حرکت اجسام در فیزیک و توصیف آن از اهمیت بالایی برخوردار است. حرکت جسمی مشخص در فیزیک توسط کمیت‌هایی مانند تندی، سرعت، جابجایی و شتاب، توصیف می‌شود. تندی و سرعت دو کمیتی هستند که در بیشتر مواقع به جای یکدیگر استفاده می‌شوند. اما باید بدانیم این دو کمیت با یکدیگر تفاوت دارند. تندی کمیتی نرده‌ای است که تنها اندازه دارد و از تقسیم مسافت بر مدت زمان لازم برای طی کردن آن مسافت به‌دست می‌آید. در مقابل، سرعت کمیتی برداری است و از تقسیم جابجایی بر مدت زمان لازم برای جابجایی محاسبه می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس با تندی متوسط آشنا می‌شویم و به پرسش تندی متوسط چیست به زبان ساده پاسخ می‌دهیم.

پس از تعریف تندی متوسط، فرمول‌ محاسبه تندی متوسط را بیان و چگونگی محاسبه این کمیت را با حل مثال‌های مختلف بررسی می‌کنیم. در ادامه، تفاوت تندی متوسط و سرعت متوسط را توضیح می‌دهیم. در پایان، تندی متوسط در حرکت بر خط راست و حرکت دایره‌ای و چگونگی محاسبه آن در هر حرکت را بررسی می‌کنیم.

تندی متوسط چیست؟

به نسبت «مسافت» (Distance | D) طی شده توسط جسم به مدت زمان لازم برای طی کردن آن مسافت، «تندی متوسط» (Average Speed | $$overline { S } $$) گفته می‌شود. کلمه متوسط در تندی متوسط، بسیار شبیه محاسبه معدل در دوران مدرسه است.

برای درک مفهوم این کمیت، تندی متوسط اتومبیل زردرنگ نشان داده شده در تصویر زیر را به‌دست آوریم.

راننده این اتومبیل برای خرید تعدادی وسایل از خانه خارج می‌شود و مسیرهای زیر را به ترتیب طی می‌کند:

• او ابتدا برای خرید مقداری میوه، پنج کیلومتر به سمت شرق رانندگی می‌کند.
• سپس، برای خرید نان، یک کیلومتر به سمت شمال رانندگی می‌کند.
• در ادامه، برای خرید وسایل آشپزخانه به فروشگاهی در ۹ کیلومتری نانوایی می‌رود. فروشگاه در جنوب‌شرقی نانوایی قرار گرفته است.
• در پایان، راننده پس از ۱۵ کیلومتر رانندگی و گذشتن از چندین خیابان و کوچه، به خانه می‌رسد.
• مدت زمانِ کلِ خرید برابر ۳ ساعت است.

برای محاسبه تندی متوسط، ابتدا کل مسافت طی شده توسط اتومبیل را به‌دست می‌آوریم. مسافت کلِ طی شده توسط اتومبیل در مدت زمان ۳ ساعت برابر است با:

$$D = 5 + 1 + 9 + 15 = 30 km $$

در ادامه، مسافت طی شده را بر مدت زمان لازم برای طی کردن آن مسافت، تقسیم کنیم.

$$speed = frac{30 km}{ 3 h} = 10 frac{km}{h}$$

تندی متوسط برابر ۱۰ کیلومتر بر ساعت است. سوالی که ممکن است مطرح شود آن است که آیا این اتومبیل در هر ساعت، ۱۰ کیلومتر حرکت می‌کند. خیر، تندی متوسط به ما میانگین تندی را در مدت زمان حرکت می‌دهد. ممکن است اتومبیل مسیر خانه تا میوه‌فروشی را در مدت زمان ۱۵ دقیقه طی کرده، اما به هنگام رفتن به نانوایی با ترافیک شدیدی مواجه شده و مسیر یک کیلومتری را در مدت نیم ساعت طی کرده باشد. بنابراین، اتومبیل با تندی یکسانی حرکت نکرده است. در اینجا، تندی را در تمام طول مسیر به‌دست آوردیم.

نکته ۱: برای به‌دست آوردن تندی متوسط باید مسافت کل طی شده توسط جسم را بر مدت زمانِ طی کردن آن مسافت، تقسیم کنیم.

نکته ۲: از آنجا که مسافت کمیتی نرده‌ای است و تنها اندازه دارد، تندی نیز کمیتی نرده‌ای است.

همان‌طور که در ابتدای این بخش گفتیم، تندی متوسط از تقسیم مسافت کل بر مدت زمان لازم برای طی کردن آن مسافت، به‌دست می‌آید. برای داشتن درک بهتری از مفهوم تندی متوسط، مسافت را تعریف و تفاوت آن را با جابجایی توضیح می‌دهیم.

مسافت چیست؟

بار دیگر مثال اتومبیل زردرنگ را بخوانید. راننده اتومبیل برای خرید تعدادی وسایل از خانه خارج می‌شود و پس از طی کردن مسیری مشخص، به خانه برمی‌گردد. مسیر حرکت این اتومبیل در تصویر زیر نشان داده شده است. به هنگام محاسبه مسافت، کلِ مسیر طی شده توسط جسم برای ما مهم است. مسیر طی شده توسط اتومبیل با استفاده از خطوط سبزرنگ در تصویر زیر نشان داده شده است. برای محاسبه مسافت، باید طول این خطوط را با یکدیگر جمع کنیم. در نتیجه، به کل مسیر طی شده توسط جسم، مسافت گفته می‌شود. راننده اتومبیل پس از خروج از منزل و بازگشت به آن، مسافتی برابر ۳۰ کیلومتر را طی کرده است.

جابجایی چیست؟

جابجایی، برخلاف مسافت، کمیتی برداری است و اندازه و جهت دارد. مثال اتومبیل زردرنگ را در نظر بگیرید. برای محاسبه جابجایی این اتومبیل، تنها کافی است به نقاط ابتدایی و انتهایی و فاصله بین آن‌ها توجه کنیم. بردار جابجایی، برداری است که ابتدای آن نقطه آغاز حرکت و انتهای آن، نقطه پایان حرکت است. جابجایی اتومبیل زردرنگ چه مقدار است؟ جابجایی اتومبیل در مثال فوق، برابر صفر است. چرا؟ زیرا نقطه‌های ابتدا و انتهای حرکت یکسان هستند. راننده پس از خارج شدن از خانه و خرید وسایل لازم، دوباره به خانه برمی‌گردد.

نکته: به هنگام حل مسائل مربوط به جابجایی، جهتی را به عنوان جهت مثبت انتخاب می‌کنیم. اگر جهت حرکت جسم و جهت مثبت انتخاب شده، یکسان باشند، بردار جابجایی برداری مثبت است. اما اگر اتومبیل در خلاف جهت مثبت حرکت کند، بردار جابجایی به عنوان برداری منفی در نظر گرفته می‌شود.

فرمول تندی متوسط چیست؟

در بخش قبل فهمیدیم تندی متوسط چیست و چگونه به‌دست می‌آید. تندی متوسط از تقسیم مسافت کل بر مدت زمان صرف شده برای طی کردن مسافت محاسبه می‌شود:

یکای تندی متوسط چیست؟

گاهی کمیت‌های نرده‌ای، مانند تندی، برحسب کمیت‌های نرده‌ای دیگری نوشته می‌شوند. در این حالت، برای آن‌که بتوانیم واحد اندازه‌گیری کمیت نرده‌ای را به‌دست آوریم، گام‌های زیر را طی می‌کنیم:

• فرمول کمیت فیزیکی موردنظر را می‌نویسیم.

$$overline { s } = frac { distance } { total time } $$

در رابطه فوق، distance به معنای مسافت و total time به معنای زمان کل برای طی کردن مسافت است.

• واحدها یا یکاهای اندازه‌گیری همه کمیت‌ها (مسافت و زمان) را به شکل بنیادی یا استاندارد آن‌ها جایگزین می‌کنیم. در اینجا، سیستم SI به عنوان سیستم اندازه‌گیری استاندارد انتخاب می‌شود. واحد اندازه‌گیری مسافت و زمان در سیستم SI به ترتیب برابر متر و ثانیه است.
• پس از ساده‌سازی، واحد کمیت موردنظر به‌دست می‌آید.

$$SI unit of velocity = frac { SI unit of displacement} { SI unit of time} \ SI unit of velocity = frac { m} { s} $$

توجه به این نکته مهم است که در مسافت‌ها و زمان‌های طولانی، یکای تندی ممکن است به صورت کیلومتر بر ساعت نیز بیان شود.

