دنیای ریاضی، مملو از معادلات ساده و پیچیده‌ای است که ذهن هر شخصی را به خود درگیر میکند. یکی از زیبایی‌های این دنیا، مفهوم اتحاد است. اتحاد ها در ریاضی، رابطه موزون و جالب بین عبارت‌های مختلف را نمایش می‌دهند. این رابطه‌ها، همیشه و به ازای تمام مقادیر دامنه برقرار هستند. به عنوان مثال، معادله‌های $$ { ( a + b ) ( a – b ) = a ^ ۲ – b ^ ۲ } $$ و $$ sin ( ۲ x ) = ۲ sin ( x ) cos ( x ) $$، نمونه‌ای از اتحادهای پرکاربرد در مسائل ریاضی هستند. اتحادهای ریاضی، انواع مختلفی دارند که از شناخته شده‌ترین آن‌ها می‌توان به اتحادهای جبری، اتحادهای مثلثاتی، اتحادهای لگاریتمی و اتحادهای نمایی تقسیم می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس، به مرور سریع این اتحاد ها می‌پردازیم.
جدول مهمترین اتحاد ها در ریاضی
اگر به دنبال مرور سریع اتحاد های ریاضی هستید، جدول زیر را مطالعه کنید.
در این جدول، برخی از مهمترین و پرکاربردترین اتحادهای جبری آورده شده‌اند.
| عنوان اتحاد | فرمول اتحاد |
| اتحاد مربع مجموع دوجمله‌ای | $$ { ( a + b ) ^ ۲ = a ^ ۲ + ۲ a b + b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌ای | $$ { ( a – b ) ^ ۲ = a ^ ۲ – ۲ a b + b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد مزدوج | $$ { ( a + b ) ( a – b ) = a ^ ۲ – b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد جمله مشترک | $$ { ( x + a ) ( x + b ) = x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b } $$ |
| اتحاد مجموع مکعبات دو جمله (اتحاد چاق و لاغر مجموع) | $$ { a ^ ۳ + b ^ ۳ = ( a + b ) ( a ^ ۲ – a b + b ^ ۲ ) } $$ |
| اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله (اتحاد چاق و لاغر تفاضل) | $$ { a ^ ۳ – b ^ ۳ = ( a – b ) ( a ^ ۲ + a b + b ^ ۲ ) } $$ |
| اتحاد مربع مجموع سه‌جمله‌ای | $$ { ( a + b + c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ + ۲ a b + ۲ a c + ۲ b c } $$ |
| اتحاد مربع تفاضل سه‌جمله‌ای | $$ { ( a – b – c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ – ۲ a b – ۲ a c + ۲ b c } $$ |
| اتحاد مکعب سه‌جمله‌ای | $$ ( a + b + c ) ^ { ۳ } = ۳ ( b + c ) ( a + b )( a + c )+ a ^ { ۳ } + b ^ { ۳ } + c ^ { ۳ } $$ |
در صورت تمایل به یادگیری بیشتر راجع به اتحادهای ریاضی، با ادامه این مطلب از مجله فرادرس همراه باشید.
