۱۷ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۲۶ اردیبهشت ۱۴۰۳

زمان مطالعه: ۸ دقیقه

ضرب رادیکال در عدد صحیح با توجه به فرجه رادیکال انجام می‌شود. به عنوان مثال، برای ضرب رادیکال‌های معمولی در یک عدد صحیح، مقدار عدد صحیح را به توان $$ ۲ $$ می‌رسانیم و آن را در عدد زیر رادیکال ضرب می‌کنیم. به این ترتیب، یک عدد رادیکالی به دست می‌آید. برای تبدیل رادیکال به ضرب رادیکال در عدد صحیح، معکوس این فرآیند را انجام می‌دهیم. مباحث مربوط به رادیکال و محاسبات آن، در پایه‌های هفتم، هشتم و نهم دوره اول متوسطه آموزش داده می‌شوند. البته این مباحث در مقاطع بالاتر نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند. به دلیل اهمیت بالای این موضوع، در این مطلب از مجله فرادرس، ضرب رادیکال در عدد صحیح را به طور کامل و با ارائه مثال‌های متنوع آموزش خواهیم داد.

در این مطلب، علاوه بر ضرب رادیکال با فرجه $$ ۲ $$ در عدد صحیح، روش و فرمول محاسبه ضرب رادیکال با فرجه $$ ۳ $$ و بالاتر را نیز توضیح خواهیم داد. در انتهای آموزش، میزان یادگیری شما را با حل چندین تمرین و در قالب یک آزمون کوتاه خواهیم سنجید.

چگونه رادیکال را در عدد صحیح ضرب کنیم؟

برای ضرب رادیکال در عدد صحیح، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

• عدد صحیح ضرب شده در رایکال را به توان $$ ۲ $$ می‌رسانیم.
• عدد صحیح را حذف می‌کنیم و توان $$ ۲ $$ آن را با علامت ضرب، زیر رادیکال می‌بریم.
• حاصل‌ضرب عدد صحیح به توان $$ ۲ $$ در عدد زیر رادیکال را به دست می‌آوریم و آن را زیر رادیکال می‌نویسیم.

توجه داشته باشید که این مراحل، برای رادیکال با فرجه $$ ۲ $$ است. به عنوان مثال، عدد رادیکالی $$ sqrt { ۳ } $$ و عدد صحیح $$ ۳ $$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم حاصل‌ضرب این دو عدد را به دست بیاوریم. ضرب $$ sqrt { ۳ } $$در $$ ۳ $$، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ sqrt { ۳ } times ۳ $$

یا

$$ ۳ sqrt { ۳ } $$

طبقه مراحل گفته شده در ابتدای این بخش، برای به دست آوردن حاصل $$ ۳ sqrt { ۳ } $$، ابتدا بخش صحیح آن (یعنی $$ ۳ $$) را به توان $$ ۲ $$ می‌رسانیم:

$$ ۳ ^ ۲ $$

سپس، عدد صحیح را از ضرب حذف می‌کنیم و عبارت بالا را با علامت ضرب به زیر رادیکال می‌بریم:

$$ ۳ sqrt { ۳ } = sqrt { ۳ ^ ۲ times ۳ } $$

در نهایت، حاصلِ ضرب زیر رادیکال را به دست می‌آوریم:

$$ ۳ ^ ۲ = ۹ $$

$$ ۳ sqrt { ۳ } = sqrt { ۹ times ۳ } $$

$$ ۳ sqrt { ۳ } = sqrt { ۲۷ } $$

اصول محاسبات بالا، به قوانین اعداد رادیکالی، ضرب رادیکال‌ها و جذر مربوط می‌شود. این اصول را به طور خلاصه و با عبارت‌های جبری زیر توضیح می‌دهیم:

$$ sqrt { ۲۷ } = sqrt { ۹ times ۳ } $$

$$ sqrt { ۹ times ۳ } = sqrt { ۹ } sqrt { ۳ } $$

$$ sqrt { ۹ } sqrt { ۳ } = sqrt { ۳ ^ ۲ } sqrt { ۳ } $$

$$ sqrt { ۳ ^ ۲ } sqrt { ۳ } = ۳ sqrt { ۳ } $$

$$ sqrt { ۲۷ } = ۳ sqrt { ۳ } $$

برای آشنایی بیشتر با نحوه انجام مراحل ضرب رادیکال در عدد صحیح، دو مثال دیگر را برایتان حل می‌کنیم.