مثال تبدیل متر بر ثانیه به کیلومتر بر ساعت 

اتومبیلی با تندی ۲۰ متر بر ثانیه حرکت می‌کند. تندی آن برحسب کیلومتر بر ساعت چه مقدار است؟

پاسخ

برای تبدیل متر بر ثانیه به کیلومتر بر ساعت، باید دو تبدیل زیر را در نظر داشته باشیم:

$$1 m = frac { 1 } { 1000 } km , enspace 1 sec = frac { 1 } { 3600 } hour  $$

با استفاده از دو رابطه فوق، به راحتی می‌توانیم تندی ۲۰ متر بر ثانیه را به کیلومتر بر ساعت تبدیل کنیم:

$$20 frac { m } { s } = 20 times frac { frac { 1 } { 1000 } } { frac { 1 } { 3600 } } frac { km } { h } = 20 times frac { 3600 } { 1000 } frac { km } { h } = 20 times frac { 18 } { 5 } = 72 frac { km } { h } $$

مثال تبدیل کیلومتر بر ساعت به متر بر ثانیه

اتومبیلی با تندی ۷۲ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند. تندی آن برحسب متر بر ثانیه چه مقدار است؟

پاسخ

برای تبدیل متر بر ثانیه به کیلومتر بر ساعت، باید دو تبدیل زیر را در نظر داشته باشیم:

$$1 km = 1000 m , enspace 1 h = 3600 s  $$

با استفاده از دو رابطه فوق، به راحتی می‌توانیم تندی ۷۲ کیلومتر بر ساعت را به متر بر ثانیه تبدیل کنیم:

$$72 frac { km } { h } = 72 times frac { { 1000 } } { { 3600 } } frac { m } { s } = 72 times frac { 10} { 36 } frac { m } { s } = 72 times frac { 5 } { 18 } frac{ m } { s } = 20 frac { m } { s } $$

تا اینجا فهمیدیم مفهوم تندی متوسط چیست و با تعریف مسافت، جابجایی و تفاوت آن‌ها با یکدیگر آشنا شدیم. در ادامه، سرعت متوسط را تعریف و تفاوت آن با تندی متوسط را توضیح می‌دهیم.

سرعت متوسط چیست و چه تفاوتی با تندی متوسط دارد؟

در مطالب بالا به پرسش تندی متوسط چیست، پاسخ دادیم. تندی متوسط را به صورت مسافت بر مدت زمان طی کردن مسافت، تعریف کردیم. تندی متوسط هر جسمی همواره بزرگ‌تر یا برابر سرعت متوسط است. دلیل این موضوع به تفاوت مفهوم مسافت و جابجایی برمی‌گردد. مسافت، همواره افزایشی است، اما جهت جابجایی می‌تواند تغییر کند و اندازه آن نیز ممکن است افزایش یا کاهش یابد. هنگامی که در مورد سرعت صحبت می‌کنیم، به مسافت طی شده توسط جسم کاری نداریم، بلکه به جابجایی آن توجه می‌کنیم. بار دیگر مثال اتومبیل زردرنگ را در نظر می‌گیریم. فرض کنید راننده پس از ۱۵ دقیقه به مغازه میوه‌فروشی، پس از نیم ساعت به نانوایی، پس از یک ساعت به فروشگاه و پس از یک ساعت و ۱۵ دقیقه به خانه می‌رسد.

اتومبیل در ابتدا کجا بود؟ در خانه. مکان آن پس از گذشت ۴۵ دقیقه کجا است؟ نانوایی. اتومبیل در مدت ۴۵ دقیقه، چه مسافتی را طی کرده است؟ ۶ کیلومتر. جابجایی اتومبیل در این مدت چه مقدار است؟ برای محاسبه جابجایی در این مدت، ابتدا نقاط ابتدا و انتهای مسیر را مشخص، سپس بردار جابجایی را رسم و طول آن را محاسبه می‌کنیم. نقطه ابتدای مسیر، خانه و نقطه انتهای مسیر،‌ نانوایی است. در نتیجه، بردار جابجایی به صورت زیر رسم می‌شود.

بردار جابجایی اتومبیل، وتر مثلتِ قائم‌الزاویه‌ای است که از بردارهای قرمزرنگ تشکیل شده است. برای محاسبه مقدار آن از قضیه فیثاغورت استفاده می‌کنیم.

$$Displacement = sqrt {  ( 5 km ) ^ 2 + (1 km ) ^ 2 } = sqrt { 25 + 1 } = sqrt { 26 } = 5.1 km$$

مسافت طی شده توسط اتومبیل در ۴۵ دقیقه اول حرکت، برابر ۶ کیلومتر و جابجایی آن برابر ۵٫۱ کیلومتر است. به این نکته توجه داشته باشید که به هنگام صحبت در مورد جابجایی، نه‌تنها مقدار آن، بلکه جهت جابجایی نیز باید در نظر گرفته شود. بنابراین سرعت متوسط به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { v } = frac { triangle x } { triangle t } $$

تفاوت اصلی بین سرعت و تندی آن است که تندی کمیتی نرده‌ای، اما سرعت کمیتی برداری است. دلیل این موضوع آن است که مسافت طی شده توسط جسم، کمیتی برداری است و به مسیر حرکت جسم بستگی دارد. اما جابجایی کمیتی برداری و تنها به نقاط ابتدا و انتهای حرکت، وابسته است.

چگونه تندی متوسط را بهتر یاد بگیریم؟

در بخش‌های قبل فهمیدیم تندی متوسط چیست و با فرمول محاسبه و یکای آن آشنا شدیم. به نسبت مسافت طی شده به مدت زمان لازم برای طی کردن آن مسافت، تندی متوسط می‌گوییم. در حل بسیاری از مسائل مربوط به حرکت، باید با تفاوت سرعت و تندی آشنا باشیم. تندی کمیتی نرده‌ای، اما سرعت کمیتی برداری است. در فیزیک نهم با مفهوم تندی متوسط و تفاوت آن با سرعت متوسط آشنا می‌شوید، همچنین، در فیزیک دوازدهم این دو کمیت را به جزییات بیشتری یاد می‌گیرید و با حل مسائل پیچیده‌تری آشنا می‌شوید.

در نگاه نخست، تندی متوسط مفهوم بسیار ساده‌ای به نظر می‌رسد. اما مسائل مطرح شده در رابطه با آن می‌توانند بسیار پیچیده باشند. در نتیجه، درک عمیق این کمیت و تفاوت آن با سرعت، برای حل مسائل مربوط به حرکت بسیار مهم است. تماشای فیلم‌های آموزشی، مانند فیلم‌های آموزشی تهیه شده در فرادرس، می‌تواند به شما برای درک بهتر این کمیت‌ها و مسائل مربوط به آن‌ها کمک زیادی کند.

در این فیلم‌های آموزشی فرادرس:

• مفاهیمی مانند تندی، سرعت، مسافت، جابجایی، شتاب، سرعت و شتاب متوسط را به طور کامل می‌آموزید.
• نحوه حل مسائل مربوط به تندی متوسط را به صورت گام‌به‌گام فرا می‌گیرید.
• توانایی شما در تحلیل و بررسی حرکت اجسام ارتقا می‌یابد.

چگونه مسائل مربوط به تندی متوسط را حل کنیم؟

همان‌طور که می‌دانیم تندی متوسط از تقسیم مسافت طی شده در زمان t به‌دست می‌آید. برای حل مسائل مربوط به تندی متوسط، گام‌های زیر را به ترتیب طی می‌کنیم:

• مسافتِ کلِ طی شده توسط جسم را به‌دست آورید. اگر مسیر طی شده توسط جسم به دو یا بیشتر از دو مرحله تقسیم شده باشد و جسم در هر مرحله با تندی متفاوتی حرکت کند، مسافت‌های طی شده در هر مرحله را با استفاده از رابطه $$Distance = Speed times time$$ به‌دست آورید.
• زمان صرف شده برای پیمودن مسافتِ کل را محاسبه کنید.
• با تقسیم مسافت کل به زمانِ کل، تندی متوسط به‌دست می‌آید. یکای تندی متوسط را با توجه به یکاهای داده شده برای مسافت و زمان در کنار آن بنویسید. به عنوان مثال، اگر مسافت داده شده برحسب کیلومتر و زمان برحسب ساعت داده شده باشند، یکای تندی متوسط به صورت کیلومتر بر ساعت بیان می‌شود.