اتحاد در ریاضی چیست؟
«اتحاد» (Identity)، معادله‌ای است که به ازای تمام مقادیر، تساوی بین دو طرف آن برقرار میشود. به عنوان مثال، معادله زیر را در نظر بگیرید:
$$
{ ( a + b ) ^ ۲ = a ^ ۲ + ۲ a b + b ^ ۲ }
$$
این معادله، اتحاد اول جبری را نمایش می‌دهد و با عنوان اتحاد مربع مجموع دوجمله‌ای شناخته میشود. اگر به جای $$ a $$ و $$ b $$، اعدادی مانند $$ ۲ $$ و $$ ۳ $$ را قرار دهیم، داریم:
$$
{ ( ۲ + ۳ ) ^ ۲ = ۲ ^ ۲ + ۲ ( ۲ ) ( ۳ ) + ۳ ^ ۲ }
$$
$${ ( ۵ ) ^ ۲ = ۴ + ۱۲ + ۹ }$$
$$
۲۵ = ۲۵ checkmark
$$
اکنون، اگر به جای $$ a $$ و $$ b $$، اعدادی مانند $$ sqrt { ۷ } $$ و $$ frac { ۳ } { ۴ } $$ را قرار دهیم، خواهیم داشت:
$$
{ ( sqrt { ۷ } + frac { ۳ } { ۴ } ) ^ ۲ = ( sqrt { ۷ } ) ^ ۲ + ۲ ( sqrt { ۷ } ) ( frac { ۳ } { ۴ } ) + ( frac { ۳ } { ۴ } ) ^ ۲ }
$$
$$
۱۱/۵۳۱۱۲ = ۱۱/۵۳۱۱۲ checkmark
$$
در واقع، هر مقداری به جای $$ a $$ و $$ b $$ درون اتحاد قرار دهیم، هر دو طرف آن با هم برابر میشود. اتحادی که در اینجا مثال زدیم، یک اتحاد جبری بود. اتحاد ها، انواع مختلفی دارند که در ادامه به معرفی مهمترین آن‌ها می‌پردازیم.
انواع اتحاد ها در ریاضی چه هستند؟
از مهمترین انواع اتحاد ها در ریاضی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
- اتحاد جبری
- اتحاد مثلثاتی
- اتحاد نمایی
- اتحاد لگاریتمی
در ادامه، پرکاربردترین فرمول‌های هر یک از انواع اتحادهای بالا را معرفی می‌کنیم.
اتحادهای جبری چه هستند؟
«اتحادهای جبری« (Algebraic Identities)، اتحادهایی هستند که رابطه بین عبارت‌های جبری را نمایش می‌دهند. اتحادهایی که در ابتدای این مطلب از مجله فرادرس در قالب یک جدول آوردیم، مانند اتحاد مزدوج، اتحاد مکعب، اتحاد چاق و لاغر، اتحاد جمله مشترک، اتحاد مربع سه‌جمله‌ای و غیره همگی از نوع اتحادهای جبری بودند.
در ادامه، به مرور سریع برخی انواع اتحادهای جبری بر اساس معیارهای مختلف می‌پردازیم.
جدول اتحادهای جبری دو جمله ای
جدول زیر، مهمترین اتحادهای جبری دوجمله‌ای را نمایش می‌دهد.
| عنوان اتحاد | فرمول اتحاد |
| اتحاد اول یا مربع مجموع دوجمله‌ای | $$ { ( a + b ) ^ ۲ = a ^ ۲ + ۲ a b + b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد دوم یا مربع تفاضل دوجمله‌ای | $$ { ( a – b ) ^ ۲ = a ^ ۲ – ۲ a b + b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد مزدوج | $$ { ( a + b ) ( a – b ) = a ^ ۲ – b ^ ۲ } $$ |
| اتحاد مجموع مکعبات دو جمله یا چاق و لاغر مجموع | $$ { a ^ ۳ + b ^ ۳ = ( a + b ) ( a ^ ۲ – a b + b ^ ۲ ) } $$ |
| اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله یا چاق و لاغر تفاضل | $$ { a ^ ۳ – b ^ ۳ = ( a – b ) ( a ^ ۲ + a b + b ^ ۲ ) } $$ |
جدول اتحادهای جبری سه جمله ای
در جدول زیر، مهمترین اتحادهای جبری سه‌جمله‌ای آورده شده‌اند.