مثال ۱: حاصلضرب عدد صحیح در رادیکال

مثال ۲: محاسبه ضرب رادیکال در عدد صحیح

در مطلب‌های «فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال» و «فرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال»، مهم‌ترین نکات و فرمول‌های ریاضی دوره اول متوسطه را مرور کردیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، یکی از مباحث مهم این مطالب، یعنی ضرب رادیکال در عدد صحیح را برای رادیکال با فرجه‌های $$ ۳ $$ و بالاتر را آموزش می‌دهیم.

چگونه ضرب رادیکال در عدد صحیح را به خوبی یاد بگیریم؟

برای یادگیری خوب و اصولی ضرب اعداد رادیکالی در اعداد صحیح، باید به مفاهیم پایه ریاضی نظیر مفهوم رادیکال تسلط داشته باشید. با مطالعه کتاب‌های درسی و حل مثال‌ها و تمرین‌های متعدد، قطعا به این هدف خواهید رسید. دانش‌آموزان دوره متوسطه اول، در پایه هفتم با مفهوم رادیکال آشنا می‌شوند و در پایه‌های بعدی، نحوه انجام محاسبات دارای اعداد و معادلات رادیکالی را فرا می‌گیرند. برای اغلب دانش‌آموزان، توضیحات، مثال‌ها و تمرین‌های کتاب‌های درسی کافی نیستند. به همین دلیل، بسیاری از آن‌ها ترجیح می‌دهند با استفاده از منابع کمک آموزشی، مطالب مورد نظر خود را بهتر یاد بگیرند. فرادرس، فیلم‌های آموزشی کاملی را در رابطه با دروس کتاب‌های ریاضی پایه‌های مختلف تهیه کرده است. این فیلم‌های آموزشی می‌توانند شما را در یادگیری سریع و ساده مبحث مورد نظرتان کمک کنند. برای مشاهده فیلم‌های آموزش ریاضی فرادرس، بر روی لینک‌های زیر کلیک کنید:

ضرب رادیکال با فرجه ۳ به بالا در عدد صحیح

روند ضرب اعداد رادیکالی با فرجه $$ ۳ $$ به بالا، تفاوت زیادی با روش معرفی شده در بخش‌های قبل ندارد. برای انجام این محاسبات، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

• فرجه رادیکال را مشخص می‌کنیم.
• عدد صحیح ضرب شده در رادیکال را به توان فرجه رادیکال می‌رسانیم.
• عدد صحیح را حذف می‌کنیم و عدد به دست آمده از مرحله قبل را با علامت ضرب، زیر رادیکال می‌بریم.
• حاصلِ ضربِ زیر رادیکال را در همانجا می‌نویسیم.

در ادامه، از مراحل بالا برای حل یک مثال استفاده می‌کنیم.

مثال ۳: محاسبه ضرب رادیکال با فرجه ۳ در عدد صحیح

فرمول ضرب رادیکال در عدد صحیح

فرمول ضرب عدد رادیکالی در عدد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
a sqrt [ n ]{ b } = sqrt [ n ] { a ^ n b }
$$

• $$ a $$: عدد صحیح
• $$ n $$: فرجه رادیکال
• $$ b $$: عدد زیر رادیکال

رابطه بالا، یکی از قوانین رادیکال‌ها است.

مثال ۴: محاسبه ضرب عدد صحیح در رادیکال با فرجه ۵

حالت‌های مختلفی برای ضرب رادیکال در اعداد وجود دارد. در مطلب «ضرب رادیکال به زبان ساده»، نحوه محاسبه ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی را آموزش دادیم. در انتهای این مقاله، به آموزش سریع ضرب رادیکال در کسر می‌پردازیم.