برای آشنایی بیشتر با چگونگی حل مسائل مربوط به تندی متوسط، چند مثال را قدم به قدم با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول محاسبه تندی متوسط

فرض کنید با تندی $$x$$ کیلومتر بر ساعت از نقطه A به B و با تندی y کیلومتر بر ساعت از B به A برمی‌گردید. اگر فاصله نقطه A از B برابر d باشد، تندی متوسط چه مقدار است؟

پاسخ

تندی متوسط از تقسیم مسافت طی شده در بازه زمانی لازم برای طی کردن آن مسافت به‌دست می‌آید.

$$overline { s } = frac { total enspace distance} { total enspace time} $$

فرض کنید در مدت زمان $$t_1 $$ از A به B و در مدت زمان $$t_2 $$ از ‌‌B به A رفته‌اید. توجه به این نکته مهم است که مسافت طی شده در هر مرحله برابر d است، اما زمانِ رفت از A به B با زمان برگشت از B به A به دلیل حرکت با تندی‌های متفاوت، با یکدیگر برابر نیستند. رابطه تندی متوسط را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$overline { s } = frac { d + d } { t_1 + t_ 2  }$$

$$ t_ 1 $$ زمان رفت از A به B را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$overline { s } _ { A to B }= frac { distance } { t _ 1 } \ x = frac { d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { d } { x } $$

$$ t_ 2 $$ زمان برگشت از B ‌به A را به صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

$$overline { s } _ { B to A }= frac { distance } { t _ 2 } \ y = frac { d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { d } { y } $$

بنابراین، مدت زمان کل رفت و برگشت برابر است با:

$$t_ 1 + t_ 2 = frac { d } { x } + frac { d } { y } = frac { d ( x + y ) } { x y } $$

با تقسیم کلِ مسافت طی شده بر مدت زمانِ صرف شده برای طی مسافت، تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { s } = frac { 2 d } { frac { d ( x + y) } { x y } }  \ overline { s } = frac { 2 x y }  { x  + y } $$

مثال دوم محاسبه تندی متوسط

فرض کنید با تندی ۱۰ متر بر ثانیه از نقطه A به B و با تندی ۵ متر بر ثانیه از B به C می‌روید. اگر فاصله نقطه A تا B برابر d و فاصله نقطه B تا C برابر $$2d$$ باشد، تندی متوسط در کل مسیر چه مقدار است؟

پاسخ

این مثال نیز مشابه مثال یک است، با این تفاوت که مسیرهای پیموده شده در دو مرحله با یکدیگر تفاوت دارند. تندی متوسط با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { s } = frac { total enspace distance} { total enspace time} $$

فرض کنید در مدت زمان $$t_1 $$ از A به B و در مدت زمان $$t_2 $$ از ‌‌B به C رفته‌اید. توجه به این نکته مهم است که مسافت طی شده در مرحله اول برابر d و در مرحله دوم برابر $$2d$$ است. رابطه تندی متوسط را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$overline { s } = frac { d + 2d } { t_1 + t_ 2  }$$

$$ t_ 1 $$ زمان رفت از A به B برابر است با:

$$overline { s } _ { A to B }= frac { distance } { t _ 1 } \ x = frac { d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { d } { 10 } $$

$$ t_ 2 $$ زمان رفت از B ‌به C نیز برابر است با:

$$overline { s } _ { B to A }= frac { distance } { t _ 2 } \ y = frac { 2d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { 2d } { 5 } $$

بنابراین، مدت زمان کل رفت و برگشت برابر است با:

$$t_ 1 + t_ 2 = frac { d } { 10 } + frac { 2d } { 5 } = frac { d + 4 d } { 10 } = frac { 5 d } { 10 } = frac { d } { 2 } $$

با تقسیم کلِ مسافت طی شده بر مدت زمانِ صرف شده برای طی مسافت، تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم:

$$ overline { s } = frac { 3 d } { frac { d } { 2 } }  \ overline { s } = 6 frac { m } { s } $$

مثال سوم محاسبه تندی متوسط

اتوبوسی مسیرِ بین دو شهر را در مدت زمان پنج ساعت طی می‌کند. این اتوبوس در سه ساعت اول حرکت با تندی ۸۰ کیلومتر بر ساعت و در دو ساعت پایانی حرکت، با تندی ۹۵ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند. تندی متوسط چه مقدار است؟

پاسخ

تندی متوسط با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { s } = frac { total enspace distance} { total enspace time} $$

رابطه فوق را برحسب مسافت به صورت زیر مرتب می‌کنیم:

$$total enspace distance = speed times time $$

اتوبوس به مدت سه ساعت با سرعت ۸۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند. مسافت طی شده در این بازه زمانی برابر است با:

$$D_1 = 80 times 3 = 240 km $$

در ادامه، اتوبوس به مدت دو ساعت با سرعت ۹۵ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند. مسافت طی شده در این مدت برابر است با:

$$D_2 = 95 times 2 = 190 km $$

بنابراین، مسافت کل طی شده توسط اتوبوس برابر است با:

$$D = total enspace distance = D_1 + D_2 = 240 + 190 = 430 km  $$

مدت زمان حرکت بین دو شهر برابر ۵ ساعت است. در نتیجه، تندی متوسط برابر است با:

$$ overline { s } = frac { 430 km } { 5 h }  \ overline { s } = 86 frac { km } { h } $$

مثال چهارم محاسبه تندی متوسط

راننده‌ای با تندی ۲۴ مایل بر ساعت به مدت ۲ ساعت حرکت می‌کند. سپس، به دلیل ترافیک، سرعت خود را به ۱۸ مایل بر ساعت کاهش می‌دهد و پس از ۲ ساعت به مقصد می‌رسد. تندی متوسط برحسب کیلومتر بر ساعت چه مقدار است؟ (هر مایل در حدود ۱٫۶۱ کیلومتر است)

پاسخ

تندی متوسط با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { s } = frac { total enspace distance} { total enspace time} $$

رابطه فوق را برحسب مسافت به صورت زیر مرتب می‌کنیم:

$$total enspace distance = speed times time $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید تندی برحسب مایل بر ساعت داده شده است،‌ اما تندی متوسط را باید برحسب کیلومتر بر ساعت به‌دست آوریم. برای این کار، تندی‌های داده شده را به کیلومتر بر ساعت تبدیل می‌کنیم. برای تبدیل مایل بر ساعت به کیلومتر بر ساعت، تنها کافی است تندی داده شده برحسب مایل بر ساعت را در ۱٫۶۱ ضرب کنیم:

$$24 frac { mile } { h } = 24 times 1.61 frac { km } { h } = 38.64 frac { km} { h }  \ 18 frac { mile } { h } = 18 times 1.6 frac { km } { h } = 28.98 frac { km } { h }  $$

راننده ابتدا با تندی ۳۸٫۶۴ کیلومتر بر ساعت به مدت دو ساعت حرکت می‌کند. مسافت طی شده در این مدت برابر است با:

$$D_1 = 38.64 times 2 = 77.28 km $$

در ادامه، راننده به مدت دو ساعت با سرعت ۲۸٫۹۸ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند و پس از دو ساعت به مقصد می‌رسد. مسافت طی شده در این مدت برابر است با:

$$D_2 = 28.98 times 2 = 57.96 km $$

بنابراین، مسافت کل طی شده توسط راننده برابر است با:

$$D = total enspace distance = D_1 + D_2 = 77.28+57.96 = 135.24 km  $$

مدت زمان حرکت بین دو شهر برابر ۴ ساعت است. در نتیجه، با قرار دادن مقدارهای مسافت و زمان در رابطه تندی متوسط، مقدار آن را به‌دست می‌آوریم:

$$ overline { s } = frac { 135.24 km } { 5 h }  \ overline { s } = 33.81 frac { km } { h } $$