| عنوان اتحاد | فرمول اتحاد |
| اتحاد مربع مجموع سه‌جمله‌ای | $$ { ( a + b + c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ + ۲ a b + ۲ a c + ۲ b c } $$ |
| اتحاد مربع تفاضل سه‌جمله‌ای | $$ { ( a – b – c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ – ۲ a b – ۲ a c + ۲ b c } $$ |
| اتحاد مکعب سه‌جمله‌ای | $$ ( a + b + c ) ^ { ۳ } = ۳ ( b + c ) ( a + b )( a + c )+ a ^ { ۳ } + b ^ { ۳ } + c ^ { ۳ } = $$$$ ۳ a ^ ۲ b + ۳ a ^ ۲ c + ۳ a b ^ ۲ + ۳ b ^ ۲ c + ۳ a c ^ ۲ + ۳ b c ^ ۲ + ۶ a b c $$ |
| اتحاد مجموع مربعات سه جمله | $$ a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ = ( a + b + c ) ^ ۲ – ۲ ( a b + b c + a c ) $$ |
| اتحاد اویلر یا مجموع مکعبات سه جمله | $$ a ^ ۳ + b ^ ۳ + c ^ ۳ = ( a + b + c ) ^ ۲ – ۲ ( a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ – a b – c a – b c ) $$ |
علاوه بر اتحادهای جدول بالا، معادله زیر نیز به عنوان یکی از اتحادهای سه‌جمله‌ای مهم در نظر گرفته میشود:
$$
( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( a b + a c + b c ) – ۲ a b c
$$
اتحادهای جبری برای تجزیه و فاکتورگیری
یکی از کاربردهای اصلی اتحادهای جبری، تجزیه و فاکتورگیری از توابع مختلف است. از اتحادهایی که به طور گسترده برای این منظور مورد استفاده قرار می‌گیرند می‌توان به اتحاد مزدوج، اتحاد جمله مشترک و اتحاد چاق و لاغر (مجموع و تفاضل) اشاره کرد. این اتحاد ها به ترتیب در ادامه آورده شده‌اند:
$$
{ ( a + b ) ( a – b ) = a ^ ۲ – b ^ ۲ }
$$
$$
{ ( x + a ) ( x + b ) = x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b }
$$
$$
{ a ^ ۳ + b ^ ۳ = ( a + b ) ( a ^ ۲ – a b + b ^ ۲ ) }
$$
$$
{ a ^ ۳ – b ^ ۳ = ( a – b ) ( a ^ ۲ + a b + b ^ ۲ ) }
$$
اتحادهای جبری با توان ۴، ۵ و بالاتر
در بخش قبلی، اتحادهای جبری با توان ۱، ۲ و ۳ را معرفی کردیم. در این بخش، برخی از مهمترین اتحادهای جبری با توان ۴ و ۵ را مرور می‌کنیم. این اتحاد ها عبارت هستند از:
$$
large { ( a + b ) ^ { ۴ } = a ^ { ۴ } + ۴ a ^ { ۳ } b + ۶ a ^ { ۲ } b ^ { ۲ } + ۴ a b ^ { ۳ } + b ^ { ۴ } }
$$
$$
large {( a – b ) ^ { ۴ } = a ^ { ۴ } – ۴ a ^ { ۳ } b + ۶ a ^ { ۲ } b ^ { ۲ } – ۴ a b ^ { ۳ } + b ^ { ۴ }}
$$
$$
large {a ^ { ۴ } – b ^ { ۴ } = ( a – b ) ( a + b ) left ( a ^ { ۲ } + b ^ { ۲ } right ) }
$$
$$
large {a ^ { ۵ } – b ^ { ۵ } = ( a – b ) left ( a ^ { ۴ } + a ^ { ۳ } b + a ^ { ۲ } b ^ { ۲ } + a b ^ { ۳ } + b ^ { ۴ } right ) }