آزمون سنجش یادگیری ضرب رادیکال در عدد صحیح

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث ضرب رادیکال در عدد صحیح را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

کدامیک از گزینه‌های زیر، حاصل‌ضرب $$ sqrt { ۵۰ } $$ در $$ ۲ $$ را نمایش می‌دهد.

مشاهده جواب

$$ sqrt { ۵۰} times ۲ $$، ضرب یک عدد رادیکالی در یک عدد صحیح را نمایش می‌دهد. برای پیدا کردن حاصل این ضرب، آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ ۲ sqrt { ۵۰ } $$

فرجه رادیکال برابر با $$ ۲ $$ است. بنابراین، عدد صحیح را به توان $$ ۲ $$ می‌رسانیم و آن را با علامت ضرب به درون رادیکال انتقال می‌دهیم:

$$ ۲ sqrt { ۵۰ } = sqrt { ۲ ^ ۲ times ۵۰ } $$

به این ترتیب، داریم:

$$ ۲ ^ ۲ = ۴ $$

$$ ۲ sqrt { ۵۰ } = sqrt { ۴ times ۵۰ } $$

$$ ۲ sqrt { ۵۰ } = sqrt { ۲۰۰ } $$

در نتیجه، حاصل‌ضرب $$ sqrt { ۵۰ } $$ در $$ ۲ $$ برابر با $$ sqrt { ۲۰۰ } $$ است.

 

کدامیک از عبارت‌های زیر با $$ ۵ sqrt { ۴۵ } $$ برابر است؟

$$ ۱۵ sqrt { ۱۰ } $$

مشاهده جواب

برای تعیین عبارت برابر با $$ ۵ sqrt { ۴۵ } $$، ابتدا عدد صحیح $$ ۵ $$ را به گونه‌ای در عدد رادیکالی $$ sqrt { ۴۵ } $$ ضرب می‌کنیم که حاصل آن به صورت یک عدد رادیکالی باشد. به این منظور، ابتدا فرجه رادیکال را مورد بررسی قرار می‌دهیم. این فرجه برابر با $$ ۲ $$ است. بنابراین، برای انتقال $$ ۵ $$ به زیر رادیکال، باید آن را به توان $$ ۲ $$ برسانیم:

$$ ۵ sqrt { ۴۵ } = sqrt { ۵ ^ ۲ times ۴۵ } $$

به این ترتیب، داریم:

$$ ۵ sqrt { ۴۵ } = sqrt { ۲۵ times ۴۵ } $$

$$ ۵ sqrt { ۴۵ } = sqrt { ۱۱۲۵ } $$

اکنون، دو روش اصلی برای پیدا کردن گزینه صحیح داریم. اولین روش، انجام فرآیند بالا برای تمام گزینه‌ها است. با انجام این کار، خواهیم داشت:

$$ ۱۵ sqrt { ۱۰ } = sqrt { ۲۲۵ times ۱۰ } = sqrt { ۲۲۵۰ } $$

$$ ۲۵ sqrt { ۲ } = sqrt { ۶۲۵ times ۲ } = sqrt { ۱۲۵۰ } $$

$$ ۱۵ sqrt { ۵ } = sqrt { ۲۲۵ times ۵ } = sqrt { ۱۱۲۵ } $$

$$ ۷ sqrt { ۱۵ } = sqrt { ۴۹ times ۱۵ } = sqrt { ۷۳۵ } $$

بر اساس محاسبات بالا، $$ ۱۵ sqrt { ۵ } $$ برابر با $$ ۵ sqrt { ۴۵ } $$ است؛ زیرا حاصل هر دوی آن‌ها برابر با $$ sqrt { ۱۱۲۵ } $$ می‌شود. روش دومی که باری حل این مسئله داشتیم، ساده کردن عبارت زیر رادیکال در $$ sqrt { ۱۱۲۵ } $$ به مضرب مربع کامل بود. به عنوان مثال، عدد $$ ۱۱۲۵ $$ را می‌توانیم به صورت حاصل‌ضرب عدد $$ ۲۲۵ $$ در عدد $$ ۵ $$ بنویسیم:

$$ ۱۱۲۵ = ۲۲۵ times ۵ $$

این ضرب را به زیر رادیکال می‌بریم:

$$ sqrt { ۱۱۲۵ } = sqrt { ۲۲۵ times ۵ } $$

عدد $$ ۲۲۵ $$، مربع کامل عدد $$ ۱۵ $$ است. به عبارت دیگر:

$$ ۲۲۵ = ۱۵ ^ ۲ $$

به این ترتیب، داریم:

$$ sqrt { ۱۱۲۵ } = sqrt { ۱۵ ^ ۲ times ۵ } $$

اکنون می‌توانیم عبارت دارای توان $$ ۲ $$ را به پشت رادیکال ببریم توان آن را حذف کنیم:

$$ sqrt { ۱۱۲۵ } = ۱۵ sqrt { ۵ } $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با انجام این مراحل نیز به گزینه صحیح رسیدیم.

 

فرم رادیکالی عبارت $$ frac { ۶ sqrt { ۵ } }{ ۵ sqrt { ۲ }} $$، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$$ sqrt { frac { ۳ } { ۵ } } $$

$$ sqrt { frac { ۱ } { ۲ } } $$

$$ sqrt { frac { ۱۸ } { ۵ } } $$

مشاهده جواب

برای ساده‌سازی و به دست آوردن فرم رادیکالی عبارت $$ frac { ۶ sqrt { ۵ } }{ ۵ sqrt { ۲ }} $$، ضرب رادیکال در عدد صحیح را برای صورت و مخرج انجام می‌دهیم:

$$ ۶ sqrt { ۵ } = sqrt { ۳۶ times ۵ } = sqrt { ۱۸۰ } $$

$$ ۵ sqrt { ۲ } = sqrt { ۲۵ times ۲ } = sqrt { ۵۰ } $$

اکنون می‌توانیم بنویسیم:

$$ frac { ۶ sqrt { ۵ } }{ ۵ sqrt { ۲ }} = frac { sqrt { ۱۸۰ } } { sqrt { ۵۰ } } $$

بر اساس قوانین رادیکال‌ها، تقسیم دو رادیکال با رادیکال تقسیم عدد زیر آن‌ها برابر است. بنابراین، داریم:

$$ frac { sqrt { ۱۸۰ } } { sqrt { ۵۰ } } = sqrt { frac { ۱۸۰ } { ۵۰ } } $$

با ساده‌سازی تقسیم زیر رادیکال، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$ sqrt { frac { ۱۸۰ } { ۵۰ } } = sqrt { frac { ۱۸ } { ۵ } } $$

در نتیجه:

$$ frac { ۶ sqrt { ۵ } }{ ۵ sqrt { ۲ }} = sqrt { frac { ۱۸ } { ۵ } } $$

 

حاصل‌ضرب $$ sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } $$ در $$ ۱۰ $$ چیست؟

$$ sqrt { ۲۵۰۰۰ } $$

$$ sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰۰۰ } $$

$$ sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰۰ } $$

مشاهده جواب

عبارت $$ sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } $$، یک عدد رادیکالی با فرجه $$ ۳ $$ است. بنابراین، اگر بخواهیم $$ ۱۰ $$ را به درون رادیکال ببریم و آن را در عدد زیر رادیکال ضرب کنیم، باید این عدد صحیح را به توان $$ ۳ $$ برسانیم. به این ترتیب، داریم:

$$ ۱۰ sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۰ ^ ۳ times ۲۵ } $$

در نتیجه:

$$ ۱۰ sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = sqrt [ ۳ ] { ۱۰۰۰ times ۲۵ } $$

$$ ۱۰ sqrt [ ۳ ] { ۲۵ } = sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰۰۰ } $$

نکته مهم در حل این تمرین، توجه به فرجه رادیکال و توان عدد صحیح است.

