در ادامه این مطلب، علاوه بر ضرب عدد در رادیکال با فرجه $$۲$$، ضرب عدد در رادیکال با فرجه $$۳$$ و بالاتر را به همراه حل مثال آموزش می‌دهیم. در انتهای آموزش نیز میزان یادگیری شما را با حل چند تمرین در قالب یک آزمون کوتاه می‌سنجیم.

چگونه یک عدد را در رادیکال ضرب کنیم؟

به منظور ضرب یک عدد در رادیکال، باید آن عدد را به توان $$۲$$ برسانیم و به زیر رادیکال ببریم. به این ترتیب و با ضرب مربع عدد در عدد زیر رادیکال، حاصل‌ضرب مورد نظر را به دست می‌آوریم. به طور کلی، مراحل ضرب عدد در رادیکال عبارت هستند از:

1. به توان $$۲$$ رساندن عدد غیررادیکالی
2. انتقال توان $$۲$$ عدد غیررادیکالی و علامت ضرب به زیر رادیکال
3. به دست آوردن حاصل ضرب زیر رادیکال

به عنوان مثال، عدد $$۷$$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم این عدد را در یک عدد رادیکالی مانند $$sqrt { ۵ }$$

$$۷ sqrt { ۵ }$$

به این منظور تعیین حاصل عبارت بالا، ابتدا عدد غیررادیکالی (یعنی $$۷$$) را به توان $$۲$$ می‌رسانیم:

$$۷ ^ ۲$$

دلیل این کار را در بخش‌های بعدی توضیح می‌دهیم. در مرحله بعد، عدد توان‌دار بالا را به همراه علامت ضرب به زیر رادیکال می‌بریم:

$$۷ sqrt { ۵ } = sqrt { ۷ ^ ۲ times ۵ }$$

در مرحله آخر، عملیات ضرب زیر رادیکال را انجام می‌دهیم:

$$۷ ^ ۲ = ۴۹$$

$$۷ sqrt { ۵ } = sqrt { ۴۹ times ۵ }$$

$$۷ sqrt { ۵ } = sqrt { ۲۴۵ }$$

به این ترتیب، حاصل‌ضرب عدد $$۷$$ در عدد رادیکالی $$sqrt { ۵ }$$

مثال ۱: محاسبه ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۲

فرآیند حل مثال‌های این بخش را به خاطر بسپارید. عکس این روند برای تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال استفاده می‌شود. در مطلب «رادیکال چیست؟ — قوانین رادیکال به زبان ساده»، راجع به ساده کردن عبارت‌های رادیکال یا جذر صحبت کردیم. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، یکی از روش‌های ساده‌سازی اعداد رادیکالی را آموزش می‌دهیم.

چگونه ضرب عدد در رایکال را به خوبی یاد بگیریم؟

مبحث رادیکال و محاسبات مربوط به آن، از مهم‌ترین مباحث ریاضی ارائه شده در پایه‌های مختلف دوره متوسطه اول است. دانش‌آموزان پایه‌های هفتم، هشتم و نهم، با حل مسائل مرتبط با این مبحث آشنا می‌شوند و آن را در حل مسائل پایه‌های بالاتر مورد استفاده قرار می‌دهند. به دلیل اهمیت بالای محاسبات رادیکال، بسیاری از دانش‌آموزان به دنبال یک منبع یادگیری خوب هستند که با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مهارت و آمادگی آن‌ها برای حل سوالات امتحانی را افزایش دهد. فرادرس،‌ چندین فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که تمام فصل‌های کتاب‌های ریاضی دوره متوسطه اول را پوشش می‌دهند و شما را در یادگیری سریع و ساده مبحث مورد نظرتان کمک می‌کنند. برای مشاهده این فیلم‌های آموزشی، بر روی لینک‌های زیر کلیک کنید:

تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال

برای یادگیری تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال، عدد رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$$sqrt { ۲۰ }$$

به نظر شما آیا امکان نمایش این عدد رادیکالی به شکل دیگر وجود دارد. پیش از پاسخ به این سوال، به یک سوال دیگر فکر کنید. عدد زیر رادیکال (یعنی عدد $$۲۰$$)، از ضرب کدامیک از جفت‌عددها به دست می‌آید. پاسخ این سوال را به صورت حاصل‌ضرب‌های زیر نمایش می‌دهیم:

$$۱ times ۲۰ = ۲۰$$

$$۲ times ۱۰ = ۲۰$$

$$۴ times ۵ = ۲۰$$

اکنون، به دنبال ضربی بگردید که یکی از اعداد آن، مربع کامل باشد. منظور از مربع کامل، عددی است که بتوان آن را به صورت ضرب یک عدد در خودش نمایش داد. از میان اعداد بالا، فقط عدد $$۴$$ این ویژگی را دارد. این عدد را می‌توان به صورت ضرب عدد $$۲$$ در خودش نوشت:

$$۴ = ۲ times ۲$$

یا

$$۴ = ۲ ^ ۲$$

اکنون، ضرب حاوی مربع کامل را به جای $$۲۰$$ در زیر رادیکال می‌نویسیم:

$$sqrt { ۲۰ } = sqrt { ۴ times ۵ }$$

بر اساس قوانین رادیکال‌ها، رادیکال ضرب دو عدد با ضرب رادیکال هر یک از این اعداد در هم برابر است. به عبارت دیگر، داریم:

$$sqrt { ۴ times ۵ } = sqrt { ۴ } sqrt { ۵ }$$

در مراحل قبل دیدیم که $$۴ = ۲ ^ ۲$$

$$sqrt { ۴ } sqrt { ۵ } = sqrt { ۲ ^ ۲ } sqrt { ۵ }$$

در نتیجه:

$$sqrt { ۲ ^ ۲ } sqrt { ۵ } = ۲ sqrt { ۵ }$$

عدد $$۴$$ یا $$۲ ^ ۲$$ ، مربع کامل است و به صورت عدد $$۲$$ از رادیکال خارج می‌شود:

$$sqrt { ۲۰ } = ۲ sqrt { ۵ }$$

به این ترتیب، توانسیم طی مراحل بالا، عدد رادیکالی $$sqrt { ۲۰ }$$

مثال ۲: تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۲

ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳ و بالاتر

ضرب عدد در رادیکال با فرجه $$۳$$ و بالاتر، تفاوت چندانی با ضرب عدد در رادیکال با فرجه $$۲$$ ندارد. برای این کار، باید مراحل زیر را انجام داد:

1. تعیین فرجه رادیکال
2. نوشتن فرجه رادیکال به عنوان توان عدد غیررادیکالی
3. انتقال عدد غیررادیکالی به توان فرجه رادیکال به زیر رادیکال
4. محاسبه ضرب زیر رادیکال

به عنوان مثال، ضرب عدد $$۲$$ در $$sqrt [ ۳ ] { ۱۷ }$$

$$۲ sqrt [ ۳ ] { ۱۷ }$$

فرجه رادیکال برابر با $$۳$$ است. بنابراین، برای انتقال عدد غیررادیکالی به زیر رادیکال، آن را به توان $$۳$$ می‌رسانیم. با این کار، خواهیم داشت:

$$۲ sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ times ۱۷ }$$

اکنون، محاسبات زیر رادیکال را انجام می‌دهیم:

$$۲ ^ ۳ = ۸$$

$$۲ sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = sqrt [ ۳ ] { ۸ times ۱۷ }$$

$$۲ sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۳۶ }$$

توجه داشته باشید که برای تبدیل رادیکال با فرجه $$۳$$ به بالا به ضرب عدد در رادیکال، همین روند را معکوس می‌کنیم. به عبارت دیگر، ابتدا به دنبال دو عددی می‌گردیم که ضرب آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال شود. یکی از این اعداد باید به گونه‌ای باشد که بتوان آن را از درون رادیکال خارج کرد. در مثال بعدی، این فرآیند را به طور کامل آموزش می‌دهیم.

مثال ۳: تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳

فرمول ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال

اگر روند ضرب عدد در رادیکال و تبدیل آن را به خوبی یاد گرفته باشید، نیازی به فرمول ندارید. با این وجود، فرمول زیر می‌تواند شما را در ابتدای راه برای حل مثال‌ها و تمرین‌های مربوط به این موضوع کمک کند:

$$a sqrt [ n ]{ b } = sqrt [ n ] { a ^ n b }$$

• $$a$$: عدد غیررادیکالی
• $$n$$: فرجه رادیکال
• $$b$$: عدد زیر رادیکال

روش استفاده از این فرمول را با حل یک مثال آموزش می‌دهیم.

مثال ۴: محاسبه ضرب عدد در رادیکال به توان ۱۰

در بخش‌های قبلی این مطلب از مجله فرادرس، اصول ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال را برای فرجه‌های مختلف یاد گرفتید. در ادامه، یادگیری شما را با حل چند تمرین محک خواهیم زد.

ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی

ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی با توجه به قوانین رادیکال‌ها و اعداد توان‌دار صورت می‌گیرد. در این محاسبات، فرجه رادیکال و توان عدد زیر رادیکال از اهمیت بالایی برخوردار است. ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی را می‌توان در فرمول‌های زیر خلاصه کرد:

$$sqrt [ n ] { x } cdot sqrt [ n ] { y } = sqrt [ n ] { x y }$$

$$a sqrt [ n ] { x } cdot b sqrt [ n ] { y } = a b sqrt [ n ] { x y }$$

$$sqrt [ n ] { x } cdot sqrt [ m ] { x } = sqrt [ n times m ] { x ^ { n + m } }$$

$$a sqrt [ n ] { x } cdot b sqrt [ m ] { x } = a b sqrt [ n times m ] { x ^ { n + m } }$$

برای آشنایی بیشتر با نحوه استفاده از این فرمول‌ها، یک مثال را حل می‌کنیم.

مثال ۵: محاسبه ضرب رادیکال در رادیکال

آزمون سنجش یادگیری ضرب عدد در رادیکال

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث ضرب عدد در رادیکال را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.