$$
اگر توان $$ a $$ و $$ b $$ در اتحادهای بالا را برابر با $$ n $$ در نظر بگیریم، به اتحاد زیر می‌رسیم:
$$
large { a ^ { n } – b ^ { n } = ( a – b ) left ( a ^ { n – ۱ } + a ^ { n – ۲ } b ^ { ۱ } + a ^ { n – ۳ } b ^ { ۲ } + ldots . + a ^ { ۱ } b ^ { n – ۲ } + b ^ { n – ۱ } right )}
$$
دیگر اتحادهای جبری
در بخش‌های قبلی، بسیاری از اتحادهای جبری مهم را معرفی کردیم. در این بخش، به معرفی دو اتحاد دیگر می‌پردازیم. این اتحادها، اتحاد لاگرانژ و اتحاد بسط دوجمله‌ای نیوتن نام دارند. اتحاد لاگرانژ به صورت زیر نوشته میشود:
$$
( a ^ ۲ + b ^ ۲ ) ( x ۲ + y ^ ۲ ) = ( a x – b y ) ^ ۲ + ( a y + b x ) ^ ۲
$$
اتحاد بسط دوجمله‌ای نیوتن نیز عبارت است از:
$$
( a + b ) ^ n = left( begin {array}{ l }
n \
۰
end {array} right ) a ^ n b ^ ۰ + left ( begin {array}{l}
n \
۱
end{array} right ) a ^ { n – ۱ } b ^ ۱ + cdots + left ( begin {array}{l}
n \
n
end{array}right) a ^ ۰ b ^ n
$$
اتحادهای مثلثاتی چه هستند؟
«اتحادهای مثلثاتی» (Trigonometric Identities)، اتحادهایی هستند که روابط بین نسبت‌های مثلثاتی را نمایش می‌دهند.
این اتحادها، در حل مسائل مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرند. از ساده‌ترین و مهمترین اتحادهای مثلثاتی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
$$ tan theta = frac { sin theta }{ cos theta } $$
$$ cot theta = frac { ۱ } { tan theta } = frac { cos theta }{ sin theta } $$
$$
sec theta =frac { ۱ } { cos theta }
$$
$$
csc theta =frac { ۱ } { sin theta }
$$
این اتحاد ها، روابط ساده و مستقیم بین توابع مثلثاتی را نمایش می‌دهند.
اتحادهای مثلثاتی فیثاغورسی
برخی از روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، با استفاده قضیه فیثاغورس به دست می‌آیند. این روابط که با عنوان اتحادهای مثلثاتی فیثاغورسی شناخته می‌شوند، عبارت هستند از:
$$ sin ^ ۲ theta + cos ^ ۲ theta = ۱ $$
$$
۱ + tan ^ ۲ theta = sec ^ ۲ theta
$$
$$
csc ^ ۲ theta = ۱ + cot ^ ۲ theta
$$
اتحادهای مثلثاتی زاویه منفی
اگر علامت زاویه نسبت‌های مثلثاتی را عکس کنیم (منفی را به مثبت و مثبت را به منفی تبدیل کنیم، خروجی آن‌ها به صورت زیر تغییر میکند:
$$
sin ( – theta ) = – sin theta
$$
$$
cos ( – theta ) = cos theta
$$
$$
tan ( – theta ) = – tan theta
$$
$$
cot ( – theta ) = – cot theta
$$
$$
sec ( – theta ) = sectheta
$$
$$
csc ( – theta ) = – csc theta
$$
به این روابط، اتحادهای مثلثاتی قرینه زاویه می‌گویند.