 

حاصل عبارت $$ ۴ sqrt [ ۴ ] { ۴ } $$ در کدامیک از گزینه‌های زیر آورده شده است؟

$$ sqrt [ ۴ ] { ۴ ^ ۵ } $$

$$ sqrt [ ۴ ] { ۱۰۲۴ } $$

گزینه‌های $$ ۲ $$ و $$ ۳ $$

مشاهده جواب

برای به دست آوردن حاصل عبارت $$ ۴ sqrt [ ۴ ] { ۴ } $$، از فرمول زیر کمک می‌گیریم:

$$
a sqrt [ n ]{ b } = sqrt [ n ] { a ^ n b }
$$

• $$ a $$: عدد صحیح برابر با $$ ۴ $$
• $$ n $$: فرجه رادیکال برابر با $$ ۴ $$
• $$ b $$: عدد زیر رادیکال برابر با $$ ۴ $$

مقادیر معلوم را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

$$
۴ sqrt [ ۴ ]{ ۴ } = sqrt [ ۴ ] { ۴ ^ ۴ times ۴ }
$$

$$
۴ sqrt [ ۴ ]{ ۴ } = sqrt [ ۴ ] { ۴ ^ ۵ }
$$

$$
۴ sqrt [ ۴ ]{ ۴ } = sqrt [ ۴ ] { ۱۰۲۴ }
$$

در نتیجه، عبارت $$ ۴ sqrt [ ۴ ] { ۴ } $$ برابر با $$ sqrt [ ۴ ] { ۴ ^ ۵ } $$ و $$ sqrt [ ۴ ] { ۱۰۲۴ } $$ است.

 

ضرب رادیکال در کسر

در بخش‌های قبلی، ضرب رادیکال در عدد صحیح را با فرجه‌های مختلف یاد گرفتید. در این بخش، مراحل ضرب رادیکال در عدد کسری را آموزش می‌دهیم. برای این کار، باید با تقسیم اعداد توان دار با توان‌های برابر آشنا باشید.

بر اساس قوانین اعداد توان‌دار، اگر یک عدد کسری را به توان برسانیم، صورت و مخرج آن کسر به توان می‌رسند. به عبارت دیگر، داریم:

$$ left ( frac { a } { b } ^ n right ) = frac { a ^ n } { b ^ n } $$

با توجه به رابطه بالا و نکات ارائه شده در بخش‌های قبلی می‌توان ضرب رادیکال در کسر را به دست بیاوریم.

مثال ۵: محاسبه ضرب عدد کسری در رادیکال با فرجه ۳

عبارت $$ frac { ۳ }{ ۲ } sqrt [ ۲ ] { ۴ } $$ را به صورت یک عدد رادیکالی بنویسید.

برای ساده‌سازی عبارت $$ frac { ۳ }{ ۳ } sqrt [ ۲ ] { ۴ } $$ و نمایش آن به صورت یک عدد رادیکالی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$
a sqrt [ n ]{ b } = sqrt [ n ] { a ^ n b }
$$

• $$ a $$: عدد ضرب شده در رادیکال برابر با $$ frac { ۳ }{ ۲ } sqrt [ ۳ ] { ۴ } $$
• $$ n $$: فرجه رادیکال برابر با $$ ۳ $$
• $$ b $$: عدد زیر رادیکال برابر با $$ ۴ $$

مقادیر معلوم را در فرمول قرار می‌دهیم:

$$ frac { ۳ }{ ۲ } sqrt [ ۳ ] { ۴ } = sqrt [ ۳ ] {left ( frac { ۳ }{ ۲ }right ) ^ ۳ times ۴ } $$

بر اساس قانون به توان رساندن اعداد کسری، داریم:

$$
left ( frac { ۳ }{ ۲ }right ) ^ ۳ = frac { ۳ ^ ۳ } { ۲ ^ ۳ }
$$

$$
left ( frac { ۳ }{ ۲ }right ) ^ ۳ = frac { ۲۷ } { ۸ }
$$

در نتیجه:

$$
frac { ۳ }{ ۲ } sqrt [ ۳ ] { ۴ } = sqrt [ ۳ ] { frac { ۲۷ }{ ۸ } times ۴ }
$$

$$
frac { ۳ }{ ۲ } sqrt [ ۳ ] { ۴ } = sqrt [ ۳ ] { frac { ۲۷ }{ ۲ } }
$$