مثال پنجم محاسبه تندی متوسط

مثال پنجم محاسبه تندی متوسط

مثال ششم محاسبه تندی متوسط

دوچرخه‌سواری می‌خواهد از کوهی بالا برود. او با تندی ثابت یک کیلومتر بر ساعت شروع به حرکت می‌کند و پس از رسیدن به قله تصمیم می‌گیرد بدون هیچ استراحتی به سمت پایین برگردد. از آنجا که پایین آمدن از کوه بسیار راحت‌تر از بالا رفتن از آن است، دوچرخه‌سوار می‌تواند با سرعت ۹ کیلومتر بر ساعت رکاب بزند و از کوه پایین بیاید و به نقطه شروع حرکت بازگردد. تندی متوسط در طول حرکت چه مقدار است؟ 

۵ کیلومتر بر ساعت

۲٫۵ کیلومتر بر ساعت

۱٫۸ کیلومتر بر ساعت

۳ کیلومتر بر ساعت

مشاهده جواب

تندی متوسط با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { s } = frac { total enspace distance} { total enspace time} $$

مسافتِ کلِ طی شده توسط دوچرخه‌سوار برابر با مجموع مسافت طی شده به هنگام بالا رفتن از کوه و مسافت طی شده به هنگام پایین آمدن از کوه است. زمان کل را نیز زمان صرف شده برای بالا رفتن و پایین آمدن از کوه در نظر می‌گیریم. مسافت و زمان کل را نداریم. تنها، تندی‌های بالا رفتن و پایین آمدن از کوه را داریم. حل این مثال، مشابه مثال یک است. فرض کنید در مدت زمان $$t_1 $$ دوچرخه‌سوار از کوه بالا می‌رود و در مدت زمان $$t_2 $$ از کوه پایین می‌آید و به نقطه شروع حرکت برمی‌گردد.

توجه به این نکته مهم است که مسافت طی شده در هر مرحله با یکدیگر مساوی و برابر d است، اما زمانِ بالا رفتن و زمان پایین آمدن، به دلیل حرکت با تندی‌های متفاوت، با یکدیگر برابر نیستند. در نتیجه، رابطه تندی متوسط را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$overline { s } = frac { d + d } { t_1 + t_ 2  }$$

$$ t_ 1 $$، زمان بالا رفتن از کوه، برابر است با:

$$overline { s } _ { climb enspace up }= frac { distance } { t _ 1 } \ 1 = frac { d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { d } { 1 } \ t_1 = d h $$

$$ t_ 1 $$، زمان پایین آمدن از کوه، برابر است با:

$$overline { s } _ { climb enspace down }= frac { distance } { t _ 2 } \ 1 = frac { d } { t _ 1 } \ t_ 1 = frac { d } { 9 } \ t_1 = frac { d } { 9 }  h $$

بنابراین، مدت زمان کل بالا رفتن و پایین آمدن از برابر است با:

$$t_ 1 + t_ 2 = d + frac { d } { 9 } =  d + frac { d } { 9 } = frac { 10 d } { 9 } h  $$

با تقسیم کلِ مسافت طی شده بر مدت زمانِ صرف شده برای طی مسافت، تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { s } = frac { 2 d } { frac { 10 d } {  9 } }  \ overline { s } = frac { 18 }  { 10 } =  1.8 frac { km } { h } $$

مقایسه سرعت متوسط و تندی متوسط

در مطلب «سرعت متوسط چیست ؟ – فرمول، تعریف و محاسبه + حل تمرین» از مجله فرادرس با تعریف سرعت متوسط آشنا شدیم. همچنین، تا اینجا فهمیدیم تندی متوسط چیست و چه تفاوتی با سرعت متوسط دارد. تندی متوسط از تقسیم مسافت کل بر زمان صرف شده برای طی کردن مسافت به ‌دست می‌آید. در مقابل، برای محاسبه سرعت متوسط باید جابجایی را بر زمان لازم برای انجام جابجایی تقسیم کنیم. همچنین، سرعت متوسط کمیتی برداری است و اندازه و جهت دارد، اما تندی متوسط کمیتی نرده‌ای و تنها دارای اندازه است. توجه به این نکته نیز مهم است که سرعت متوسط می‌تواند منفی یا مثبت باشد، اما تندی متوسط تنها مقدارهای مثبت را می‌پذیرد. در این بخش، چند مثال در رابطه با تندی و سرعت متوسط حل و این دو کمیت را با یکدیگر مقایسه می‌کنیم.

مثال اول مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

مردی برای رفتن به فروشگاهی در شرق خانه خود، ابتدا به مدت دو ساعت، ۷ کیلومتر به سمت شرق، سپس به مدت یک ساعت، ۲ کیلومتر در همان جهت حرکت می‌کند. تندی متوسط و سرعت متوسط مرد چه مقدار است؟

پاسخ

تصویر زیر، مسیر حرکت مرد را نشان می‌دهد. A نقطه آغاز حرکت و C نقطه پایان حرکت است.

ابتدا تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم. برای به‌دست آوردن تندی متوسط باید مسافتِ کلِ طی شده توسط مرد را محاسبه کنیم. مسافت به کل مسیر طی شده توسط مرد بستگی دارد. شخص روی خطی افقی، ۹ کیلومتر به سمت شرق رفته است. در نتیجه، مقدار تندی متوسط او برابر است با:

$$overline { v } = frac { distance } { total time } \ overline { v } = frac { 9 km } { 2 h + 1 h } = frac { 9 km } { 3 h } = 3 frac { km } { h }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط باید جابجایی کلِ طی شده توسط مرد را محاسبه کنیم. جابجایی به نقطه ابتدا (نقطه A)‌ و انتهای مسیر (‌نقطه C) بستگی دارد و مستقل از مسیر پیموده شده است. فاصله نقطه A و C برابر ۹ کیلومتر است. در نتیجه، مقدار سرعت متوسط برابر است با:

$$overline { v } = frac { displacement } { total time } \ overline { v } = frac { 9 km } { 2 h + 1 h } = frac { 9 km } { 3 h } = 3 frac { km } { h }  $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سرعت متوسط و تندی متوسط با یکدیگر برابر هستند. اما همیشه این‌گونه نیست. در این مثال، مرد روی خطی مستقیم و بدون تغییر جهت، مسیری را پیموده است.

مثال دوم مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

سارا پیاده‌روی را به عنوان ورزش صبحگاهی انتخاب کرده است. او هر روز صبح مسیر مشخصی را طی می‌کند. ابتدا، ۷ کیلومتر به مدت دو ساعت به سمت شرق، سپس ۲٫۵ کیلومتر به مدت یک ساعت به سمت غرب می‌رود. تندی و سرعت متوسط او چه مقدار است؟

پاسخ

تصویر زیر، مسیر پیاده‌روی سارا را نشان می‌دهد. A نقطه آغاز حرکت و D نقطه پایان حرکت است.

ابتدا تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم. برای به‌دست آوردن تندی متوسط، مسافتِ کلِ طی شده توسط سارا را محاسبه می‌کنیم. سارا روی خطی افقی، ۹ کیلومتر به سمت شرق رفته و ۲٫۵ کیلومتر به سمت غرب برگشته است. در نتیجه، مقدار تندی متوسط او برابر است با:

$$overline { s } = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac { 7 km + 2.5 km } { 2 h + 1 h } = frac { 9.5 km } { 3 h } = 3.2 frac { km } { h }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط باید جابجایی کلِ طی شده توسط سارا را محاسبه کنیم. جابجایی به نقطه ابتدا (نقطه A)‌ و انتهای مسیر (‌نقطه D) بستگی دارد. فاصله نقطه A و D برابر ۵٫۵ کیلومتر است. در نتیجه، مقدار سرعت متوسط برابر است با:

$$overline { v } = frac { displacement } { total   time } \ overline { v } = frac {  4.5 km } { 2 h + 1 h } = frac { 4.5 km } { 3 h } = 1.5 frac { km } { h }  $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سرعت متوسط و تندی متوسط با یکدیگر برابر نیستند. در این مثال، سارا مسیر خود را به هنگام پیاده‌روی تغییر داده است.