اتحادهای مثلثاتی زاویه مکمل
اتحادهای مثلثاتی زاویه مکمل به صورت زیر نوشته می‌شوند:
$$ sin { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = cos { theta } $$
$$ cos { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = sin { theta } $$
$$ tan { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = cot { theta } $$
$$ cot { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = tan { theta } $$
$$ csc { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = sec { theta } $$
$$ sec { ( frac { pi } { ۲ } – theta ) } = csc { theta } $$
اتحادهای مثلثاتی تناوبی
نسبت‌های مثلثاتی، در زاویه‌های مشخص، تکرار می‌شوند. به عبارت دیگر، این نسبت‌ها، خاصیت تناوبی دارند. روابط زیر، مهمترین اتحادهای مثلثاتی تناوبی را نمایش می‌دهند:
$$
sin ( theta + ۲ pi ) = sin theta
$$
$$
cos ( theta + ۲ pi ) = cos theta
$$
$$
tan ( theta + pi ) = tan theta
$$
اتحادهای مثلثاتی جمع و تفریق زوایا
مهمترین اتحادهای مثلثاتی جمع و تفریق زوایا عبارت هستند از:
$$
sin ( alpha + beta ) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
$$
$$
cos ( alpha + beta ) = cos alpha cos beta − sin alpha sin beta
$$
$$
sin ( alpha – beta ) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta
$$
$$
cos ( alpha – beta ) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
$$
اتحادهای مثلثاتی زاویه مضاعف
سینوس و کسینوس زاویه مضاعف، با استفاده از اتحادهای زیر تعریف می‌شوند:
$$
sin ( ۲ theta ) = ۲ sin theta cos theta
$$
$$
begin {aligned}
cos ۲ theta & = cos ^ ۲ theta – sin ^ ۲ theta \
& = ۲ cos ^ ۲ theta – ۱ \
& = ۱ – ۲ sin ^ ۲ theta
end {aligned}
$$
اتحادهای مثلثاتی بسیار گسترده هستند و به موارد ارائه شده در این مطلب از مجله فرادرس ختم نمی‌شوند. البته، اتحادهایی که در اینجا معرفی کردیم، اهمیت و کاربرد بسیار بیشتری نسبت به دیگر اتحاد ها دارند. هنگام بحث در مورد اتحاد ها در ریاضی، معمولا دانش‌آموزان و دانشجویان به یاد اتحادهای جبری و مثلثاتی می‌افتند. با این وجود، اتحادهای ریاضی به این موارد محدود نمی‌شوند و بسیار گسترده هستند. در ادامه، فرمول‌های اتحادهای نمایی و لگاریتمی را به عنوان دیگر اتحادهای مهم ریاضی معرفی می‌کنیم.
اتحادهای لگاریتمی چه هستند؟
به اتحادهایی که قوانین لگاریتم را نمایش می‌دهند، «اتحادهای لگاریتمی» (Logarithmic Identities)، به عنوان مثال، لگاریتم عدد ۱ برابر با ۰ بوده و لگاریتم هر عدد بر مبنای خودش برابر با ۱ است.
این قوانین، به صورت زیر نوشته می‌شوند:
$$
log _ b ( ۱ ) = ۰
$$
$$
log _ b ( b ) = ۱
$$
معادلات بالا، برای تمام مقادیر مثبت $$ b $$ به شرط $$ b ne ۱ $$، صادق هستند. این معادلات، به عنوان نمونه‌های ساده‌ای از اتحادهای لگاریتمی در نظر گرفته می‌شوند. مهمترین و پرکاربردترین اتحادهای لگاریتمی را در جدول زیر آورده‌ایم.
| عنوان اتحاد لگاریتمی | فرمول اتحاد لگاریتمی |
| اتحاد لگاریتم ضرب | $$ log _ b ( x cdot y ) = log _ b ( x ) + log _ b ( y ) $$ |
| اتحاد لگاریتم تقسیم | $$ log _ b left ( frac { x } { y} right ) = log _ b ( x ) – log _ b ( y ) $$ |
| اتحاد توان در لگاریتم | $$ log _ b ( x ^ y ) = y cdot log _ b ( x ) $$ |
| اتحاد لگاریتم در توان | $$ x ^ { log _ b ( y ) } = y ^ { log _ b ( x ) } $$ |
| اتحاد تغییر پایه لگاریتم | $$ log _ b ( x ) = frac { log _ d ( x ) } { log _ d ( b ) } $$ |
علاوه بر اتحادهای لگاریتمی جدول بالا، اتحادهای دیگری نیز وجود دارند که کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرند. برخی از این اتحاد ها عبارت هستند از:
$$
log _ b ( sqrt [ y ] { x }) = frac { log _ b (x ) }{ y }
$$
$$
c log _ b ( x ) + d log _ b ( y ) =log _ b ( x ^ c y ^ d )
$$
$$
b ^ { log _ b ( x ) } = x
$$
$$
log _ b ( b ^ x ) = x
$$
$$
log _ b ( a + c ) = log _ b a + log _ b left ( ۱ + b ^ { log _ b c – log _ b a } right )
$$
$$
log _ b ( a – c ) = log _ b a + log _ b left ( ۱ – b ^ { log _ b c – log _ b a } right )
$$
اتحادهای نمایی چه هستند؟
«اتحادهای نمایی» (Exponential Identities)، رابطه بین توابع نمایی را نمایش می‌دهند. توابع نمایی، عکس لگاریتم عمل می‌کنند و معمولا به فرم زیر نوشته می‌شوند:
$$ f ( x ) = a ^ m $$
$$ a $$، یک پایه عددی و $$ m $$ یک توان متغیر است. پایه توابع نمایی می‌تواند هر عدد حقیقی دلخواهی باشد اما توان آن‌ها، حتما باید یک عدد صحیح باشد. برخی از مهمترین اتحادهای نمایی را در جدول زیر آورده‌ایم.
