$

تمرین ۱

تعریف تکانه

یکی از مفاهیم مهم دیگر در مبحث حرکت‌شناسی «تکانه یا مومنتوم» (Momentum) است. از آن‌جا که در مسائل زیادی لازم است ارتباط بین فرمول انرژی جنبشی و تکانه را بدانیم، در این بخش ابتدا تکانه را تعریف می‌کنیم. سپس با ارائه مثال سعی می‌کنیم ارتباط فرمول تکانه با فرمول انرژی جنبشی را توضیح دهیم. تکانه یک جسم برابر است با حاصل‌ضرب جرم جسم در سرعت آن.

اگر جسمی به جرم m با سرعت v در حال حرکت باشد، تکانه این جسم با p نشان داده می‌شود که برابر است با:

$$p=mv$$

واحد تکانه برابر است با $$kgfrac{m}{s}$$

اگر به خاطر داشته باشید، در بخش‌های قبل مثالی را بررسی کردیم که در آن جسم در حال حرکتی با برخورد به جسم ساکن دیگر، تمام انرژی جنبشی خود را به این جسم می‌داد. در نتیجه پس از برخورد، جسم اول ساکن می‌شد و جسم دوم با سرعتی که به‌دست می‌آورد، حرکت می‌کرد. در آن مثال، قانون پایستگی انرژی رعایت می‌شد که شکل دیگر آن قانون پایستگی تکانه است.

حل مثال فرمول انرژی جنبشی – تکانه

در بخش‌های قبل یاد گرفتیم فرمول انرژی جنبشی چیست و چگونه در مسائل مربوط به مباحث پایستگی انرژی یا قضیه کار و انرژی از این فرمول استفاده می‌شود. در ابتدای این بخش با توجه به تعریفی که برای تکانه داشتیم، می‌توانیم فرمول انرژی جنبشی را بر حسب تکانه به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$p=mv Rightarrow v=frac{p}{m}$$

$$K= frac{1}{2}mv^2 Rightarrow K=frac{1}{2}m(frac{p}{m})^2=frac{p^2}{2m}$$

بنابراین شکل دیگر فرمول انرژی جنبشی برحسب تکانه برابر است با . در ادامه با حل چند مثال، ارتباط بین فرمول انرژی جنبشی و تکانه خطی را بهتر درک خواهید کرد.

مثال ۱

اگر ماشینی با جرم ‎۲۰۰۰ kg در حال حرکت به سمت شمال با سرعت ثابتی با مقدار ‎۲۵ m/s باشد، تکانه این ماشین چقدر است؟ انرژی جنبشی آن را نیز محاسبه کنید.

پاسخ 

با نوشتن فرمول تکانه و عددگذاری به‌جای جرم و سرعت، خواهیم داشت:

$$p=mv$$

$$Rightarrow p=mv=2000times25=50000 kg.m/s$$

در سوال بعدی یا می‌توانیم از فرمول انرژی جنبشی اصلی استفاده کنیم و یا با فرمول بیان شده در ابتدای این بخش که بر حسب تکانه یا p بود، مقدار انرژی جنبشی را پیدا کنیم. ما هر دو فرمول را بکار می‌بریم تا ببینید که نتیجه یکسان خواهد شد. ابتدا با فرمول جدید K را محاسبه می‌کنیم:

$$K= frac{p^2}{2m}$$

$$Rightarrow K= frac{p^2}{2m}=frac{50000times50000}{2times2000}=frac{25times10^8}{4times10^3}=6.25times10^5 J=625 kJ$$

حالا فرمول انرژی جنبشی اصلی را امتحان می‌کنیم که بر حسب سرعت است:

$$K= frac{1}{2}mv^2$$

$$Rightarrow K= frac{1}{2}times 2000times25times25=625000 J=625 kJ$$

بنابراین انرژی جنبشی با استفاده از هر دو فرمول مقدار یکسانی به‌دست آمد.

مثال ۲

اگر تکانه توپی به جرم ‎۳ kg برابر با ‎۳۰ kg.m/s باشد، انرژی جنبشی این توپ چقدر است؟

پاسخ

جرم و تکانه را داریم، با کمک گرفتن از فرمول انرژی جنبشی بر حسب p خواهیم داشت:

$$K= frac{p^2}{2m}$$

$$Rightarrow K= frac{p^2}{2m}=frac{30times30}{2times3}=frac{900}{6}=150 J$$

یادگیری حرکت‌شناسی با فرادرس

پس از اینکه نحوه استفاده از فرمول انرژی را خوب یاد گرفتید، در صورت تمایل با مشاهده فیلم‌های آموزشی زیر از مجموعه فرادرس می‌توانید به مبحث حرکت‌شناسی یا سینماتیک کاملا مسلط شوید. به‌ویژه تماشای فیلم آموزشی فیزیک پایه ۱ فرادرس، که در آن مباحثی مانند حرکت در دو و سه بعد، نیروهای پایستار، تکانه، برخورد و انرژی جنبشی در حرکت دورانی آموزش داده شده است و به تکمیل یادگیری شما بسیار کمک می‌کند. سایر آموزش‌ها بیشتر جنبه حل تمرین، مرور و تمرین در قالب تست هستند که اگر تصمیم به شرکت در آزمون‌های مختلف دارید، برای شما مفید خواهند بود.

1. فیلم آموزش رایگان بردارها در فیزیک ۱ دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش رایگان کار و انرژی در فیزیک پایه ۱ فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل مساله فرادرس
6. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل تست فرادرس

آزمون فرمول انرژی جنبشی

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس، پس از اینکه با کاربردهای مختلف فرمول انرژی جنبشی آشنا شدید، اگر تمایل دارید میزان یادگیری خود از مفهوم این فرمول و مهارت‌تان در حل سوالات مرتبط با آن را محک بزنید، می‌توانید به سوالات آزمون زیر پاسخ دهید. پس از پاسخ دهی، با کلیک روی بخش «دریافت نتیجه آزمون» نمره نهایی شما نشان داده می‌شود.