مثال سوم مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

پارکی به شکل دایره‌ای با شعاع ۰٫۵ کیلومتر، نزدیک خانه سیما قرار دارد. سیما تصمیم می‌گیرد پس از مدت‌ها برای پیاده‌روی به این پارک برود و یک بار آن را دور بزند. او از نقطه A شروع به حرکت می‌کند و پس از یک ساعت دوباره به این نقطه می‌رسد. مقدار سرعت و تندی متوسط سیما چه مقدار است؟

پاسخ

ابتدا تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم. برای به‌دست آوردن تندی متوسط باید مسافت کل طی شده توسط سیما را محاسبه کنیم. او روی مسیری به شکل دایره، یک دور کامل می‌زند. بنابراین، کلِ مسافت طی شده توسط سیما برابر محیط دایره است و به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$D = 2 pi r = 2 times pi times 0.5 = 3.14 km $$

سیما در مدت زمان یک ساعت، پارک را دور زده است. در نتیجه، تندی متوسط او برابر است با:

$$overline { s } = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac {  3.14 km } { 1 h } =  3.14 frac { km } { h }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط باید جابجایی کلِ سیما را به‌دست آوریم. همان‌طور که می‌دانیم جابجایی به نقطه ابتدا (نقطه A)‌ و انتهای مسیر (‌نقطه A) بستگی دارد. با توجه به یکسان بودن نقطه ابتدا و انتهای مسیر، جابجایی کل و در نتیجه، سرعت متوسط برابر صفر هستند.

نکته: در حرکت‌های رفت و برگشتی و حرکت روی مسیری به شکل دایره، تندی متوسط و سرعت متوسط با یکدیگر برابر نیستند.

مثال چهارم مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

سحر تصمیم می‌گیرد برای دیدن مادربزرگ به روستای محل زندگی او برود. او صبحِ زود از خانه خارج می‌شود و برای رفتن به روستا، ابتدا با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت، ۱۲۰ کیلومتر به سمت جنوب، سپس با سرعت ۵۰ کیلومتر بر ساعت، ۱۵۰ کیلومتر به سمت شرق رانندگی می‌کند. مقدار سرعت و تندی متوسط سیما چه مقدار است؟

پاسخ

تصویر زیر، مسیر رانندگی سحر را نشان می‌دهد. A نقطه آغاز حرکت و C نقطه پایان حرکت است.

برای به‌دست آوردن تندی متوسط، ابتدا مسافت کل طی شده توسط سحر را محاسبه کنیم. سحر ۱۲۰ کیلومتر به سمت جنوب، سپس ۱۵۰ کیلومتر به سمت شرق رانندگی می‌کند. از آنجا که مسافت به شکلِ مسیر طی شده بستگی دارد، مقدار آن برابر است با:

$$ D = 120 km + 150 km = 270 km $$

در ادامه، زمان کل را به‌دست می‌آوریم. سحر با تندی ۶۰ کیلومتر بر ساعت، ۱۲۰ کیلومتر به سمت جنوب رانندگی می‌کند. مدت زمان لازم برای طی کردن این مسافت برابر است با:

$$t_1 = frac { 120 } { 60 } = 2 h $$

سحر، سپس با تندی ۵۰ کیلومتر بر ساعت، ۱۵۰ کیلومتر به سمت شرق رانندگی می‌کند. مدت زمان لازم برای طی کردن این مسافت برابر است با:

$$t_1 = frac { 150 } { 50 } = 3 h $$

با داشتن زمان و مسافت کل، تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { s } = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac {  270 km } { 5 h } =  54 frac { km } { h }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط باید جابجایی کلِ سیما را به‌دست آوریم. جابجایی خط‌چینِ سیاه نشان داده شده در تصویر بالا یا وتر مثلث ABC است:

$$AC ^ 2 = AB^ 2 + BC ^ 2  \ AC = sqrt { AB^ 2 + BC ^ 2 } = sqrt { ( 120  ) ^ 2 + ( 150 ^ 2 ) }  =  192.1 km  $$

با قرار دادن جابجایی و زمان کل در رابطه سرعت متوسط، مقدار آن را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { v } = frac { displacement } { total   time } \ overline { v } = frac {  191.1 km } { 5 h  } = 38 . 4  frac { km } { h }  $$

مثال پنجم مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

مردی در مدت زمان ۳۲۵۰ ثانیه در مسیر نشان داده شده در تصویر زیر، از نقطه A به F می‌رود، سرعت و تندی متوسط برحسب متر بر ثانیه برابر هستند با:

تندی و سرعت متوسط به ترتیب برابر ۲ و ۰٫۸ متر بر ثانیه است. 

تندی و سرعت متوسط به ترتیب برابر ۰٫۸ و ۲ متر بر ثانیه است. 

تندی و سرعت متوسط با یکدیگر برابر و برابر ۲ متر بر ثانیه هستند. 

تندی و سرعت متوسط با یکدیگر برابر و برابر ۰٫۸ متر بر ثانیه هستند. 

مشاهده جواب

تصویر زیر، مسیر حرکت مرد را نشان می‌دهد. A نقطه آغاز حرکت و F نقطه پایان حرکت است.

برای به‌دست آوردن تندی متوسط، ابتدا مسافت کل طی شده توسط مرد را محاسبه کنیم. مرد برای رفتن از نقطه A به F از ۵ مسیر متفاوت عبور کرده است: 

1. حرکت از نقطه A آغاز شده است. مرد با حرکت به سمت راست، پس از ۳ کیلومتر به نقطه B می‌رسد.
2. در ادامه، این فرد یک کیلومتر به سمت بالا حرکت می‌کند و به نقطه C می‌رسد. 
3. سپس، از نقطه C با طی کردن مسیری برابر ۱٫۵ کیلومتر به سمت چپ، به نقطه D می‌رسد. 
4. در پایان، مرد، با طی کردن ۰٫۵ کیلومتر به سمت بالا به نقطه E و ۰٫۵ کیلومتر به سمت راست به نقطه پایانی، یعنی F، می‌رسد. 

برای محاسبه مسافت، باید به کل مسیر طی شده توسط فرد توجه کنیم. در نتیجه، مقدار مسافت برابر است با:

$$ D = 3 km + 1 km + 1.5 km + 0.5 km + 0.5 km = 6.5 km  $$

از آنجا که تندی متوسط برحسب متر بر ثانیه خواسته شده است، باید ۶٫۵ کیلومتر را به متر تبدیل کنیم. زمان کلِ‌صرف شده برابر ۳۲۵۰ ثانیه است. با داشتن زمان و مسافت کل، تندی متوسط را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { s } = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac {  6500 m } { 3250 h } =  2 frac { m } { s }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط باید جابجایی کلِ را به‌دست آوریم. جابجایی خط‌چینِ قرمزِ نشان داده شده در تصویر بالا یا وتر مثلث AHF است:

$$AF ^ 2 = AH^ 2 + HF ^ 2  \ AC = sqrt { AH^ 2 + HF ^ 2 } = sqrt { ( 2  ) ^ 2 + ( 1.5 ^ 2 ) }  =  2.5 km  $$

با قرار دادن جابجایی و زمان کل در رابطه سرعت متوسط، مقدار آن را به‌دست می‌آوریم:

$$overline { v } = frac { displacement } { total time } \ overline { v } = frac {  2500 m  } { 3250 s   } =  0.8 frac { m } { s }  $$

مثال ششم مقایسه تندی متوسط و سرعت متوسط

جسمی روی محور x حرکت می‌کند. این جسم در مبدا زمان از مکان ۳۰- متر می‌گذرد و در لحظه $$t_1 = 3 s$$ به مکان ۱۰۰ متر می‌رسد. در پایان و در لحظه $$t_ 2 = 5 s $$ از مکان ۲۰ متر می‌گذرد. سرعت و تندی متوسط این متحرک در ۵ ثانیه اول حرکت، کدام است؟

سرعت متوسط و تندی متوسط به ترتیب برابر ۴۲ و ۱۰ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت متوسط و تندی متوسط به ترتیب برابر ۱۰ و ۴۲ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت متوسط و تندی متوسط ببا یکدیگر برابر و مساوی ۱۰ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت متوسط و تندی متوسط ببا یکدیگر برابر و مساوی ۴۲ متر بر ثانیه هستند. 

مشاهده جواب

جسم در مدت زمان ۵ ثانیه به این صورت حرکت می‌کند:

• از مکان ۳۰- متر شروع به حرکت می‌کند.
• ۳ ثانیه پس از شروع حرکت به فاصله ۱۰۰ متری مبدا می‌رسد. 
• ۵ ثانیه پس از شروع حرکت از نقطه در فاصله ۲۰ متری مبدا می‌گذرد.  

برای درک بهتر حرکت جسم، مسیر طی شده توسط آن را روی محور $$x$$ رسم می‌کنیم. 