| عنوان اتحاد نمایی | فرمول اتحاد نمایی |
| اتحاد نمایی توان صفر | $$ a ^ ۰ = ۱ $$ |
| اتحاد نمایی توان ۱ | $$ a ^ ۱ = a $$ |
| اتحاد نمایی پایه ۱ | $$ ۱ ^ n = ۱ $$ |
| اتحاد ضرب نمایی هم‌پایه | $$ a ^ m a ^ n = a ^ { m n } $$ |
| اتحاد ضرب نمایی هم‌توان | $$ a ^ n b ^ n = ( a b ) ^ n $$ |
| اتحاد ضرب توان نمایی | $$ left ( a ^ m right ) ^ n = a ^ { mn } $$ |
| اتحاد تقسیم توان نمایی | $$ frac { a ^ m }{ a ^ n } = a ^ { m – n } $$ |
| اتحاد نمایی توان منفی | $$ a ^ { – m } = frac { ۱ } { a ^ m } $$ |
سوالات متداول در رابطه با اتحاد ها در ریاضی
در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با مبحث اتحاد ها در ریاضی به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.
تعریف اتحاد در ریاضی چیست؟
اتحاد در ریاضی، معادله‌ای است که درستی آن به ازای تمام مقادیر دامنه خود، برقرار است.
کاربرد اتحادهای ریاضی چیست؟
اتحاد ها در ریاضی، معمولا به منظور ساده‌سازی، تجزیه و ریشه‌یابی مورد استفاده قرار می‌گیرند.
اتحاد ها در ریاضی به چند دسته تقسیم می‌شوند؟
اتحادهای ریاضی به انواع جبری، مثلثاتی، لگاریتمی، نمایی و غیره تقسیم می‌شوند.
مهمترین اتحادهای جبری کدام هستند؟
اتحادهای مربع دوجمله‌ای، مزدوج، جمله مشترک و چاق و لاغر، از مهمترین و پرکاربردترین اتحادهای جبری هستند.
اتحاد مربع دو جمله ای چیست؟
اتحاد مربع دوجمله‌ای، مربع مجموع یا تفاضل دوجمله را نمایش می‌دهد. این اتحاد، یکی از پرکاربردترین اتحادهای جبری است.
اتحاد مزدوج چیست؟
اتحاد مزدوج، ضرب تفاضل دو جمله در مجموع دو جمله را نمایش می‌دهد. حاصل این ضرب، تفاضل مربعات دو جمله است.
اتحاد چاق و لاغر چیست؟
اتحاد چاق و لاغر، تجزیه مجموع مکعبات دو جمله و تفاضل مکعبات دو جمله را نمایش می‌دهد.
اتحاد جمله مشترک چیست؟
اتحاد جمله مشترک، حاصل‌ضرب دو دوجمله‌ای را نمایش می‌دهد که یک جمله مشترک و دو جمله غیرمشترک دارند.
source