به نمودار فوق دقت کنید. جسم در ۳ ثانیه اول حرکت از مکان ۳۰- متر به مکان ۱۰۰ متر و بین ثانیه‌های ۳ تا ۵ از مکان ۱۰۰ به مکان ۲۰ متر رفته است. برای محاسبه تندی باید مسافت کل طی شده توسط جسم را به‌دست آوریم. مسافت کل برابر است با:

$$D = 130 + 80 = 210 m$$

با توجه به آن‌که زمان کلِ حرکت برابر ۵ ثانیه است، تندی متوسط را می‌توانیم به صورت زیر به‌دست آوریم:

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {   210 m  } { 5 s } =  42 frac { m } { s }  $$

همچنین، برای محاسبه سرعت متوسط باید جابجایی کل جسم در مدت زمان ۵ ثانیه را محاسبه کنیم. برای محاسبه جابجایی، تنها با مکان‌های ابتدا و انتهای مسیر کار داریم:

$$triangle x = x_ 2 – x_ 1 = 20 – ( – 30) = + 50 m $$

با داشتن جابجایی، به راحتی می‌توانیم سرعت متوسط جسم را به‌دست آوریم:

$$overline { v } = frac { displacement } { total time } \ overline { v } = frac {  50 m } { 5 s  } =  10  frac { m } { s }  $$

محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

تا اینجا می‌دانیم تندی متوسط چیست و با استفاده از چه رابطه‌ای به‌دست می‌آید. همچنین، با تفاوت تندی متوسط و سرعت متوسط آشنا شدیم. تندی متوسط را با استفاده از نمودار مکان زمان نیز می‌توانیم به‌دست آوریم. برای آشنایی با چگونگی محاسبه تندی متوسط با استفاده از نمودار مکان زمان، ابتدا این نمودار و مشخصات آن را به اختصار توضیح می‌دهیم.

نمودار مکان زمان چیست؟

به کمک نمودار مکان زمان، اطلاعات بسیار مهمی را در مورد حرکت اجسام مختلف به‌دست می‌آوریم. محور عمودی در نمودار مکان زمان، مکانِ جسم را نسبت به مبدا و محور افقی، زمان را نشان می‌دهد. این نمودار اطلاعاتی در مورد مسافت، جابجایی، سرعت، تندی و شتاب جسم به ما می‌دهد. به عنوان مثال، شیب خط مماس بر نمودار مکان زمان، بیان‌گر سرعت حرکت جسم است. بنابراین، مقدار شیب خط مماس بر نمودار مکان زمان در هر لحظه از زمان، سرعت جسم را در آن لحظه به می‌دهد.

جابجایی و مسافت در نمودار مکان زمان

در بخش‌های قبل با تفاوت مسافت و جابجایی آشنا شدیم. مسافت، کمیتی نرده‌ای و برابر طول مسیر طی شده توسط جسم و به شکل مسیر، وابسته است. در مقابل، جابجایی کمیتی برداری است که به صورت کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه (نقطه آغاز و پایان)، تعریف می‌شود. در نتیجه، جابجایی، برخلاف مسافت، تنها به نقاط ابتدا و انتهای مسیر بستگی دارد. تفاوت مهم دیگر بین مسافت و جابجایی آن است که مسافت طی شده توسط جسم همواره مثبت است. در حالی‌که، جابجایی ممکن است مثبت یا منفی باشد. برای به‌دست آوردن جابجایی در بازه زمانی مشخص از روی نمودار مکان زمان، به مکان جسم در نقطه ابتدا و انتهای بازه زمانی توجه می‌کنیم. اما برای محاسبه مسافت طی شده توسط جسم از روی نمودار مکان زمان، باید به کل مسیر طی شده توسط جسم دقت کنیم.

در ادامه، با حل چند مثال، چگونگی محاسبه تندی متوسط با استفاده از نمودار مکان زمان را با یکدیگر بررسی می‌کنیم.

چگونه تندی متوسط را از روی نمودار مکان زمان به دست آوریم؟

نمودار مکان زمان جسمی در تصویر زیر نشان داده شده است. با توجه به نمودار به هر یک از پرسش‌های مطرح شده در ادامه پاسخ دهید.

پرسش ۱: تندی متوسط جسم در مسیر A چه مقدار است؟

پاسخ: برای محاسبه تندی متوسط جسم در مسیر A باید مسافت و زمان کل را برای این مسیر به‌دست آوریم. همچنین، جسم در زمان صفر در مبدا و پس از یک ساعت در ۴ کیلومتری مبدا قرار دارد. بنابراین، جسم در مسیر A مسافتی برابر ۴ کیلومتر را طی کرده است. با داشتن مسافت و زمان، به راحتی می‌توانیم تندی متوسط را به‌دست آوریم:

$$overline { s } _ A= frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {  4 km } { 1 h } =  4 frac { km } { h }  $$

پرسش ۲: تندی متوسط جسم در مسیر B چه مقدار است؟

پاسخ: به نمودار مکان زمان در قسمت ‌‌‌B دقت کنید. نمودار در این قسمت خطی افقی با شیبِ صفر است. خط افقی در نمودار مکان زمان، جسم ساکن را نشان می‌دهد. در نتیجه، جسم پس از قرار گرفتن در فاصله ۴ کیلومتری از مبدا، به مدت یک ساعت در آنجا ساکن می‌ماند. از این‌رو، مسافت طی شده توسط جسم و تندی متوسط آن برابر صفر است.

پرسش ۳: تندی متوسط جسم در مسیر C چه مقدار است؟

پاسخ: جسم پس از یک ساعت توقف، شروع به حرکت می‌کند و پس از یک ساعت به ۶ کیلومتری مبدا می‌رسد . بنابراین، جسم در مسیر C مسافتی برابر ۲ کیلومتر را طی کرده است. با داشتن مسافت و زمان، به راحتی می‌توانیم تندی متوسط را به‌دست آوریم:

$$overline { s } _ C = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac {  2 km } { 1 h } = 2  frac { km } { h }  $$

پرسش ۴: تندی متوسط جسم در مسیر D چه مقدار است؟

پاسخ: جسم ۳ ساعت پس از شروع حرکت و قرار گرفتن در فاصله ۶ کیلومتری از مبدا، با تغییر مسیر به سمت مبدا شروع به حرکت می‌کند و یک ساعت بعد به آن می‌رسد. بنابراین، جسم در مسیر D مسافتی برابر ۶ کیلومتر را طی کرده است. با داشتن مسافت و زمان، به راحتی می‌توانیم تندی متوسط را به‌دست آوریم:

$$overline { s } _ C = frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {  6 km} { 1   h } = 6  frac { km } { h }  $$

پرسش ۴: تندی متوسط در کل مسیر چه مقدار است؟

پاسخ: همان‌طور که در نمودار فوق مشاهده می‌کنید، جسم ۶ ساعت پس از شروع حرکت به مبدا برمی‌گردد. آیا مسافت کل برابر صفر است؟ خیر، جابجایی کل برابر صفر، اما مسافت کل برابر ۱۲ کیلومتر است. با توجه به آن‌که زمان کل حرکت برابر ۴ ساعت است، تندی متوسط حرکت برابر ۳ کیلومتر بر ساعت به‌دست می‌آید.

در این بخش فهمیدیم چگونه تندی متوسط را از روی نمودار مکان زمان به‌دست آوریم. در ادامه، چند مثال در این رابطه را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

جسمی روی مسیری افقی و مستقیم حرکت می‌کند. نمودار مکان زمان آن در تصویر زیر نشان داده شده است. تندی متوسط جسم را در فاصله زمانی صفر تا ۱۵ ثانیه به دست آورید.

پاسخ

برای محاسبه تندی متوسط جسم بین زمان صفر تا ۱۵ ثانیه باید مسافت کل را برای این مدت زمان به‌دست آوریم. حرکت جسم در ۱۵ ثانیه به صورت زیر توصیف می‌شود:

• جسم در زمان صفر در مبدا و ۵ ثانیه پس از شروع حرکت به ۱۰ متری مبدا می‌رسد.
• در ادامه، جسم تغییر مسیر می‌دهد و به سمت مبدا حرکت می‌کند و ۵ ثانیه بعد به مبدا می‌رسد.
• جسم با رسیدن به مبدا متوقف نمی‌شود، بلکه به حرکت خود در جهت مخالف ادامه می‌دهد و ۱۵ ثانیه پس از شروع حرکت به ۱۰ متری مبدا (در جهت مخالف) می‌رسد.

برای درک بهتر حرکت جسم، مسیر حرکت آن را روی خط افقی به صورت زیر رسم می‌کنیم.

به یاد داشته باشید که مسافت، کمیتی نرده‌ای است و به مسیر طی شده توسط جسم بستگی دارد. بنابراین، مسافت طی شده توسط جسم را در هر مرحله با یکدیگر جمع و مسافتِ کل را به‌دست می‌آوریم:

$$D = 10 + 20= 30 m $$

با قرار دادن مسافت و زمانِ کل در رابطه تندی متوسط، مقدار آن به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$overline { s } = frac { distance } { total   time } \ overline { s } = frac { 30  m } { 15  s } =2    frac { m } {  s  }  $$

پرسش: سرعت متوسط در کلِ مسیر چه مقدار است؟

پاسخ: سرعت متوسط از تقسیم جابجایی کل بر مدت زمان کل به‌دست می‌آید. بنابراین، برای محاسبه سرعت متوسط در کلِ مسیر، باید جابجایی جسم را به‌دست آوریم. جابجایی، کمیتی برداری است و با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$triangle overrightarrow{ x } = x_f – x_ i $$

در رابطه فوق،‌ $$x_i$$ مکان جسم در ابتدا و $$x_f$$ مکان جسم در انتهای حرکت است. بر طبق تصویر فوق، جسم در زمان صفر در مکان صفر و ۱۵ ثانیه پس از شروع حرکت در مکان ۱۰- متری مبدا قرار دارد. در نتیجه، جابجایی کل برابر است با:

$$triangle overrightarrow{ x } = -10 – 0 = – 10 m $$

با قرار دادن زمان و جابجایی کل در رابطه سرعت متوسط، مقدار آن را به‌دست می‌آوریم:

$$overrightarrow{overline{ v } } = frac { triangle { overrightarrow{ x }}} { triangle t } = frac { -10 m } { 15 } =- frac { 2 } { 3 } frac { m } { s } $$

مثال دوم محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

نمودار مکان زمان جسمی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. اگر تندی متوسط در ۱۰ ثانیه اولیه حرکت برابر ۱٫۶ متر بر ثانیه باشد، در چه لحظه‌ای جهت بردار مکانِ جسم تغییر می‌کند؟

پاسخ

در این مثال باید با داشتن مقدار تندی متوسط جسم در ۱۰ ثانیه اول حرکت، زمانی که بردار مکان جسم، تغییر جهت می‌دهد را به‌دست آوریم. تندی متوسط در ۱۰ ثانیه اولیه حرکت برابر ۱٫۶ متر بر ثانیه است، با توجه به فرمول تندی متوسط، به راحتی می‌توانیم، مسافت کل پیموده شده توسط جسم در این مدت زمان را محاسبه کنیم:

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \ 1.6 = frac { distance } { 10  s } \ D= 16 m $$

در ادامه، مکان جسم در زمان صفر یا مکان اولیه جسم را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار از مسافت کلِ به‌دست آمده استفاده می‌کنیم:

$$( 6 – x_ 0 ) + 6 = 16 \ 12 – x_ 0 = 16 \ -x_0 = 4 \ x_ 0 = – 4 m $$

بنابراین، جسم در زمانِ صفر در مکان ۴- متر قرار دارد. سپس، به سمت مبدا شروع به حرکت می‌کند و در زمان t به آن می‌رسد. توجه به این نکته مهم است که جهت بردارِ مکانِ جسم با عبور از مبدا، تغییر می‌کند. برای درک بهتر این موضوع، بردار مکان جسم، قبل از عبور از مبدا و پس از عبور از آن در تصویر زیر رسم شده است.

برای به‌دست آوردن زمان عبور جسم از مبدا، تنها کافی است معادله مکان برحسب زمانِ جسم را در ۵ ثانیه اول حرکت بنویسیم و مقدار مکان را برابر صفر قرار دهیم. معادله مکان برحسب زمان جسم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$x = x_0 + vt $$

سوالی که ممکن است مطرح شود آن است که چرا معادله مکان برحسب زمان به صورت $$x = x_0 + vt $$ نوشته شده است. از آنجا که نمودار مکان زمانِ جسم به صورت خطی مستقیم با شیب ثابت و مثبت است، جسم در ۵ ثانیه اول حرکت به صورت یکنواخت و با سرعت ثابت حرکت می‌کند. برای نوشتن معادله مکان برحسب زمان در حرکت یکنواخت، باید سرعت اولیه و سرعت حرکت جسم را بدانیم. سرعت اولیه را به‌دست آوردیم. برای محاسبه سرعت حرکت، تنها کافی است شیب خط نمودار مکان زمان را به‌دست آوریم.

$$slope = v = frac { x_2 – x_ 1 } { t _ 2 – t _ 1 } = frac { 6 – ( – 4 ) } { 5 – 0 } = 2 frac { m } { s } $$

با داشتن سرعت و مکان اولیه، معادله مکان زمان را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$x = 2t –  4 $$

برای به‌دست آوردن زمانِ تغییر جهت مکانِ جسم، مقدار $$x$$ را برابر صفر قرار می‌دهیم:

$$0 = 2 t – 4 \t = 2 s $$

مثال سوم محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

نمودار مکان زمان جسمی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. اگر تندی متوسط در ۵ ثانیه اولیه حرکت برابر ۲۰ متر بر ثانیه باشد، جسم با چه سرعتی و در چه زمانی از مبدا مکان عبور می‌کند؟

پاسخ

در این مثال باید زمان عبور جسم از مبدا و سرعت آن به هنگام عبور از مبدا را به‌دست آوریم. برای حل آن، گام‌های زیر را به‌ ترتیب طی می‌کنیم.

گام اول

باید معادله مکان برحسب زمان را برای جسم به‌دست آوریم. معادله مکان برحسب زمان جسم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$x = x_0 + vt $$

معادله فوق، معادله حرکت یکنواخت است، زیرا جسم در ۵ ثانیه اول حرکت به صورت یکنواخت و با سرعت ثابت حرکت می‌کند. برای نوشتن این معادله باید مکان اولیه و سرعت حرکت جسم را به‌دست آوریم.

گام دوم

تندی متوسط در ۵ ثانیه اولیه حرکت برابر ۲۰ متر بر ثانیه است، با توجه به فرمول تندی متوسط، به راحتی می‌توانیم، مسافت کل پیموده شده توسط جسم در این مدت زمان را محاسبه کنیم:

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \  20 = frac { distance } { 5  s } \ D= 100 m $$

در ادامه، مکان جسم در زمان صفر یا مکان اولیه جسم را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار از مسافت کلِ به‌دست آمده استفاده می‌کنیم:

$$( x_0 – (-20) ) = 100 \ x_ 0 +20 = 100 \ x_ 0 = + 80 m $$

جسم در لحظه صفر در ۸۰ متری مبدا قرار دارد. جهت راست را به صورت قراردادی به صورت جهت مثبت انتخاب می‌کنیم. جسم از ۸۰ متری مبدا، در خلاف جهت مثبت، شروع به حرکت می‌کند و پس از ۵ ثانیه، به مکان ۲۰- متر می‌رسد.

گام سوم

در این قسمت سرعت حرکت جسم را به‌دست می‌آوریم. توجه به این نکته مهم است که شیبِ نمودار مکان زمان، سرعت را به ما می‌دهد:

$$v = overline { v } = frac { x_ 2 – x_ 1 } { t_ 2 – t _ 1 } = frac { -20 – 80 } { 5 } = -20 frac { m } { s } $$

نکته: سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای در حرکت یکنواخت با یکدیگر برابر هستند.

گام چهارم

معادله حرکت جسم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$x = x_ 0 + vt = -20 t + 80 \ -20 t + 80 = 0 \ t = 4 s $$

در نتیجه، جسم با سرعت ۲۰- متر بر ثانیه در زمان ۴ ثانیه از مبدا مکان عبور می‌کند.

مثال سوم محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

نمودار مکان زمان نموداری به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. تندی متوسط و سرعت متوسط متحرک را در ۵ ثانیه اول حرکت برحسب متر بر ثانیه کدام است؟ 

تندی متوسط و سرعت متوسط به ترتیب برابر ۲ و $$frac { ۲ } { ۵ } $$ متر بر ثانیه است. 

تندی متوسط و سرعت متوسط به ترتیب برابر $$frac { ۲ } { ۵ } $$ و ۲ متر بر ثانیه است. 

تندی متوسط و سرعت متوسط به ترتیب برابر ۲ و $$- frac { ۲ } { ۵ } $$ متر بر ثانیه است. 

سرعت متوسط و تندی متوسط با یکدیگر مساوی و برابر ۲ متر بر ثانیه هستند. 

مشاهده جواب

برای محاسبه تندی متوسط جسم بین زمان صفر تا ۵ ثانیه، باید مسافت کل را برای این مدت زمان به‌دست آوریم. حرکت جسم در ۵ ثانیه به صورت زیر توصیف می‌شود:

• جسم در زمان صفر در ۲+ متری مبدا است و با سرعت مثبت و شتاب منفی از مبدا دور می‌شود. 
• ۲ ثانیه پس از شروع حرکت، جسم به ۶+ متری مبدا می‌رسد و متوقف می‌شود. در این لحظه، سرعت لحظه‌ای جسم برابر صفر است. 
• سپس، جسم با تغییر مسیر و شتاب و سرعت منفی شروع به حرکت می‌کند و ۵ ثانیه پس از شروع حرکت به مبدا می‌رسد. 

از آنجا که جسم در مسیر خود، تغییر جهت داده است، مسافت و جابجایی و در نتیجه، تندی متوسط و سرعت متوسط با یکدیگر برابر نیستند. مسافت طی شده توسط جسم در مدت زمان ۵ ثانیه برابر جمع مسافت‌های طی شده توسط جسم بین زمان‌های صفر تا ۲ ثانیه و زمان‌های ۲ تا ۵ ثانیه و برابر است با: 

$$D = 4 + 6 = 10 m $$

با داشتن زمان و مسافت کل، تندی متوسط برابر است با: 

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {  10  m } { 5  s } = 2  frac { m } {  s  }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط، جابجایی کل جسم را در ۵ ثانیه اول حرکت به‌دست می‌آوریم. جابجایی به نقاط ابتدا و انتهای حرکت وابسته است و به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$triangle x = x_ f – x_ i = 0 – 2 = – 2 m $$

در نتیجه، سرعت متوسط برابر است با:

$$overrightarrow{overline{ v } } = frac { triangle { overrightarrow{ x }}} { triangle t } = frac { -2 m } { 5 } =- frac { 2 } { 5 } frac { m } { s } $$

مثال چهارم محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

نمودار مکان زمان، نموداری به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. تندی متوسط و سرعت متوسط متحرک را در ۲۰ ثانیه اول حرکت برحسب متر بر ثانیه کدام است؟ 

سرعت و تندی متوسط با یکدیگر مساوی و برابر ۲٫۵ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط به ترتیب برابر صفر و ۲٫۵ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط به ترتیب برابر ۲٫۵ و صفر متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط با یکدیگر مساوی و برابر صفر هستند. 

مشاهده جواب

برای محاسبه تندی متوسط جسم بین زمان صفر تا ۲۷ ثانیه، باید مسافت کل را برای این مدت زمان به‌دست آوریم. حرکت جسم در ۲۰ ثانیه به صورت زیر توصیف می‌شود:

• جسم در زمان صفر در مبدا است و با سرعت مثبت شروع به حرکت می‌کند. 
• ۲۰ ثانیه پس از شروع حرکت، جسم به ۵۰ متری مبدا می‌رسد و متوقف می‌شود. در این لحظه، سرعت لحظه‌ای جسم برابر صفر است. 

از آنجا که جسم در ۲۰ ثانیه اول حرکت تغییر جهت نداده است، مسافت و جابجایی و در نتیجه، تندی متوسط و سرعت متوسط با یکدیگر برابر هستند. مسافت طی شده توسط جسم و جابجایی آن در مدت زمان ۲۰ ثانیه برابر ۵۰ متر است. با داشتن زمان و مسافت کل و چابجایی، تندی متوسط و سرعت متوسط را به صورت زیر به‌دست می‌آوریم: 

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {  50  m } { 20  s } = 2.5  frac { m } {  s  }  $$

$$overrightarrow{overline{ v } } = frac { triangle { overrightarrow{ x }}} { triangle t } = frac { 50 m } { 20 s } = 2.5 frac { m } { s } $$

 مثال پنجم محاسبه تندی متوسط از روی نمودار مکان زمان

نمودار مکان زمان، نموداری به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. تندی متوسط و سرعت متوسط متحرک را در ۵ ثانیه اول حرکت برحسب متر بر ثانیه کدام است؟ 

سرعت و تندی متوسط به ترتیب برابر ۳٫۵ و صفر متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط به ترتیب برابر صفر و ۳٫۵ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط با یکدیگر مساوی و برابر ۳٫۵ متر بر ثانیه هستند. 

سرعت و تندی متوسط با یکدیگر مساوی و برابر صفر هستند. 

مشاهده جواب

برای محاسبه تندی متوسط جسم بین زمان صفر تا ۸ ثانیه، باید مسافت کل را برای این مدت زمان به‌دست آوریم. حرکت جسم در ۸ ثانیه به صورت زیر توصیف می‌شود:

• جسم در زمان صفر در مبدا است و با سرعت مثبت از مبدا دور می‌شود.
• ۲ ثانیه پس از شروع حرکت، جسم به ۸ متری مبدا می‌رسد و متوقف می‌شود. در این لحظه، سرعت لحظه‌ای جسم برابر صفر است. توجه به این نکته مهم است که شیب نمودار مکان زمان به ما سرعت را می‌دهد. از آنجا که شیب نمودار مکان زمان در ۲ ثانیه اول حرکت، مقداری ثابت و مثبت است، جسم در این مدت با سرعت ثابت و مثبت حرکت می‌کند. 
• سپس، جسم با تغییر مسیر و سرعت منفی و ثابت شروع به حرکت می‌کند و یک ثانیه بعد از شروع حرکت به ۵ متری مبدا می‌رسد. جسم در این مدت زمان با سرعت منفی و ثابت حرکت می‌کند.
• جسم بین زمان‌های ۳ تا ۴ ثانیه ساکن است.
• در ثانیه ۴، جسم با سرعت منفی و ثابت شروع به حرکت به سمت مبدا می‌کند و پس از عبور از آن، در زمان ۵ ثانیه به فاصله ۶- متری مبدا می‌رسد. 
• در پایان، جسم با سرعت مثبت و ثابت از مکان ۶- متری مبدا شروع به حرکت می‌کند و در زمان ۸ ثانیه به مبدا می‌رسد. 

از آنجا که جسم در مسیر خود، تغییر جهت داده است، مسافت و جابجایی و در نتیجه، تندی متوسط و سرعت متوسط با یکدیگر برابر نیستند. مسافت طی شده توسط جسم در مدت زمان ۸ ثانیه برابر جمع مسافت‌های طی شده توسط جسم بین زمان‌های صفر تا ۲ ثانیه، ۲ تا ۳ ثانیه، ۴ تا ۵ ثانیه و ۵ تا ۸ ثانیه است: 

$$D = 8 +3 + 11 + 6 = 28 m  $$

با داشتن زمان و مسافت کل، تندی متوسط برابر است با: 

$$overline { s } = frac { distance } { total time } \ overline { s } = frac {  28  m } { 8  s } = 3.5  frac { m } {  s  }  $$

برای به‌دست آوردن سرعت متوسط، جابجایی کل جسم را در ۸ ثانیه اول حرکت به‌دست می‌آوریم. جابجایی به نقاط ابتدا و انتهای حرکت وابسته است. جسم حرکت خود را از مبدا شروع می‌کند و پس از ۸ ثانیه به مبدا برمی‌گردد. بنابراین۷ نقاط ابتدا و انتهای حرکت یکسان و جابجایی و سرعت متوسط برابر صفر هستند. 

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس، به پرسش تندی متوسط چیست به زبان ساده پاسخ دادیم و تفاوت آن را با سرعت متوسط بیان کردیم. همچنین، با مورد نحوه محاسبه تندی متوسط با استفاده از نمودار سرعت-زمان آشنا شدیم. در حالت کلی، تندی متوسط از تقسیم مسافت بر زمان صرف شده برای طی مسافت به‌دست می‌آید. از آنجا که مسافت کمیتی نرده‌ای است، تندی متوسط نیز کمیتی نرده‌ای خواهد بود.